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(浙江理工大學理學院,杭州 310018)

0 引 言

本文主要考慮修正的Camassa-Holm方程的Cauchy問題，該問題可以描述為：

mt+auxm+bumx=0,t>0,x∈R

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈R

(2)

修正的Camassa-Holm方程是作為不變的Hk空間中擴散自同態(tài)群的測地線方程，由Constantin等[1-2]導出。當a=2,b=1,k=0或者1時，方程(1)分別為KdV方程和Camassa-Holm方程，其中Camassa-Holm方程的形式為：

ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxxx

(3)

它最早是被Fokas等[3]提出，直到Camassa等[4]將其作為淺水波模型才被認真研究。方程(3)從被研究以來，許多人都在關(guān)于它的適定性方面做出了貢獻，例如，Constantin[5]、Constantin等[6]以及Misiolek[7]分別討論了s≥4，s≥3和s>3/2時關(guān)于初值在Hs(S),S=[0,2π]上的局部適定性；在非周期情況下，Li等[8]證明了初值在Hs(R)(s>3/2)上解的局部適定性。關(guān)于修正的Camassa-Holm方程(1)，Malachlan等[9]研究了其解的適定性以及弱解的存在性，他們證明了周期的Cauchy問題在空間Hs(s>7/2)上是局部適定的，并且解持續(xù)依賴于初始值；在非周期情況下，Mu等[10]研究了解在Hs(R)(s>7/2)空間的局部適定性問題，并且證明了解依然持續(xù)依賴于初始值。Fu等[11]研究了方程(1)的Cauchy問題并且證明了解在Hs(R)(s>7/2)空間不一致連續(xù)。

類似修正的Camassa-Holm方程，Escher等[12]推導了一個二元修正的Camassa-Holm方程組：

(4)

以上研究表明，無論是修正的Camassa-Holm方程，還是二元修正的Camassa-Holm方程組，當r=2時其解的存在空間Hs(R)都要求s>7/2。本文通過對修正的Camassa-Holm方程添加耗散項，利用半群性質(zhì)、非線性估計、縮映射原理及能量估計，改進了已有的解的適定性，建立了其在低正則性空間中解的存在唯一性。

1 主要定理

本文考慮修正的Camassa-Holm方程在低正則性空間中解的存在唯一性，給定初值u0∈L2(R)，建立如式(5)描述的耗散修正的Camassa-Holm的適定性問題：

(5)

(6)

其中：

本文提出的主要定理如下：

定理1對于u0∈L2(R),存在T>0,方程(6)存在唯一的解u滿足

u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

定理2對于u0∈H2(R),有任意的T>0,當a=2,b=1時方程(6)存在解u滿足

u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

最后，本文給出Lp(Rn)空間和Hs(Rn)空間的定義及其范數(shù)形式：設(shè)p為非負實數(shù)，則定義Sobolev空間Lp(Rn)為：

Lp(Rn)空間f(x)的范數(shù)為：

設(shè)s為非負實數(shù)，則定義Sobolev空間Hs(Rn)為：

Hs(Rn)空間f(x)的范數(shù)為：

2 非線性估計

考慮方程(6)所給出的初值問題，其中它的積分形式為:

(7)

(8)

證明由f(u)的表達式，再結(jié)合Sobolev嵌入定理[16]有

其中，右邊第四項的估計為：

其中，F(xiàn)[·]表示對·做傅里葉變換。再由H?lder不等式有

(9)

證明結(jié)合引理1即可證明引理2成立。

引理3考慮線性方程

(10)

(11)

證明在方程(10)兩邊同乘ω并在R上對x積分可得：

兩邊同時對t從0到T積分可得：

則可得到上式的估計為：

即證明了引理3。

(12)

由引理3得：

(13)

對?δ>0，N∈N,則對任意的n>N有

再取T>0，對使得n≥N有

綜上所述，對?δ>0，?T>0,使得

方程(7)的非線性部分的估計為：

令v=u-s(t)u0，則v可以看作是如下初值問題的解,

(14)

方程(14)的積分形式表示為：

(15)

(16)

(17)

證明先證式(16)成立，

由引理2可知式(16)成立。

式(17)的證明為：

方程(14)兩邊同乘v并在R上對x積分可得

兩邊同時對t從0到T積分可得

則對任意的ε>0，有

則有

(18)

證明通過引理2-5，有

3 適定性

利用壓縮映射原理證明解的存在唯一性，如此令

(19)

(20)

(21)

通過引理2及引理6，得

(22)

(23)

聯(lián)立式(22)—(23)，得到

選取適當?shù)摩?，a，T有

類似可以得到：

(24)

綜上即證明定理1成立。

證明定理2，首先有能量估計為：

引理7對于u0∈H2，當方程(6)中a=2,b=1時，有

(25)

證明當a=2,b=1時，方程(6)為：

(26)

(27)

兩邊同乘u并在R上對x積分可得

由H2守恒率有

則有

因為

所以

從而證明了引理7成立。

結(jié)合定理1及引理7的證明，就可以得到方程(26)存在全局解，則證明了定理2。

4 結(jié) 論