楊孔慶,羅明秋,李幼銘

(1.蘭州大學,甘肅蘭州730000;2.集美大學,福建廈門361021;3.中石化休斯頓研發(fā)中心,休斯頓77056;4.中科院地質(zhì)與地球物理研究所,北京100029)

地震波的傳播是一種非常復雜的波動現(xiàn)象,對其描述非常困難。目前數(shù)學上對地震波描述得最好的方程是粘彈性各向異性波動方程。但由于該方程的模擬計算量巨大,因而在油氣勘探工業(yè)中未能廣泛使用。地震波近似聲波方程和高頻近似方程計算量小,在地震波場模擬、偏移成像和反演中得到了廣泛應用。

在均勻介質(zhì)中,以費馬原理為基礎的程函方程和標量波動方程數(shù)學形式簡潔,相應物理概念清晰。油氣勘探中的很多技術,如射線追蹤、走時場的計算和地震波場模擬,都以此為基礎[1]。然而,地震波在復雜構造、各向異性等介質(zhì)中傳播時,基于歐氏幾何的傳統(tǒng)表述方法就不再簡潔。尋找簡單統(tǒng)一的地震波傳播表述,有助于我們正確理解地震波現(xiàn)象和精確模擬地震波。

基于現(xiàn)代微分幾何流形理論的微分幾何已成為物理學、數(shù)學及力學領域不可缺少的數(shù)學工具[2-3]。人們將它用于描述光在復雜介質(zhì)中的傳播[4-5]。本文利用微分幾何方法來描述地震波的傳播。

從描述彎曲空間的黎曼幾何出發(fā),建立復雜介質(zhì)中波場走時的黎曼流形,復雜介質(zhì)中的地震波沿黎曼流形中的測地線傳播;同時,復雜介質(zhì)中的標量波動方程亦可由黎曼流形中協(xié)變的標量波動方程來描述。采用黎曼幾何方法描述地震波在復雜介質(zhì)中傳播的問題,可以深化對幾何射線和波動方程的認識,提高對射線追蹤和地震波場的計算能力,同時也為復雜介質(zhì)中的波場變換提供了一種可能的研究途徑。

1 黎曼幾何中的基本概念

黎曼幾何是描述彎曲空間的幾何。以原點為圓心,以R為半徑的球面是一個二維曲面,在三維空間中可以利用三個獨立變量的方程來描述。假設不在三維空間中來觀察這個二維球面,而是在這個二維球面(即二維流形,只有兩個獨立變量)上來審視這個球面,采用兩個獨立變量來描述這個曲面上兩點的距離及其它的幾何量,首先需要選取球面上任何一點的鄰域,當此鄰域選取得足夠小,我們可以將此鄰域看成一個二維的小平面,即這個小鄰域與一個二維平面(二維的平直空間)同構,接著就可以用二維平面上的自然坐標系作為球面一點的小鄰域坐標來描述這個鄰域,構成這個鄰域的局域坐標。而球面上相鄰兩點的小鄰域用兩個不同的平面坐標即兩套局域坐標來描述,我們可得到這兩套坐標間的坐標變換,即轉(zhuǎn)換函數(shù)(雅可比函數(shù)),因為所研究的曲面是光滑的,所以轉(zhuǎn)換函數(shù)是非奇異的。將整個曲面(球面)看成由無窮多個小平面拼接而成,轉(zhuǎn)換函數(shù)是由曲面的性質(zhì)所決定的。在此基礎上,我們可以定義曲面上相鄰兩點的距離。

黎曼幾何就是建立在這種思想框架上描述彎曲空間的幾何學,本文只給出三維彎曲空間(三維流形)的黎曼幾何描述,其它維數(shù)的黎曼幾何只需改變空間坐標的維數(shù)即可。

三維黎曼流形上任意相鄰很近兩點的距離ds的平方(簡稱距離)可用局域坐標(x1,x2,x3)來描述:

ds2=(dx1,dx2,dx3)·

(1)

式中:gij(x)≡gij(x1,x2,x3)稱為黎曼度量函數(shù),是描述空間彎曲的勢函數(shù),它是3×3的度量矩陣的矩陣元,也簡稱為黎曼度量或度量;x是坐標(x1,x2,x3)的縮寫。根據(jù)愛因斯坦求和規(guī)則可簡單寫成如下形式:

(2)

為簡潔起見,我們以gij代替gij(x),根據(jù)愛因斯坦求和規(guī)則,(2)式中兩個坐標的指標i和j都自動從1到3進行求和。(1)式和(2)式完全相同,但利用愛因斯坦求和規(guī)則寫出更簡潔。以下公式都采用愛因斯坦求和規(guī)則。

黎曼度量是個對稱矩陣,即gij=gji。黎曼度量gij的逆為gij,有:

(3)

度量矩陣的行列式記為|gij|=g,且g是正定的。

在三維歐氏空間中,由歐氏幾何的第五公設可知,一個向量在此空間中的平行移動有明確的定義,且不依賴于移動路徑的選擇。設在歐氏空間中有一個向量A=A1(x)e1+A2(x)e2+A3(x)e3,A1,A2,A3分別為該向量在三個空間方向e1,e2,e3上的分量。當該向量沿任意路徑做平行移動時,其每個分量都是保持不變的,故有:

(4)

i,j=1,2,3

但在黎曼流形中,歐氏幾何的第五公設失效,定義一個彎曲空間中一個向量的平行移動,就必須引入聯(lián)絡的概念,即彎曲空間中兩點間的聯(lián)系。有多種方法可用來定義空間兩點間的聯(lián)絡,不同的聯(lián)絡定義了不同的向量在空間的平行移動。在黎曼流形中,黎曼給出了與黎曼度量唯一相容的黎曼聯(lián)絡,由黎曼聯(lián)絡定義了黎曼流形中唯一的向量平行移動,進而定義了黎曼流形中的“直線”,即黎曼流形中兩點間距離最短的連線,稱為黎曼流形中的“測地線”,或稱為“短程線”。

在三維黎曼流形中,與黎曼度量gij相容的黎曼聯(lián)絡為:

(5)

i,j,k,m=1,2,3

(6)

(7)

對于黎曼流形上的一個向量場X,如果有:

(8)

則此向量場是黎曼流形上的平行向量場,即由向量X在黎曼流形中的任意平行移動所構成,(8)式定義了黎曼流形中向量場的平行移動。

黎曼流形上的“直線”,即流形上兩點間最短距離的連線由測地線方程來描述:

(9)

i,j,k=1,2,3

式中:ds,dxi,dxj,dxk分別為沿測地線和三個方向的微分。

由費馬原理可知,一個不受力的“自由粒子”或光線在黎曼流形上的運動或傳播,是沿測地線進行的。有了協(xié)變微商的定義,我們可以給出黎曼流形上的拉普拉斯算子,它作用于黎曼流形的標量函數(shù)f上,有:

(10)

(11)

黎曼流形的彎曲程度也可以用里希(Ricci)張量描述如下:

(12)

等式右邊黎曼曲率張量的上、下指標k進行1→3求和,此求和過程稱為指標的縮并求和,此指標完成計算任務后自動消失。

同時,我們還可以用標曲率R來描述黎曼流形的彎曲程度,標曲率R定義如下:

(13)

標曲率在某些情況下更容易看出整個流形的彎曲狀況。

2 地震波傳播波場的走時場的黎曼流形

對于平直的三維歐氏空間,相鄰兩點間的距離為:

(14)

(15)

地震波的載體是三維平直空間中的介質(zhì),這個平直空間的性質(zhì)是不變的。但在復雜介質(zhì)中,地震波傳播的速度隨介質(zhì)的不同而變化,即空間相鄰兩點間地震波傳播的時間隨介質(zhì)的不同而變化。因此,在研究地震波在介質(zhì)中的傳播和波場變換時,人們常用地震波的走時場來討論。

2.1 復雜的局域各向異性介質(zhì)中走時場的黎曼幾何描述

在復雜的各向異性介質(zhì)中,介質(zhì)可以看成走時場的黎曼流形,即相鄰兩點間的走時間隔dT的平方為:

(16)

由量綱分析可知,度量函數(shù)gij的量綱是速度量綱的倒數(shù)平方,這是對最復雜介質(zhì)走時流形的描述。由此得到的測地線方程是高度非線性方程。

2.2 局域x,y,z三軸各向異性介質(zhì)中走時場的黎曼幾何描述

如果我們不考慮度量矩陣的交叉項,即不考慮介質(zhì)的復雜性使得波在局域范圍內(nèi)傳播時具有的旋轉(zhuǎn)效應,而只考慮(x1,x2,x3)在x,y,z三軸上傳播速度的不同,則走時間隔dT有:

(17)

式中:v1,v2,v3分別表示地震波沿x,y,z軸傳播的速度。

此時的度量函數(shù)為:

(18)

度量矩陣為:

(19)

由此可根據(jù)(5)式計算其聯(lián)絡系數(shù)函數(shù),進而計算此流形中較為復雜的測地線方程和波動方程。

2.3 局域各向同性介質(zhì)中走時場的黎曼幾何描述

我們現(xiàn)在考慮復雜介質(zhì)中最簡單的一種情況,即在局域范圍內(nèi),介質(zhì)是各向同性的,即:

(20)

此時地震波傳播的速度v(x)是隨著不同介質(zhì)(或相同介質(zhì)不同密度)的空間點而變化的。走時流形的時間間隔為:

(21)

該度量函數(shù)為:

(22)

其逆為:

(23)

比較(22)式與(15)式得到:

(24)

可以通過標量函數(shù)v2的變換,將度量函數(shù)gij變?yōu)槠街笨臻g中的度量函數(shù)δij,我們稱此走時流形是共形平坦的流形。

根據(jù)(5)式,(22)式和(23)式計算出此三維走時場的黎曼流形中的27個黎曼聯(lián)絡系數(shù):

(25)

2.4 共形平坦的走時場黎曼流形中的測地線方程

下面我們可計算此三維走時場的黎曼流形中測地線方程。由測地線方程:

(26)

可得:

(27)

此測地線方程,表示地震波在三維走時場的黎曼流形中,沿走時最小的路徑傳播。

2.5 共形平坦的走時場黎曼流形中地震波傳播的標量波動方程

在歐氏空間中,均勻介質(zhì)中地震波傳播滿足如下的標量波動方程:

(28)

(29)

該方程是在走時場中的波動方程,其速度關系(即度量系數(shù)函數(shù))包含在協(xié)變的拉普拉斯算子中,故(29)式左邊的第二項與(28)式左邊第二項的系數(shù)差1/v2的因子,從量綱分析可知,(28)式和(29)式的量綱是平衡的。

(30)

即:

(31)

地震波在局域各向同性復雜介質(zhì)中傳播的方程為:

(32)

方程(32)左端前兩項正是歐氏空間中波動方程(28)式的左端,因此我們所得到的方程是對歐氏空間波動方程的修正,其修正項為-?ilnv?iu。修正項是對波動方程中振幅梯度的修正。從修正項函數(shù)的特性可知,它隨著速度v的增加而以對數(shù)的形式增加,而修正項前面的負號說明它是對梯度減小的修正。我們也可由介質(zhì)密度與波速的關系,給出此修正與介質(zhì)密度的關系。由于在方程(32)中我們把地震波的振幅u(x,t)近似等同于歐氏空間中的振幅,故在分析修正項時必須把這種近似考慮進去。

3 地震波在復雜介質(zhì)中傳播的黎曼幾何描述的應用

我們研究共形平坦的走時場黎曼流形中地震波傳播的射線參數(shù)方程及其應用。本節(jié)只討論二維空間坐標下的射線方程。在二維空間坐標中,x,z分別表示距離和深度,走時流形上任意一條曲線的測地曲率Kg有如下的劉維爾表述:

(33)

因為該共形平坦的走時場黎曼流形中滿足測地曲率為零的條件,故二維空間坐標系中的射線方程具有如下形式:

(34)

射線方程是以θ為參數(shù)的方程,θ為射線切向與x軸正向的夾角,其物理意義十分明確。在傳統(tǒng)理論中,均勻介質(zhì)中的地震波前沿直射線傳播,θ是恒量,它不能也沒有必要作為射線參數(shù)引入,對射線的描述用x,z就足夠了。而在共形平坦的走時場的黎曼幾何描述中,因走時場的速度及其梯度與θ有關,故有必要用x,z,θ來描述彎曲射線。對于傳統(tǒng)的射線方程,在其求解時往往要引入其它輔助參數(shù),否則難以對射線軌跡進行直觀的描述。因(34)式較容易求解,故它在射線追蹤的解析表達、數(shù)值計算以及波場變換中也是很有價值的表達式。

4 結(jié)論和討論

利用速度模型建立走時場的黎曼流形,實質(zhì)上就是把復雜介質(zhì)的特性轉(zhuǎn)換成空間特性,由速度分布函數(shù)描述了走時場空間的彎曲特性。在這一彎曲空間中,波前射線即為測地線(彎曲空間中的“直線”),波動方程即為黎曼流形中的標量波動方程。這樣黎曼幾何對黎曼流形上曲線、曲面及波動的描述都可以應用到對復雜介質(zhì)中地震波前射線和波動方程的討論中,由此得到的許多結(jié)論對射線追蹤的走時計算和反演問題的處理有重要價值。在歐氏空間中,人們總是在笛卡爾坐標系或極坐標系中討論射線追蹤的問題。對均勻介質(zhì),這兩類坐標系的應用非常方便,但對復雜介質(zhì),其描述就不很簡潔。引入黎曼幾何描述之后,可在黎曼流形上建立射線坐標系(測地平行坐標系)和射線極坐標系(測地極坐標系),復雜介質(zhì)中的射線及波陣面的表述就有較簡潔的形式。例如,在射線極坐標系中,θ=常數(shù),就描述了復雜介質(zhì)中從原點出發(fā)的射線。

黎曼幾何是描述彎曲空間(即流形)的一種強有力的數(shù)學工具。本文給出了地震波傳播的黎曼幾何的基本理論框架,由介質(zhì)的速度分布函數(shù)引入了走時場的黎曼流形及描述此黎曼流形的多種特性函數(shù),還給出了局域各向同性、各向異性及更為復雜介質(zhì)中的射線方程在走時黎曼流形上的測地線方程及協(xié)變的波動方程,并用測地曲率的劉維爾表述,導出了二維空間坐標系內(nèi)的射線參數(shù)方程。我們只給出了最簡單的共形平坦的走時場的黎曼流形的計算,可看出黎曼幾何在描述射線追蹤、波場變換等方面的應用前景。對于地震波在更為復雜的介質(zhì)中傳播的走時黎曼流形及其各種特性函數(shù),如度量、聯(lián)絡等表現(xiàn)為復雜的形式,而黎曼流形上的測地線方程和協(xié)變的波動方程是高度非線性的復雜的微分方程,其數(shù)值解將給出研究復雜介質(zhì)中地震波傳播的另一種途徑。接下來我們還需要進一步分析比較它與現(xiàn)有各種聲波各向異性方程的異同。