摘 要：基于可靠度理論，概括了可靠度分析方法，主要介紹了一次二階矩陣方法中的中心點法，概括了中心點法的優(yōu)點、缺點。并介紹一個簡單的中心點法算例，以及用MATLAB編制計算程序。

關(guān)鍵詞：可靠度；分析方法；中心點法；算例；MATLAB；

鋼、木、磚石、混凝土及鋼筋混凝土等建造的工業(yè)與民用建筑的承重結(jié)構(gòu)，公路和鐵路的橋梁、涵洞，港口工程的碼頭，水利工程的堤壩、渡槽、水閘，給水排水構(gòu)筑物的水池、水管等，統(tǒng)稱為工程結(jié)構(gòu)。工程結(jié)構(gòu)可靠度是指工程結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間和在規(guī)定的條件下完成預定功能的能力。關(guān)于可靠度理論的研究國際上起始于20 世紀20 、30 年代的軍事領(lǐng)域， 并逐步擴展到工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域之中。這無疑是結(jié)構(gòu)工程學科的重大進展之一， 從此可靠度的理論得到了較快的發(fā)展。目前國際上（Borges 等人）把可靠度理論的發(fā)展分為三個水準[1]：即半經(jīng)驗半概率法， 它是把對影響結(jié)構(gòu)可靠度的某些參數(shù)進行數(shù)理統(tǒng)計分析， 并與經(jīng)驗結(jié)合， 再引入某些經(jīng)驗系數(shù)來計算；近似概率法， 亦即一次二階矩法， 它是運用概率論和數(shù)理統(tǒng)計知識對工程結(jié)構(gòu)的可靠概率進行計算；全概率法是嚴格基于概率論的結(jié)構(gòu)可靠度的精確的分析計算方法， 由于此方法存在不易解決的數(shù)學困難， 目前尚處于研究段。

1 可靠度分析方法綜述

結(jié)構(gòu)可靠度計算按研究對象可分為單一失效模式的可靠度計算和系統(tǒng)可靠度計算。單一失效模式按求解手段可分為采用數(shù)學近似方法的解析概率法和應(yīng)用計算機技術(shù)的數(shù)值模擬法兩種，系統(tǒng)可靠度計算主要分為點估計法和區(qū)間估計法。工程結(jié)構(gòu)可靠度的分析具有大量的不確定性，如結(jié)構(gòu)外部環(huán)境的不確定性， 包括荷載類型和結(jié)構(gòu)所處的位置等；結(jié)構(gòu)本身的不確定性， 包括構(gòu)件材料的性能， 截面幾何參數(shù)和計算模型的精度等?？煽慷鹊挠嬎惴椒◤难芯繉ο髞碚f可以分為結(jié)構(gòu)點（構(gòu)件）可靠度計算法和結(jié)構(gòu)體系可靠度計算法。由于可靠度研究本身的復雜性和全概率法中的難以解決的數(shù)學困難， 結(jié)構(gòu)體系的可靠度的研究目前還很不成熟， 仍處于探索階段[2]。

趙國藩提出了實用分析法，引用加權(quán)分位值、靈敏系數(shù)的概念，正態(tài)化隨機變量求可靠指標β值[3]。

2 一次二階矩方法

一次二階矩法是將非線性功能函數(shù)做了線性化處理， 所以它是計算可靠指標（β）的最簡單的方法。只需要考慮隨機變量的前一階矩（均值）和二階矩（標準差）以及功能函數(shù)展開式的常數(shù)項和一次項， 以隨機變量為前提在平面直角坐標系內(nèi)來求解可靠指標。由于一次二階矩計算法相對較簡便， 大多數(shù)情況下計算精度可以滿足工程要求， 因此廣泛應(yīng)用于各工程計算中[4]。一次二階矩方法分為中心點法和設(shè)計驗算點法。中心點法不顧及變量的概率分布；基本的驗算點法只處理正態(tài)隨機變量，JC法、映射法和使用分析法還能夠處理其他概率分布隨機變量。

2.1 中心點法

中心點法是結(jié)構(gòu)可靠度研究初期提出的一種方法，其基本思想是首先將非線性功能函數(shù)在隨機變量的平均值（中心點）處作泰勒級數(shù)展開并保留至一項，然后近似計算功能函數(shù)的平均值和標準差。可靠度指標直接用功能函數(shù)的平均值和標準差表示。其結(jié)構(gòu)可靠度指標表示為[2]：

（1）

由于中心點法計算結(jié)果比較粗糙，一般只用于結(jié)構(gòu)可靠度要求不高的情況，如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)的可靠度分析。

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)具有一般形式，即：

（2）

其中基本隨機向量各個分量相互獨立，其均值為 標準差為。

將功能函數(shù)Z在均值點X處展開成Taylor級數(shù)并保留至一次項，即

（3）

則Z的均值和方差可分別表示為

（4）

（5）

將式 （4）和（5）帶入得到式（1）。

上述非線性功能函數(shù)Z的近似值和近似標準差所用的Taylor級數(shù)方法通常稱為 方法，工程師通常稱式（5）為誤差傳播公式。這種方法將功能函數(shù)Z在隨機變量X的均值點展成Taylor級數(shù)并取一次項，利用X的一階矩和二階矩計算Z的可靠度，所以稱為均值一次二階矩法或中心點法。當已知X的均值和方差時，可用此方法方便的估計結(jié)構(gòu)可靠度指標的近似值。但此方法對于相同意義但形式不同的極限狀態(tài)方程，可能會給出不同的可靠度指標。這是因為中心點不在極限狀態(tài)面上，在中心點處做Taylor展開后的超曲面可能會明顯偏離原極限狀態(tài)面。此外，中心點法沒有利用基本隨即變量的概率分布，只利用了隨機變量的前兩階矩陣，這也是它的明顯不足之處。中心點法計算簡便，若分析精度要求不太高，仍有一定的使用價值。

2.2 中心點法算例及在MATLAB中的編程

例：圓截面直桿承受軸向拉力P=100KN。設(shè)桿的材料的屈服極限和直徑d為隨機變量，其均值和標準差分別為 =290N/mm2， =25 N/mm2； =30mm， =3mm。求桿的可靠度指標。

解： 由式（1）得到桿的可靠度指標

（b）

以軸力表示的極限狀態(tài)方程為Z=g（，d）=—P=0 （c）

將式（c）中的g（，d）代入式（b）并化簡，得桿的可靠度指標

以應(yīng)力表示的極限狀態(tài)方程為Z=g（，d）=—=0 （d）

將式（d）中的g（，d）代入式b并化簡，得桿的可靠度指標

在MATLAB中的程序清單如下：

clear；clc；

muX=[290；30]；sigmaX=[25；3]；

g=pi/4*muX（2）^2*muX（1）-1e5；

gX=[pi/4*muX（2）^2；；pi/2*muX（1）*muX（2）]；

bbetaC1=g/norm（gX.*sigmaX）

g=muX（1）-4/pi*1e5/muX（2）^2；

gX=[1；8*1e5/pi/muX（2）^3]；

bbetaC2=g/norm（gX.*sigmaX）

計算結(jié)果為bbetaC1= 2.3517；bbetaC2= 3.9339。

3 結(jié)語

中心點法是針對基本隨機變量服從正態(tài)分布或是對數(shù)正態(tài)分布， 狀態(tài)函數(shù)為線性形式或可以等效轉(zhuǎn)化為線性形式且結(jié)構(gòu)可靠指標β =1 ～ 2 的情況， 計算結(jié)果比較粗糙， 一般適用于結(jié)構(gòu)可靠度要求不高的情況， 而設(shè)計點法僅適用于β 值較大（β >4 .5）或是設(shè)計值遠不滿足極限狀態(tài)方程的情況采用MATLAB語言進行結(jié)構(gòu)可靠度的數(shù)值計算，可充分發(fā)揮利用矩陣運算功能及各種工具箱的快速和便捷，從而大大提高編程和計算的效率。對結(jié)構(gòu)體系可靠度而言，通過MATLAB編程語言，以高效精確的算法實現(xiàn)復雜結(jié)構(gòu)，避免很多重復性的勞動，解決了結(jié)構(gòu)可靠度的分析問題。

參考文獻

[1]解偉， 李昆良， 彭萬春.水工結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計[ M] .鄭州：河南科學技術(shù)出版社， 1997 .

[2]姚澤良，李寶平，周雪峰.結(jié)構(gòu)可靠度分析的一次二階矩方法與二次二階矩方法[J].西北水利發(fā)電.2005.

[3]李艷.基于最優(yōu)化方法的結(jié)構(gòu)可靠度計算及MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)[D].武漢：武漢工業(yè)學院，2012.

[4]李秋實，歐可活.工程結(jié)構(gòu)可靠度分析方法研究[ J] .公路與汽運， 2004 .12

作者簡介

張焱飛（1995-），男，漢族，河南三門峽市人，碩士，河南大學土木建筑學院建筑與土木工程專業(yè)，研究方向：巖土邊坡穩(wěn)定分析。