李明山， 張渝曼， 周效良

（嶺南師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東湛江524048）

近年來，傳染病數(shù)學模型在研究傳染病預防控制中發(fā)揮了重要作用.自Kermack與McKendrick于1927年在文獻［1］中建立易感（Susceptible）-染?。↖nfective）-康復（Recovered）模型（簡稱 SIR 模型）以來，傳染病模型的動力學研究取得大量的研究成果［1-14］.傳染病數(shù)學模型應用于分析傳染病的一般傳播規(guī)律，對傳染病的傳播機制、流行規(guī)律和防控理論的相關研究具有重要理論意義.在學者們的研究下，在連續(xù)SIR傳染病模型動力學研究中涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的成果［2-7，9-11］.對于連續(xù)傳染病模型而言，不僅僅要研究模型的穩(wěn)定性，更要研究其分岔性質.因為穩(wěn)定性僅僅說明了當時間趨于無窮模型解的性態(tài)，沒有涉及模型的解受外界干擾時模型解的性態(tài)變化［2-3，5］.研究傳染病模型分岔性質可以得到傳染病模型的解受外界干擾時模型解的性態(tài)變化和傳染病模型對應系統(tǒng)拓撲結構的變化與模型系數(shù)參數(shù)發(fā)生微小擾動時的關系，從而得到傳染病模型的相關動力學性質［3-7，9-10］.故研究傳染病模型的分岔性質對傳染病的防控措施、傳播機制與流行規(guī)律等相關理論研究是非常重要的.

1 模型介紹

在2012年，Wang等在文獻［5］中研究了如下連續(xù)SIR傳染病模型

由于系統(tǒng)（1）前2個等式不含有R，所以只需考慮如下子系統(tǒng)

其中，S、I、R 分別代表易感者、染病者、康復者，k是感染率，μ是自然死亡率，r是康復率，a代表治療措施對傳染病傳播的延遲效應.在文獻［5］中假設模型（2）所有的系數(shù)參數(shù)均大于0.系統(tǒng)（2）有2個無病平衡點 E0（0，0）和 E1（A，0），系統(tǒng)（2）在 E1（A，0）處的Jacobi矩陣如下

2 系統(tǒng)（2）的跨臨界與音叉分岔

下面用中心流形定理來研究系統(tǒng)（2）在無病平衡點E1（A，0）處跨臨界分岔和音叉分岔的性質與正規(guī)形.

證明 當 w ＝0時，有 λ1＜0，λ2＝0，為了體現(xiàn)系統(tǒng)（2）在無病平衡點E1（A，0）處的跨臨界分岔對參數(shù) w 的依賴，把 J（E1）寫成 Jw（E1）；施行如下坐標變換，易知系統(tǒng)（2）在無病平衡點 E1（A，0）處的Jacobi矩陣為

特征值λ1、λ2對應的特征向量可以寫成如下形式：

由變換（6）可以得到如下系統(tǒng)

由引理2.1可知在w＝0附近系統(tǒng)（7）平衡點（u，v）＝（0，0）處的穩(wěn)定性與分岔性質可通過中心流形上一參數(shù)系統(tǒng)來研究，由文獻［15］中的定理18.1.2知中心流形具有如下形式

由引理2.1知可通過如下（9）式計算中心流形（8）：

根據(jù)文獻［15］可知系統(tǒng)（2）在 E1（A，0）平衡點處發(fā)生跨臨界分岔，（11）式表明在（u，v）＝（0，0）附近所有高階項O（3）不改變其分岔性質，亦表明在（u，v）＝ （0，0）附近系統(tǒng)（10）的拓撲結構與

的拓撲結構是局部拓撲等價的.（12）式可以視作系統(tǒng)（2）在無病平衡點 E1（A，0）處跨臨界分岔的正規(guī)形.

由文獻［15］可知系統(tǒng)（2）在 E1（A，0）平衡點處發(fā)生音叉分岔.

（14）式可以視作系統(tǒng)（2）在無病平衡點 E1（A，0）處音叉分岔的正規(guī)形.

此時系統(tǒng)（2）在無病平衡點E1（A，0）處發(fā)生退化的音叉分岔.由

應用初等積分法可得

且系統(tǒng)（15）的每個等式都是獨立的微分方程，所以系統(tǒng)（15）的軌道結構是清楚的.證畢.

3 分岔的生物學解釋

由定理2.1 和2.2 可知，在 E1（A，0）處系統(tǒng)（2）的局部拓撲結構對參數(shù)w非常敏感，當w穿過0時，系統(tǒng)（2）平衡點 E1（A，0）的雙曲性和穩(wěn)定性都發(fā)生了改變，這表明傳染病在種群中流行狀態(tài)也發(fā)生了改變，故參數(shù)w在0附近的微小變化與傳染病在種群中流行狀態(tài)有著非常緊密的聯(lián)系，此時系統(tǒng)（2）的拓撲結構與參數(shù)w在0附近的微小變化有著某種對應關系.這種對應關系對研究傳染病的流行規(guī)律、傳播機制和預防控制有重要的理論意義.人們可通過研究傳染病模型的分岔性質來得到并且控制傳染病模型的敏感參數(shù)，從而達到控制傳染病在種群中流行狀態(tài)的目的.

致謝 嶺南師范學院攀峰計劃項目對本文給予了資助，謹致謝意.