祝佳玲， 米彩蓮， 楊 晗

（西南交通大學數(shù)學學院，四川成都611756）

本文研究非線性Schr?dinger方程的初邊值問題

其中，u＝u（t，x）是復值函數(shù)，p＞0 為常數(shù)，Ω?R4為邊界充分光滑的有界區(qū)域，n為方向向量.

Schr?dinger方程是量子力學的基本方程，它描述了微觀粒子的局域特征和波-粒二象性，考查了在非線性系統(tǒng)中粒子之間的相互作用.對于非線性Schr?dinger方程，已有許多作者進行了廣泛的研究［1-13］，其中 Brezis等在文獻［1］中考慮了二階非線性 Schr?dinger方程

的初邊值問題，其中，p＝2，Ω?R2，且具有緊的光滑邊界.采用的方法是借助半群理論、能量估計及B-G型不等式，建立了相應的先驗估計，得到問題（2）的經(jīng)典解的整體存在性.事實上，對于0＜p≤2，采用同樣的方法，可以證明文獻［1］中的結論均成立.Tsutsumi［2］研究了文獻［1］的推廣情形，即研究了如下的非線性Schr?dinger方程的初邊值問題

其中，Ω?R2是有界域，邊界光滑有界，f：R+→R 是（0，∞）上的 C2函數(shù)，滿足

p∈［1，∞ ），Ci是常數(shù).文獻［2］建立了新的 B-G型不等式，證明了當2≤p≤3時光滑解的整體存在性.本文采用以上方法研究四階非線性Schr?dinger方程的初邊值問題.

文獻［1］中B-G型不等式是對經(jīng)典的Sobolev不等式Hs嵌入到L∞（n為空間維數(shù)）情形的改進，即把由線性增長控制減弱為由對數(shù)增長控制.本文采用了這一改進，方法即引用B-G型不等式，借助Galerkin方法，得到解的整體適定性，并利用Gronwall不等式證明了解的唯一性.

1 解的整體適定性

本文采用的方法是Galerkin方法，其過程是常規(guī)步驟的實施，本文只給出解的相應先驗估計.

為了得到解的相應先驗估計，準備工作如下.

引理 1.1［4］（B-G 型不等式） 設 Ω?R4為邊界充分光滑的有界域，u∈（Ω），其中 σ≥2，且‖u1，則存在常數(shù) C，使得不等式成立.

對于引理1.1，取 n＝4，σ ＝3，則有更精細的B-G型不等式

對任意的 u∈H4（Ω），且‖u‖H2（Ω）≤1.

引理 1.2［5］（Gagliardo-Nirenberg 不等式）設Ω為光滑有界域，j、m是整數(shù)，p為實數(shù)θ≤1，且0≤j＜m，1≤q，r≤∞，則當

對任意 u∈Wm，r（Ω）∩Lq（Ω），存在正常數(shù) C1和C2，使得

引理 1.3 令 u ＝u（x，t）是問題（1）的光滑解，則有質量守恒

證明 對方程（1）與ˉu作內積，考慮其虛部，則有

故（7）式成立.

C是與初值有關的正常數(shù).

引理 1.4 令 u ＝u（x，t）是問題（1）的光滑解，則有

由于 H2（Ω）嵌入到 L2（p+1）（Ω），所以（10）式成立.

引理 1.5 令 u ＝u（x，t）是問題（1）的光滑解，且 p≥1，則有

其中C為常數(shù).

由Sobolev嵌入定理及引理1.4得

由（14）～（16）式得（13）式成立.

若把工作空間定義為 X＝｛u｜u∈H6（Ω）∩（Ω），Δ2u∈（Ω）｝，則有如下定理.

定理1.7 假設1≤p≤5，且 Ω?R4為充分光滑的有界區(qū)域，對任意的u0∈X，則對任意的T＞0，方程（1）存在唯一解 u ＝u（x，t），使得

利用方程（1），分別對（17）式兩邊作估計有：

第一項

其中C為常數(shù).

令 G（u）＝ ‖Δut‖L2（Ω），將不等式化作方程，并對兩邊關于時間t求導，得

即 1≤p≤5.

由方程（1）易得

下證唯一性.設 u1、u2為方程（1）的2 個解，令w＝u1-u2，則w滿足下列方程

其中C為常數(shù).因此，唯一性得證.