趙 林

（河南中煙工業(yè)有限責任公司安陽卷煙廠，河南安陽 455000）

0 引言

刀具的大量使用使得刀具刃磨越來越受到重視，尤其是復雜結構刀具的重新刃磨對于企業(yè)提高生產效率，降低生產成本顯得至關重要，球銑刀作為一種復雜結構刀具，其刃磨困難，刃磨成本高。國內外生產廠家與高?？蒲袡C構均研發(fā)出不同類型的刀具刃磨機床，但是這些機床幾乎都是串聯(lián)結構，并聯(lián)結構形式的刀具刃磨機床鮮有實際應用?；跂|北大學自主設計制造的三并聯(lián)萬向節(jié)數(shù)控刃磨機床[1]，進行螺旋刃球銑刀后刀面建模研究，為后續(xù)編程刃磨實驗做好理論基礎。

1 三并聯(lián)萬向節(jié)數(shù)控磨床簡介

三并聯(lián)萬向工作頭數(shù)控磨床（圖1）由5個伺服電機驅動。并聯(lián)桿電機控制2個并聯(lián)支鏈分別實現(xiàn)等量伸縮進而使工作頭繞X軸的擺動，也可以控制2個并聯(lián)支鏈同步等量伸縮實現(xiàn)工作頭繞Z軸的擺動，若并聯(lián)支鏈的伸縮不等量則可以實現(xiàn)工作頭繞xOz平面內任意方向擺動。橫向滑移電機和縱向滑移電機可以使工作頭實現(xiàn)橫向與縱向進給。主軸電機可控制工件繞擺動以后的主軸方向轉動。當工作頭擺動一定角度之后，縱向進給方向并不是沿工作頭末端執(zhí)行器的軸線，而是保持原來方向不變。

2 球頭立銑刀刃口曲線的數(shù)學模型

根據(jù)現(xiàn)有三并聯(lián)萬向節(jié)數(shù)控機床的運動特點及結構特點，在參考已有的球頭銑刀數(shù)學模型[2-6]的基礎上重新建立螺旋刃球銑刀球頭部分刃口曲線的數(shù)學模型，如圖2所示。

圖1 三并聯(lián)萬向節(jié)數(shù)控磨床

O點為萬向節(jié)的擺動中心，O—XYZ為銑刀結構坐標系。O1—X1Y1Z1為銑刀的球面坐標系，O1為銑刀球頭中心，R為球面半徑。P為球面上任意一磨削點，P1為點P在球面底面圓環(huán)上的投影，θ為刃口曲線上磨削點P與X1Y1平面的夾角，φ為P1與X1軸的夾角，H為2個坐標原點間的距離，λ為點P1與Z軸的夾角，l為OP的長度。

圖2 球頭銑刀刃口曲線數(shù)學模型

基于三并聯(lián)萬向節(jié)數(shù)控機床的球面螺旋線磨削可看作這樣一種運動：點P在坐標系O1—X1Y1Z1中的擺動和繞Z1軸的轉動相互作用形成球面螺旋線，桿長O1P保證了球面半徑為R。形成球銑刀刃口曲線的過程中，并聯(lián)機床的兩根并聯(lián)桿做完全相反的勻速伸縮運動，使得桿OP繞擺動中心勻速擺動，擺角為λ，同時縱向滑臺進給η，根據(jù)相對運動，可看作滑塊沿桿OP滑動，桿OP長度縮短η，即λ角和長度l時刻在變化。在坐標系O1—X1Y1Z1中球面刃口曲線可表示為：x1=Rcosθcosφ，y1=-Rcosθsinφ，z1=Rsinθ，其中，θ與 φ 存在一定的函數(shù)關系。

在坐標系O—XYZ中銑刀球面刃口曲線可表示為：x=lsinλcosφ，y=-lsinλsinφ，z=lcosλ，其中，φ，l均與 λ 存在一定的函數(shù)關系。在坐標系O—XYZ中正交螺旋面可表示為：x=Rzcosφ，y=-Rzsinφ，z=Pzφ/2π+H。在三角形 OPO1中，由余弦定理可知，cosλ=（l2+H2-R2）/2lH，即 l2-2lHcosλ+H2-R2=0。解得：l=Hcosλ±當λ=0時l=R+H，因此可將負號解排除，所以l=又因為 η=R+H-l，故 η=R+H-Hcosλ+聯(lián)立 x=lsinλcosφ，y=-lsinλsinφ，z=lcosλ 和 x=Rzcosφ，y=-Rzsinφ，z=Pzφ/2π+H 可得：Pzφ/2π+H=lcosλ。解得，φ=（lcosλ-H）tanβ/R，其中，β為銑刀螺旋角（與軸線夾角），tanβ=2πR/Pz，其中，Pz為導程。在坐標系O—XYZ中銑刀球面單側刃口曲線可表示為（1）式。

另一側刃口曲線根據(jù)球銑刀的對稱性可求出，在此不再列出。設 R=5 mm，H=20 mm，β=30°，刃口曲線如圖 3所示，呈現(xiàn)明顯的S形，其中左圖為刃口曲線主視圖，右圖為刃口曲線俯視圖。

圖3 刃口曲線

3 后刀面數(shù)學模型

采用圓柱砂輪邊緣刃磨球銑刀后刀面，后刀面成形原理如圖4所示。其中，O—XYZ為球頭立銑刀結構坐標系；O3—X3Y3Z3為坐標系O—XYZ繞Z軸旋轉角度φ后形成的坐標系；O4—X4Y4Z4為坐標系 O3—X3Y3Z3繞Y3軸旋轉角度λ后形成的坐標系，此時砂輪剛好與球面相切于P點。為能刃磨到P點，此時銑刀坐標系已繞Z軸和Y3軸分別旋轉了角度φ和λ。后刀面與砂輪邊緣接觸線在坐標系O4—X4Y4Z4中可表示為（2）式。

圖4 后刀面刃磨示意圖

將其轉化到坐標系O3—X3Y3Z3中，得到（3）式。

在球銑刀結構坐標系O—XYZ中后刀面可表示為（4）式。

式（2）中，α為銑刀球面刃后角，lα為后刀面直紋線MN上任意磨削點距刃口曲線的距離，0≤lα≤d，d為后刀面寬度。聯(lián)立（2）、（3）、（4）式可得第一后刀面方程，見（5）式。

球銑刀兩部分后刀面關于軸線對稱，另半部分后刀面為式（6）。

設 R=5 mm，H=20 mm，β=30°，d=0.5 mm，α=15°，所得后刀面如圖5所示。

圖5 球銑刀第一后刀面

通過球銑刀第一后刀面的仿真圖可以看出，圖形與球銑刀第一后刀面的實際形狀吻合，說明所建立的第一后刀面數(shù)學模型正確。

4 結論

在參考球頭銑刀數(shù)學模型的基礎上，建立了適合三并聯(lián)萬向節(jié)數(shù)控磨床運動特性的球銑刀刃口曲線和第一后刀面數(shù)學模型，并通過matlab仿真驗證了數(shù)學模型的正確性，為后續(xù)刃磨程序的編寫做好基礎。