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        向量?jī)?yōu)化的高階微分條件

        2018-11-07 03:34:26唐琦林廖永志
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)結(jié)論定理

        唐琦林, 廖永志, 胡 敏

        (攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川攀枝花617000)

        向量?jī)?yōu)化問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)理論及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.例如最早研究的Pareto有效解和弱Pareto有效解[1-10],最近研究的Sharp解和弱Sharp解等[8-11].利用廣義導(dǎo)數(shù),獲得了這些解的一些充分或必要的最優(yōu)性條件[10-13],這在數(shù)學(xué)規(guī)劃的很多問(wèn)題當(dāng)中都起著關(guān)鍵的作用,比如靈敏度分析、誤差界分析等方面.文獻(xiàn)[14]把泰勒公式擴(kuò)展到Ck,1函數(shù),應(yīng)用它得到高階擬凸函數(shù)的最優(yōu)性條件.本文主要研究2個(gè)問(wèn)題:一是文獻(xiàn)[12]在光滑的前提下討論了Pareto解,本文將其推廣到非光滑條件下討論P(yáng)areto解的存在性;二是首先給出Banach空間Pareto解的次可微形式的Pareto最優(yōu)條件,然后,應(yīng)用高次微分形式的泰勒公式來(lái)研究從Rn到Rm上的Ck,1函數(shù)的Pareto解的純量形式最優(yōu)性條件,最后,提出弱C-擬凸和C-擬凸函數(shù)的概念,并給出其二階判別條件,完成對(duì)向量?jī)?yōu)化的高階微分條件的進(jìn)一步研究.

        1 預(yù)備知識(shí)

        下面給出本文用到的一些定義、性質(zhì)及結(jié)論.

        設(shè)Y是一個(gè)Banach空間,Y*是其對(duì)偶空間.記C?Y是一個(gè)內(nèi)部非空集的閉凸錐,C+表示C的對(duì)偶錐,即 C+={y*∈Y*:0≤〈y*,c〉,?c∈C},對(duì)y1,y2∈Y,定義關(guān)系 y1<Cy2和 y1≤Cy2分別為 y2-y1∈int(C)和 y2-y1∈C.

        下面給出關(guān)于向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的一些結(jié)論及Pareto解的定義.

        定理 1.1[11]設(shè) f是從 Banach空間 X 到 Banach空間Y的一個(gè)映射X,f在的附近具有2n階導(dǎo)數(shù),其中n為一個(gè)自然數(shù).假設(shè)存在c*∈C+,‖c*‖ =1且

        若f(2n)(ˉ)是S正定,則是(1)式的局部Pareto解,并且存在數(shù) η,δ∈(0,+∞)使

        定理 1.2[11]設(shè) f是從 Banach 空間 X 到Banach空間Y的一個(gè)C-凸映射X,f在的附近具有2n階導(dǎo)數(shù),其中n為一個(gè)自然數(shù).假設(shè)存在c*∈C+,‖c*‖=1,若f(2n)(ˉ)是S正定,則是(1)式的整體 Pareto解,并且存在數(shù)η0∈(0,+∞)使

        設(shè)WE(A,C)表示由A的所有弱Pareto有效點(diǎn)構(gòu)成的集合,E(A,C)表示由A的所有Pareto有效點(diǎn)構(gòu)成的集合,則顯然有

        設(shè)f是從Banach空間X到Banach空間Y的一個(gè)函數(shù),考慮向量最優(yōu)化問(wèn)題

        定理 1.3[11]設(shè) f是從 Banach空間 X 到 Banach空間Y的一個(gè)映射X,f在的附近具有2n階導(dǎo)數(shù),其中n為一個(gè)自然數(shù), )=0.

        成立,其中

        對(duì)于局部 Lipschitz函數(shù),Clarke[15]為連續(xù)可微函數(shù)梯度的推廣,提出了廣義梯度概念.

        定義 1.1[15]設(shè) f(x)為開(kāi)集 S?Rn上的局部Lipschitz函數(shù),f(x)在點(diǎn) x處沿 d∈Rn的廣義方向?qū)?shù)定義為

        廣義方向?qū)?shù)有如下性質(zhì):

        定理 1.4[15]設(shè) f(x)為 Rn上的局部 Lipschitz函數(shù),在點(diǎn)x∈Rn附近的Lipschitz常數(shù)為L(zhǎng),則有下述結(jié)論:

        1)f0(x;d)作為 d的函數(shù)是次可加的和正則的,且滿足|f0(x;d)|≤L‖d‖;

        2)f0(x;d)作為 d 的函數(shù)是 Lipschitz;

        3)f0(x;d)作為 d的函數(shù)是上半連續(xù)的;

        4)f0(x;-d)= -f0(x;d),?d∈Rn.

        定義 1.2[15]設(shè) f(x)為 Rn上的局部 Lipschitz函數(shù),f(x)在x處的Clarke次微分定義為

        其中元素 ξ∈?f(x)叫作 f(x)在 x處廣義梯度.當(dāng)f(x)為凸函數(shù)且連續(xù)時(shí),則凸函數(shù)所定義的方向?qū)?shù)和次梯度相吻合,也就是

        定義 1.3[15]設(shè) A是 Y的一個(gè)子集且 a∈A.稱:1)如果不存在點(diǎn) y∈A\{a},使得 y<Ca,則 a是集合A中一個(gè)弱Pareto有效點(diǎn);2)如果不存在點(diǎn)y∈A\{a},使得 y<Ca,則 a是集合 A中一個(gè) Pareto有效點(diǎn);3)如果對(duì)所有y∈A有a≤Cy,則a是集合A中一個(gè)理想點(diǎn).

        用 Ck,1(Rn,Rm)(k≥0)表示從 Rn到 Rm的具有直到k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其第k階導(dǎo)算子是局部Lipschitz的函數(shù)全體.

        用C0,1表示Rn上的局部Lipschitz函數(shù)全體,由 Rademaacher定理[15],對(duì)任意 f∈Ck,1,其 k 階導(dǎo)算子Dkf是幾乎處處可微的.定義f在點(diǎn)x∈Rn處的 k+1 階次微分[15]為

        稱該集合的元為f在x處的k+1階次梯度,它是Rn上的k重線性連續(xù)算子[15].

        由文獻(xiàn)[15]知?k+1f(x)是非空緊集.

        定義關(guān)于x,u∈Rn的雙變量函數(shù):

        ?x1,x2∈X 且?t∈[0,1],則映射f:x→y 是 C-凸的[3].

        注1.1 f是C-凸的,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有 c*?f是C-凸的.

        2 一階最優(yōu)性條件的研究

        在光滑假設(shè)的條件下,Zheng等[12]獲得如下的結(jié)果.

        引理 2.1[12]設(shè) f:X→Y 是一個(gè)光滑映射且∈X,則如下結(jié)論成立:

        對(duì)于C-凸函數(shù),把上述光滑條件推廣到非光滑條件下討論P(yáng)areto解,給出下列次微分形式的結(jié)論.

        其中?表示凸次微分.

        設(shè) F(x):=f(x)+C,

        容易驗(yàn)證A是凸的.

        反證,若交集非空,則存在 x∈B(x,δ),y∈F(x)=f(x)+C,使得 y∈ f(x)-int C.設(shè):y:=f(x)+c0,c0∈C,則

        因此,存在η>0,使得

        又由分離定理可知,存在(x*,c*)∈X*×Y*且‖(x*,c*)‖ =1,使得對(duì)所有(x,y)∈A,u∈X,c∈int C,有

        又因?yàn)?f是 C-凸的,(c*?f)是凸的,且 0∈?(c*?f)),故對(duì)任意的x∈),c∈C+且‖c*‖=1.

        反之,假設(shè)f是C-凸,c∈C+且‖c*‖=1使得(3)式成立,則對(duì)于一固定點(diǎn)x∈X,有

        證明 設(shè)h是X中任意一點(diǎn),c*∈C+中,則存在δ>0,使得對(duì)于所有的t∈(0,δ)有f()≤cf(+th).因此,對(duì)于所有的 t∈(0,δ)有

        因此0∈?c(c*?f)().證畢.

        (ii)對(duì)于所有的c*∈C+有0∈?(c*?f)(;

        證明 因f是連續(xù)的C-凸映射,對(duì)于所有c*∈C+,有?(c*?f)()=?c(c*?f)(),由命題2.3 立刻有(i)?(ii),只需證明(ii)?(iii).先假設(shè)(ii)成立,設(shè) x∈X 和c*∈C+,由 C-凸性可知

        由(ii)可知0≤(c*?f)′)≤〈c*,f(x)-f()〉成立.因此對(duì)于所有的x∈X,有(c*?f)()≤(c*?f)(x).

        〈c*,f(x′)-f)〉< 〈c*,c〉, ?c∈C成立.因 C 是閉凸錐,則 0≤〈c*,c〉,?c∈C 和(c*?f)()> (c*?f)(x′),c*∈C+,矛盾.證畢.

        3 k+1階次微分最優(yōu)性條件的研究

        由Taylor公式知道,當(dāng)X是有限維的且f:X→R是2n次可微的ˉ∈X.如果f(k)(ˉ)=0(k=1,2,…,2n-1),且對(duì)任意的 h∈X\{0}都有 f(2n)h(2n)>0,則ˉ是f的一個(gè)局部極小值點(diǎn).對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,許多研究者考慮了二階優(yōu)化條件,給出了不同形式的優(yōu)化條件.參考文獻(xiàn)[14],利用高階Clarke次微分形式的Taylor公式,給出有限維空間上的Ck,1類向量值函數(shù)的(k+1)優(yōu)化條件.

        設(shè) f:Rn→Rm,C?Rm是閉凸錐且 f∈Ck,1.

        引理 3.1[14]設(shè) f∈Ck,1(Rn,R),a,b∈Rn,則存在 c∈(a,b)及 A∈?k+1f(c),使得

        引理 3.2[14]設(shè) f∈Ck,1(Rn,R),a,x∈Rn,則存在Ax∈?k+1f(a)及 Rn上的 n重線性連續(xù)算子r(x),使得

        根據(jù)引理3.1得到如下結(jié)論.

        命題3.1 設(shè)f∈Ck,1(Rn,Rm)Rn是(2)式的一個(gè)局部理想解,如果Dif(ˉ)=0(i=1,2,…,k),那么對(duì)于所有的u∈Rn和c*∈C+有

        成立.特別地,如果k是偶數(shù),那么對(duì)于所有的u∈Rn有0∈?k+1f(c*?f)ˉ;u).

        證明 令c*∈C+.因?yàn)镈i(c*?f)()=(c*?Dif)()=0,i=1,2,…,k,(c*?f)是一個(gè)從Rn到R的k次可微映射,其k階導(dǎo)數(shù)是也是局部Lipschitz的并且(c*?f)在處取局部最小值,應(yīng)用引理3.1,得證.

        對(duì)于函數(shù)Ck,1以k+1階次微分的形式,為成為(2)式的尖的局部Pareto解提供高次充分條件.

        定理3.1 設(shè)f∈Ck,1(Rn,Rm),Rn,且)=0,i=1,2,…,k.假設(shè)存在c*∈C+且‖c*‖ =1,對(duì)所有的 u∈Rn,u≠0 有

        證明 對(duì)于所有的 x∈X,設(shè) φ(x):=〈c*,f(x)〉,那么 φ 是一個(gè)從 Rn到 R 的 Ck,1函數(shù).由引理3.2知,存在A∈?k+1φ()及Rn上的n重線性連續(xù)算子r(x),使得

        令S:={x∈Rn:‖x‖ =1}.由(c*?f)的定義可知,函數(shù)u→(c*?f)(;u)是連續(xù)的,注意到S是緊集,故存在u′∈S,使得

        對(duì)C-凸且是Ck,1的函數(shù),提供一個(gè)使成為(2)式的整體的Pareto解的高階充分條件.

        定理 3.2 設(shè) f∈Ck,1(Rn,Rm)且是 C- 凸的,再設(shè)xˉ∈Rn,Dif(xˉ)=0,其中i=1,2,…,k.假設(shè)存在c*∈X*且‖c*‖=1,對(duì)所有的u∈Rn,u≠0有)>0,那么,xˉ是(2)式的整體的Pareto解且存在η0∈(0,+∞)使得下面結(jié)論成立:

        證明 與定理3.1最后的證明方式相同,(6)式成立意味著是(2)式的全局的Pareto解.只要證明(6)式成立即可.根據(jù)定理3.1,這里存在 η,δ∈(0,+∞)使得(2)式成立.

        取 η0:= min{η,ηk+1δk},從(5)式知(6)式成立.證畢.

        在更強(qiáng)的假設(shè)下,有以下(2)式整體理想解的充分條件.

        定理3.3 設(shè)f∈Ck,1(Rn,Rm)且∈Rn.假設(shè)=0,i=1,2,…,k,且對(duì)于任何x,u∈Rn,u≠0,c*∈C+,都有?f)(x;u)>0,那么是(2)式理想解.

        證明 對(duì)于任何 x∈X,設(shè) φ(x):=〈c*,f(x)〉,那么 φ 是 Rn到 R 的 Ck,1函數(shù),令 u∈Rn,u≠0,由引理3.2,存在v∈(,x+u),使得

        故對(duì)?x∈X,有(c*?f)()≤(c*?f)(x).根據(jù)分離定理[16],易知ˉ是(2)式理想解.證畢.

        4 k+1階擬C-凸函數(shù)的判別條件的研究

        參見(jiàn)文獻(xiàn)[15,17-21],得到如下概念.

        第一,設(shè) f:Rn→R,稱 f是擬凸的,如果對(duì)任意x,y∈Rn且 λ∈(0,1)都有

        凸函數(shù)和擬凸函數(shù)都可以通過(guò)一階和二階次微分刻畫.

        第二,設(shè) f是從Rn到Rm的函數(shù),如果存在c*∈C+,使得對(duì)任意 x,y∈Rn且 λ∈(0,1),使得

        則稱f是弱C-擬凸函數(shù).如果對(duì)任意c*∈C+,任意 x,y∈Rn且 λ∈(0,1),(7)式都成立,則稱 f是C-擬凸函數(shù).

        文獻(xiàn)[14]運(yùn)用廣義Heshiang給出擬凸函數(shù)的二階判定準(zhǔn)則.在此,給出C-擬凸函數(shù)和弱C-擬凸函數(shù)的k+1階判定準(zhǔn)則.

        命題 4.1 設(shè) f∈Ck,1(Rn,Rm),f是 C- 擬凸函數(shù)(或弱C-擬凸函數(shù)),k是奇數(shù)且C?Rm是閉凸尖錐.若 x,u∈Rn,使得 )= 0 ,則對(duì)任何(或存在)c*∈C+,使得

        證明 假設(shè)結(jié)論不正確,那么存在x,u∈Rn,c*∈C+,使得

        由引理3.1,存在 v∈(x,x+tu)和 A∈?k+1(c*?f)(v),v使得

        (c*?f)(x+tu)- (c*?f)(x)= tk+1Av(u,…,u).

        又由假設(shè)k為奇數(shù),則對(duì)所有的 t∈[-t0,t0],有

        (c*?f)(x+tu)- (c*?f)(x)< - ε < 0.特別地,

        特別地,如果 m =1,C=R+,那么 C+=R+,有:

        推論4.1 設(shè)f是從Rn到R的擬凸函數(shù),k是奇數(shù).如果 x,u∈Rn, (x)(ui) = 0 ,則f(x;u)≥0.

        另外,關(guān)于充分性二階條件,應(yīng)用命題4.1,立刻得出以下推論.

        推論 4.2 假設(shè) f∈C1,1(Rn,Rm),任取 x,u∈Rn,x≠u,如果對(duì)任意 c*∈C+,當(dāng) D(c*?f)(x)(u)=0時(shí),有(c*?f)(x;u)≥0;當(dāng) D(c*?f)(x)=0時(shí),有(c*?f)(x;u)> 0;則 f是 C- 擬凸函數(shù)(弱C-擬凸函數(shù)).

        現(xiàn)在假設(shè):f:Rn→Rm是一個(gè) C1,1和 C- 凸函數(shù),C?Rm是閉凸尖錐.令∈Rn,cj∈R,和 P:= {x∈Rn:〈,x〉-cj≤0;j=1,2,…,k}.考慮如下的C-凸向量?jī)?yōu)化問(wèn)題:

        3)存在c*∈C+\{0}和tj≥0(j∈I()),使得

        與命題4.2類似,對(duì)優(yōu)化問(wèn)題(8)的理想解,有

        反之,任取c*∈C+.假設(shè)存在tj≥0(j∈I())使得(10)成立.由(9)式可知,一定有0∈φ′c*()+N(P,).因?yàn)棣誧*是凸的,則是φc*在P上的一個(gè)極小值.因此,對(duì)任意x∈P,有f()≤Cf(x),由此可知,對(duì)任意x∈P和c*∈C+,都有〈c*,f()〉≤〈c*,f(x)〉.所以是(8)式的一個(gè)理想解.

        根據(jù)命題2.4及命題4.1,得到如下結(jié)論.

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