蒲 浩， 蔣海軍， 劉衍民

（1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002；2.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046）

近年來，Hopfield型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的穩(wěn)定性理論和同步理論，在不同領(lǐng)域的實踐應(yīng)用和理論研究中有著廣泛的應(yīng)用，例如，應(yīng)用在保密通信，軍事領(lǐng)域，組合優(yōu)化及人工智能系統(tǒng)等.為此，引起了許多研究者對不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性理論和同步理論的研究［1-4］.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要在很長的時間內(nèi)才能實現(xiàn)指數(shù)同步和指數(shù)穩(wěn)定［5］.文獻(xiàn)［5］通過 Lyapunov函數(shù)和一些不等式方法研究了具有脈沖和時滯的模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)同步，在指數(shù)同步中的

當(dāng)時間t→+∞時才能實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步.然而，出于高效的考慮，在工程領(lǐng)域和理論研究領(lǐng)域需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定和同步.為此，研究者對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步問題進(jìn)行了研究［6-7］，文獻(xiàn)［6］在恰當(dāng)?shù)倪B續(xù)的反饋外部輸入控制下，研究了具有時滯的Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步.文獻(xiàn)［7］在恰當(dāng)?shù)倪B續(xù)外部輸入控制的條件下，通過有限時間穩(wěn)定性理論研究了具有變時滯的模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步.相對于連續(xù)性輸入控制同步，周期間歇輸入控制是可以節(jié)約成本的一種控制方法.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期間歇控制同步已經(jīng)被廣泛的進(jìn)行了研究［8-9］.文獻(xiàn)［9］不連續(xù)的周期間歇控制輸入下，研究具有反應(yīng)擴(kuò)散項的隨機(jī)模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期間歇指數(shù)同步.在理論研究和工程領(lǐng)域中，相對于一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在網(wǎng)絡(luò)容錯能力、收斂速度、儲存水平、逼近能力都具有較強(qiáng)的功能［10］.對于生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，由于系統(tǒng)外界干擾和系統(tǒng)自身因素的制約，信號在不同的神經(jīng)元之間的傳遞過程中不可避免的會出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，為此在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中需要考慮時滯.然而，在過去的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的文章中，在同一個系統(tǒng)中考慮通過周期間歇控制輸入實現(xiàn)變時滯的高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)同步的文章甚少.

受此啟發(fā)，本文通過Lyapunov函數(shù)及有限時間穩(wěn)定理論等，研究具有變時滯的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的周期間歇控制同步，具有較好的實用性.

1 模型和預(yù)備知識

考慮如下具有變時滯的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中，1≤i≤n，xi（t）表示 t時刻第 i個神經(jīng)元的狀態(tài)變量，αi（xi（t））是擴(kuò)大函數(shù)，βi（xi（t））是一個行為恰當(dāng)函數(shù)，fj、gj是激活函數(shù)，τij（t）是信號轉(zhuǎn)換時滯，且0≤τij（t）≤τ，˙τij（t）≤ρ＜1，aij表示第i個神經(jīng)元和第j個神經(jīng)元的連接權(quán)重系數(shù)，bij、dij分別是模糊反饋最小模板元和模糊反饋最大模板元，∧和∨分別表示模糊“和”和模糊“或”算子.

系統(tǒng)（1）的初值條件為

指的是把［t0-τ，t0］映射到Rn上的所有連續(xù)函數(shù)組成的一個具有p-范數(shù)的Banach空間（p≥2是一個正整數(shù)），其中p-范數(shù)在本文中定義形式為

對于系統(tǒng)（1），假設(shè)：

對任意的x，y∈R且x≠y成立；

對任意的 x，y∈R，1≤j≤n 成立.

把系統(tǒng)（1）作為主驅(qū)動系統(tǒng).為了同步，引入響應(yīng)系統(tǒng)

其中Ui（t）是外部周期間歇控制輸入

響應(yīng)系統(tǒng)（3）的初值條件是

定義誤差系統(tǒng)為

由驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3），可以得到誤差系統(tǒng)

2 輔助引理

為了證明的需要引入下列引理.

引理1［11］假設(shè)x與y是驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）中的2個狀態(tài)變量，則下列不等式成立：

引理 2［12］（Harder） 如果 c1，c2，…，cn是正實數(shù)且0＜θ＜p，則

引理3［13］對任意的非負(fù)實數(shù)a和b，且0＜c＜1 時，不等式（a+b）c≤ac+bc成立.

引理 4［14］若函數(shù) V（t）是當(dāng) t∈［0，+ ∞ ）時的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足

其中 a＞0，T ＞0，0 ＜η，? ＜1，I∈l＝｛0，1，…，m｝是一個有限的自然數(shù)集且p是一個正整數(shù)，則有不等式

V（t）1-η≤ V（0）1-η-a?（1- η）t， 0 ≤ t≤ ˉT，ˉT是一個有限的常數(shù).

定義1 對于驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3），若存在一個有限的時間常數(shù)ˉT≥0，使得

同時當(dāng) t＞ ˉT 時‖y（t）-x（t）‖ ＝0，則驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）在有限時間（0，ˉT］內(nèi)同步.

3 主要結(jié)果

定理 1 如果假設(shè)（H1）～（H3）都成立，且

則驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）在恰當(dāng)?shù)耐獠恐芷陂g歇控制輸入 Ui（t）下，在有限時間（0，T］內(nèi)是周期間歇同步的，其中

定義函數(shù)族

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

當(dāng) t∈［IT，TI+?T］時，結(jié)合（5）式對 V（t）關(guān)于 t計算Dini右上導(dǎo)數(shù)，可以得到下面的式子

根據(jù)引理1和假設(shè)（H3）可知

結(jié)合假設(shè)（H1）和（H2）、（7）～（10）式，有

對于實數(shù) ai＞0（1≤i≤p），有不等式

由（11）～（13）式可知

由引理2和引理3可知下列不等式

由（14）式可知

注1 在本文中所考慮的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，是通過恰當(dāng)?shù)耐獠恐芷陂g歇輸入控制而不是連續(xù)性的外部輸入控制，實現(xiàn)了在有限時間內(nèi)同步而不是無限時間內(nèi)同步，是對之前相關(guān)結(jié)論的推廣.

注2 通過

可以發(fā)現(xiàn)，在周期間歇控制過程中，控制時間越長，系統(tǒng)實現(xiàn)同步的有限時間ˉT越短.在實際應(yīng)用中，可以適當(dāng)?shù)难娱L間歇控制時間就可以更快的實現(xiàn)系統(tǒng)同步.

4 推論

當(dāng) αi（xi（t））＝1 時，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）變?yōu)?/p>

其中Ki（t）是外部周期間歇控制輸入，當(dāng)

對任意的x，y∈R且x≠y成立.

推論 1 若假設(shè)（H3）～（H5）成立，在周期間歇外部輸入控制（18）式下，則驅(qū)動系統(tǒng)（16）和響應(yīng)系統(tǒng)（17）在有限時間（0，ˉT］內(nèi)是周期間歇同步的，其中（15）式成立

注3 文獻(xiàn)［15］通過周期間歇控制的方法研究了一階時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題，當(dāng)時間t→+∞時才能實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)［16］通過周期間歇控制的方法研究了一階具有混合變時滯和反映擴(kuò)散項的隨機(jī)Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步，由同步定義

可知，所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在無限時間內(nèi)實現(xiàn)同步.在本文中通過周期間歇控制的方法研究了高階Cohen-Grossberg型模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步問題，相對于文獻(xiàn)［15-16］本文結(jié)論能更加高效的實現(xiàn)所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步.

致謝 遵義市15851人才資助項目（2013、2014和2015年）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.