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        耗散修正的Camassa-Holm方程解的存在唯一性

        2018-11-07 11:14:32,
        關(guān)鍵詞:初值范數(shù)定性

        ,

        (浙江理工大學理學院,杭州 310018)

        0 引 言

        本文主要考慮修正的Camassa-Holm方程的Cauchy問題,該問題可以描述為:

        mt+auxm+bumx=0,t>0,x∈R

        (1)

        u(x,0)=u0(x),x∈R

        (2)

        修正的Camassa-Holm方程是作為不變的Hk空間中擴散自同態(tài)群的測地線方程,由Constantin等[1-2]導出。當a=2,b=1,k=0或者1時,方程(1)分別為KdV方程和Camassa-Holm方程,其中Camassa-Holm方程的形式為:

        ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxxx

        (3)

        它最早是被Fokas等[3]提出,直到Camassa等[4]將其作為淺水波模型才被認真研究。方程(3)從被研究以來,許多人都在關(guān)于它的適定性方面做出了貢獻,例如,Constantin[5]、Constantin等[6]以及Misiolek[7]分別討論了s≥4,s≥3和s>3/2時關(guān)于初值在Hs(S),S=[0,2π]上的局部適定性;在非周期情況下,Li等[8]證明了初值在Hs(R)(s>3/2)上解的局部適定性。關(guān)于修正的Camassa-Holm方程(1),Malachlan等[9]研究了其解的適定性以及弱解的存在性,他們證明了周期的Cauchy問題在空間Hs(s>7/2)上是局部適定的,并且解持續(xù)依賴于初始值;在非周期情況下,Mu等[10]研究了解在Hs(R)(s>7/2)空間的局部適定性問題,并且證明了解依然持續(xù)依賴于初始值。Fu等[11]研究了方程(1)的Cauchy問題并且證明了解在Hs(R)(s>7/2)空間不一致連續(xù)。

        類似修正的Camassa-Holm方程,Escher等[12]推導了一個二元修正的Camassa-Holm方程組:

        (4)

        以上研究表明,無論是修正的Camassa-Holm方程,還是二元修正的Camassa-Holm方程組,當r=2時其解的存在空間Hs(R)都要求s>7/2。本文通過對修正的Camassa-Holm方程添加耗散項,利用半群性質(zhì)、非線性估計、縮映射原理及能量估計,改進了已有的解的適定性,建立了其在低正則性空間中解的存在唯一性。

        1 主要定理

        本文考慮修正的Camassa-Holm方程在低正則性空間中解的存在唯一性,給定初值u0∈L2(R),建立如式(5)描述的耗散修正的Camassa-Holm的適定性問題:

        (5)

        (6)

        其中:

        本文提出的主要定理如下:

        定理1對于u0∈L2(R),存在T>0,方程(6)存在唯一的解u滿足

        u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

        定理2對于u0∈H2(R),有任意的T>0,當a=2,b=1時方程(6)存在解u滿足

        u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

        最后,本文給出Lp(Rn)空間和Hs(Rn)空間的定義及其范數(shù)形式:設(shè)p為非負實數(shù),則定義Sobolev空間Lp(Rn)為:

        Lp(Rn)空間f(x)的范數(shù)為:

        設(shè)s為非負實數(shù),則定義Sobolev空間Hs(Rn)為:

        Hs(Rn)空間f(x)的范數(shù)為:

        2 非線性估計

        考慮方程(6)所給出的初值問題,其中它的積分形式為:

        (7)

        (8)

        證明由f(u)的表達式,再結(jié)合Sobolev嵌入定理[16]有

        其中,右邊第四項的估計為:

        其中,F(xiàn)[·]表示對·做傅里葉變換。再由H?lder不等式有

        (9)

        證明結(jié)合引理1即可證明引理2成立。

        引理3考慮線性方程

        (10)

        (11)

        證明在方程(10)兩邊同乘ω并在R上對x積分可得:

        兩邊同時對t從0到T積分可得:

        則可得到上式的估計為:

        即證明了引理3。

        (12)

        由引理3得:

        (13)

        對?δ>0,N∈N,則對任意的n>N有

        再取T>0,對使得n≥N有

        綜上所述,對?δ>0,?T>0,使得

        方程(7)的非線性部分的估計為:

        令v=u-s(t)u0,則v可以看作是如下初值問題的解,

        (14)

        方程(14)的積分形式表示為:

        (15)

        (16)

        (17)

        證明先證式(16)成立,

        由引理2可知式(16)成立。

        式(17)的證明為:

        方程(14)兩邊同乘v并在R上對x積分可得

        兩邊同時對t從0到T積分可得

        則對任意的ε>0,有

        則有

        (18)

        證明通過引理2-5,有

        3 適定性

        利用壓縮映射原理證明解的存在唯一性,如此令

        (19)

        (20)

        (21)

        通過引理2及引理6,得

        (22)

        (23)

        聯(lián)立式(22)—(23),得到

        選取適當?shù)摩?,a,T有

        類似可以得到:

        (24)

        綜上即證明定理1成立。

        證明定理2,首先有能量估計為:

        引理7對于u0∈H2,當方程(6)中a=2,b=1時,有

        (25)

        證明當a=2,b=1時,方程(6)為:

        (26)

        (27)

        兩邊同乘u并在R上對x積分可得

        由H2守恒率有

        則有

        因為

        所以

        從而證明了引理7成立。

        結(jié)合定理1及引理7的證明,就可以得到方程(26)存在全局解,則證明了定理2。

        4 結(jié) 論

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