杜 剛

（喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆喀什844008）

其中，Ω是RN中的有界光滑區(qū)域，0∈是單位外法向量＞0，函數(shù)F、G滿足以下條件：

（f1）F，G∈C1（R2，R+），即對所有的（u，v）∈R2，有

F（u，v）≥0， G（u，v）≥ 0，

且F、G不恒為0；

（f4）對所有的（u，v）∈R2，F(xiàn)u（u，v）、Fv（u，v）、Gu（u，v）、Gv（u，v）關(guān)于 u、v是嚴(yán)格單增函數(shù).

近年來，有許多文章研究橢圓方程組在非線性邊界下的解［1-5］，文獻［1］利用 Nehari流形證明了

在 f（x）、g（x）滿足一定條件下得到了方程正解的存在性.文獻［2］用Nehari流形和極值原理得到

我和老伴幾十年的感情，前段日子差點敗給一次爭吵。原本我們感情和睦，但老伴自從退休后變得脾氣古怪，只要有人反對她的看法，她不僅聽不進去別人的意見，而且還喜歡翻舊賬。

方程組在參數(shù)滿足一定條件時多個解的存在性.文獻［3］也是利用Nehari流形證明了

多個正解的存在性.但據(jù)了解，對于非線性邊值條件的奇異P-Laplacian方程組多解的存在性結(jié)果目前還沒有.本文將借助Nehari流形和極值原理，得到在λ滿足一定條件時，方程組（1）多組正解的存在性結(jié)果.本文的主要結(jié)果由以下定理給出.

定理 1 若函數(shù) F、G 滿足條件（f1）～ （f4），0＜λ，其中

則問題（1）至少有2組正解.

1 預(yù)備知識及主要引理

在Nehari流形上考慮這個問題，定義Nehari流形［7-8］Nλ＝｛（u，v）∈X＼（0，0）｜〈I′λ（u，v），（u，v）〉＝0｝，定義

引理 1.1 如果 F、G 滿足條件（f1）～ （f4），且0＜λ＜λ*，其中

由條件（f1）～（f4）易得

這與條件λ＜λ*矛盾，所以＝?.

引理 1.2 假設(shè)（u0，v0）是 Iλ在 Nλ的局部極小點，且（u0，v0）?，則 I′λ（u0，v0）＝0.

證明類似于文獻［9］.

2 主要結(jié)論

證明 設(shè)｛（un，vn）｝是 Iλ在上的極小序列，易證｛（un，vn）｝有界，因而存在｛（un，vn）｝的一子列不妨仍記為｛（un，vn）｝，使得（）∈X是（1）式的一個解且，于（Ω）；，于 Lβ（Ω）；2 ＜ β ＜，，于Lq（Ω），p≤q ＜ p*，這就意味著

再由引理1.4有

證明類似文獻［10］中的定理3.2.

定理1的證明 結(jié)合定理2和定理3，存在