陳 純， 陳 周， 梁應(yīng)選， 徐永帥， 魏碧輝

(陜西理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

理論上齒輪嚙合時無側(cè)隙最好，而實際上由于制造、安裝及溫度等變化引起的尺寸誤差，導(dǎo)致輪齒非工作面間產(chǎn)生齒側(cè)間隙，在進給系統(tǒng)反向時就會產(chǎn)生空程誤差。因此，需要在結(jié)構(gòu)上采取措施來減小或消除此反向空程誤差，滿足傳遞所需的功率。調(diào)整中心距法、雙片薄齒輪錯齒消隙法和軸向調(diào)整法都是目前常用的方法[1-4]。其中雙片薄齒輪錯齒消隙法廣泛應(yīng)用于數(shù)控機床直齒圓柱齒輪的傳動。

有學(xué)者對在一定范圍內(nèi)伸縮變化的普通拉簧進行了優(yōu)化設(shè)計，例如楊宇強等[5]、曹坤等[6]都研究了基于MATLAB的拉簧優(yōu)化設(shè)計，閆思江等[7]研究了基于Solidworks的圓柱拉簧的優(yōu)化設(shè)計，雖然都是對拉簧進行優(yōu)化設(shè)計，但由于消隙拉簧的伸縮變化僅局限于齒輪的齒側(cè)間隙范圍，拉簧行程十分微小，需要提供的力卻較大，因此設(shè)計不同于一般的普通拉簧，所以在優(yōu)化設(shè)計上也與一般拉簧的優(yōu)化設(shè)計有所不同。

在雙向偏轉(zhuǎn)平臺中，消隙齒輪中的拉簧既要保證傳遞平臺所需的偏轉(zhuǎn)力，消除反向空程誤差，又不能增加齒面間的磨損，以保證傳動效率，其外形尺寸也必須約束在消隙齒輪的幾何參數(shù)范圍內(nèi)。本文利用極大極小值優(yōu)化方法，以消隙拉簧輕量化為優(yōu)化目標(biāo)，以驅(qū)動電機的輸出扭矩、消隙齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)等為約束條件，對消隙齒輪中的拉簧進行優(yōu)化設(shè)計，并將優(yōu)化結(jié)果換算成消隙拉簧的工作參數(shù)。

1 雙向偏轉(zhuǎn)平臺簡介

雙向偏轉(zhuǎn)平臺如圖1所示，平臺臺面用銷軸與呈正十字空間交錯的內(nèi)、外齒輪拱連接，外齒輪拱由置于底座上的驅(qū)動電機和其軸上的消隙齒輪驅(qū)動，由聯(lián)結(jié)于底座和外齒輪拱上的外圓弧導(dǎo)軌副導(dǎo)向，完成一個繞特定軸(定義為X軸)方向的偏轉(zhuǎn)；內(nèi)齒輪拱由聯(lián)結(jié)于外齒輪拱上的驅(qū)動電機和其軸上的消隙齒輪驅(qū)動，由聯(lián)結(jié)于外齒輪拱和內(nèi)齒輪拱上的內(nèi)圓弧導(dǎo)軌副導(dǎo)向，完成另一個特定軸(定義為Y軸)方向的偏轉(zhuǎn)，也可同時實現(xiàn)繞沿互相垂直的X、Y軸兩個方向上一定角度的偏轉(zhuǎn)運動。

1.底座；2.外圓弧導(dǎo)軌支座；3.外圓弧導(dǎo)軌滑座；4.外齒輪拱；5.外銷軸；6.臺面；7.內(nèi)電機；8.內(nèi)電機支座；9.外電機支座；10.外電機；11.內(nèi)軌連接件；12.內(nèi)圓弧導(dǎo)軌；13.內(nèi)齒輪拱；14.內(nèi)銷軸；15.外軸承座；16.外圓弧導(dǎo)軌；17.內(nèi)軸承座圖1 雙向偏轉(zhuǎn)平臺二維結(jié)構(gòu)圖

此雙向偏轉(zhuǎn)平臺中所用的驅(qū)動電機上安裝有傳遞動力的齒輪，為了使該齒輪達到更高的傳遞精度，反向時不會產(chǎn)生空程誤差，所以選擇用消隙齒輪來解決相關(guān)問題。消隙齒輪的設(shè)計重點是齒輪中消隙拉簧的設(shè)計，現(xiàn)根據(jù)該雙向偏轉(zhuǎn)平臺相關(guān)結(jié)構(gòu)及參數(shù)要求對此消隙齒輪中的拉簧工作參數(shù)進行設(shè)計。

2 消隙齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)及消隙拉簧張緊力的計算

2.1 消隙齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)

以外齒輪拱嚙合的消隙齒輪中的拉簧設(shè)計為例。所用驅(qū)動電機為交流永磁同步伺服電機，額定功率W=200 W、額定轉(zhuǎn)矩T1=0.6 N·m，電機軸上安裝有消隙齒輪。齒輪副參數(shù)見表1，消隙齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)見圖2。

圖2 消隙齒輪相關(guān)尺圖

名稱齒數(shù)模數(shù)精度外圈大齒輪拱31817消隙齒輪5017

2.2 消隙拉簧張緊力的計算

拉簧張緊力是拉簧設(shè)計的關(guān)鍵問題。拉緊力小了，拉簧不起作用；拉緊力太大可能使齒輪齒面磨損加劇，增加傳動損耗，甚至齒輪卡死。消隙齒輪所傳遞的扭矩需要由消隙拉簧來承擔(dān)，拉簧張緊力的設(shè)計原則是

T簧>T工，

(1)

式中，T簧為拉簧拉緊力所承受的扭矩，T工為消隙齒輪傳遞的工作扭矩。

拉簧扭矩計算公式[8]為

T簧=NFH，

(2)

式中，N為拉簧的根數(shù)，F(xiàn)為單根拉簧的張緊力，H為拉簧軸線距齒輪軸線的距離。

當(dāng)拉簧張緊力所承受的扭矩T簧和工作扭矩T工平衡時有

T簧=T工Z2/Z1，

(3)

式中，Z1為安裝消隙拉簧的主動輪齒數(shù)，Z2為從動輪齒數(shù)。

聯(lián)立式(2)和式(3)單根拉簧的設(shè)計張緊力為

(4)

由表1和圖2中顯示的參數(shù)，可計算出所需拉簧的設(shè)計張緊力為

依據(jù)2.2所述拉簧設(shè)計的原則，取比計算結(jié)果稍大點的值即可，因此取F=100 N。

3 消隙拉簧的優(yōu)化設(shè)計

消隙齒輪中拉簧力必須滿足齒輪所傳遞的工作載荷的要求，拉簧外形尺寸及變形范圍必須滿足消隙齒輪的結(jié)構(gòu)要求?；谶@兩方面的要求來確定該拉簧的設(shè)計參數(shù)，進而確定拉簧的具體結(jié)構(gòu)。

3.1 確定設(shè)計變量

該雙向偏轉(zhuǎn)平臺不存在高速運轉(zhuǎn)的情況，在保證拉簧自身剛度、強度和幾何條件達到設(shè)計要求的條件下，對拉簧進行輕量化優(yōu)化，防止其自身慣性對設(shè)計結(jié)果造成非線性影響。確定拉簧鋼絲直徑d、拉簧中徑D、工作圈數(shù)n為設(shè)計變量，即

X=(x1，x2，x3)=(d，D，n)。

(5)

3.2 確定目標(biāo)函數(shù)

以拉簧質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(6)

式中，d為拉簧鋼絲直徑，D為拉簧中徑，n為拉簧工作圈數(shù)，ρ為拉簧鋼絲的材料密度。舍去不影響優(yōu)化結(jié)果的常數(shù)項，式(5)可變形為

(7)

3.3 建立約束條件

3.3.1 拉簧剛度的約束

圖3 消隙齒輪中拉簧錯齒簡圖

如圖3所示，消隙齒輪由兩個薄片齒輪組合而成，拉簧兩端分別連接在不同的薄片齒輪上。拉簧須處在兩薄片齒輪的拉簧槽之內(nèi)，兩薄片齒輪最大只能錯開3個齒，才能保證拉簧與拉簧槽壁不會發(fā)生干涉。因此，根據(jù)該消隙齒輪的尺寸參數(shù)，給定兩片薄齒輪間錯開3個輪齒。

圖3中，AB為拉簧原始狀態(tài)下的長度及位置，AB1為拉簧拉伸后的長度及位置，A為拉簧在薄片齒輪之一上的鉤點，B為拉簧在另一個薄片齒輪上的鉤點，B1為錯開3個輪齒后B的落點。AB值已知，AB1的長度可用簡單幾何關(guān)系求得，經(jīng)計算拉簧的拉伸量為h=AB1-AB=8.2 mm。

根據(jù)2.2的分析計算，確定拉簧的最大拉力Pn=F=100 N，拉簧最小拉力P1=20 N。由文獻[9]得知，拉簧剛度為

(8)

又因為

(9)

式中G為拉簧鋼絲材料的剪切彈性模量(選取拉簧材料為三類碳素鋼絲C級為定值79 000 MPa)。聯(lián)立式(8)和式(9)得

(10)

(11)

3.3.2 拉簧的旋繞比約束

由文獻[9]可知，彈簧旋繞比C=D/d取值范圍介于4～16之間，其值太大會導(dǎo)致拉簧本身過軟，此值過小卷繞時拉簧絲會受到強烈彎曲。受消隙齒輪結(jié)構(gòu)限制，拉簧旋繞比取4～12，即4≤C=D/d≤12，得約束條件

g2(x)=-12x1+x2≤0，

(12)

g3(x)=4x1-x2≤0。

(13)

3.3.3 拉簧的強度約束

由文獻[9]得拉簧應(yīng)滿足其強度要求，取最大拉力F=Pn=100 N，得約束條件：

≤[τ]，

式中[τ]為拉簧材料的許用剪切應(yīng)力，代入相關(guān)數(shù)值可得約束條件：

≤0。

(14)

3.3.4 拉簧安裝尺寸約束

如圖2，拉簧槽寬13 mm，為了不使錯3個齒后拉簧與拉簧槽壁接觸產(chǎn)生摩擦力，取D+d≤10 mm，得約束條件

g5(x)=x1+x2≤10。

(15)

3.4 求 解

利用MATLAB軟件采用極大極小值法優(yōu)化求解，優(yōu)化過程及結(jié)果如下：

(1)所求目標(biāo)函數(shù)

function f=myfun(x)

f=x(1)^2*x(2)*x(3);

(2)約束函數(shù)

function [c,ceq]=nonlcon(x) %非線性約束條件函數(shù)

c=423*(x(2)^0.84)/(x(1)^2.84)-905; %非線性不等式約束條件式(14)

ceq=9875*x(1)^4/(x(2)^3*x(3))-9.75; %非線性等式約束條件式(11)

(3)主函數(shù)程序

x0=[1;10;8]; %隨機輸入的初始值

A=[-12 1 0;4 -1 0;1 1 0]; %線性約束條件式(12)、式(13)、式(15)的系數(shù)矩陣

b=[0;0;10]; %線性約束條件式(12)、式(13)、式(15)的常數(shù)項矩陣

lb=zeros(3,1); %優(yōu)化的下界

x=fmincon(@myfun,x0,A,b,[],[],lb,[],@nonlcon) %求解約束條件下目標(biāo)函數(shù)最小值的調(diào)用函數(shù)

(4)優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)以上優(yōu)化程序運行后解得：

x1=1.446 3，

x2=8.553 7，

x3=7.080 5。

4 消隙拉簧結(jié)構(gòu)參數(shù)計算

要繪制拉簧工作圖必須先得出的參數(shù)有：拉簧中徑D、鋼絲直徑d、自由狀態(tài)下的長度H0、最小載荷下的變形量F1、最大載荷下的變形量Fn、極限載荷下的變形量Fj，還有選取的拉簧彎鉤類型和拉簧的螺旋角等。將這些參數(shù)一一求出后即可繪制出該拉簧的工作圖，具體求解過程敘述如下：

根據(jù)上述優(yōu)化結(jié)果，查文獻[9]中的“圓柱螺旋壓縮彈簧計算表11-2-19”，選取的拉簧材料為三類碳素鋼絲C級，鋼絲直徑d=1.6 mm，中徑D=9 mm，有效圈數(shù)為8圈。

由以上所選的材料、鋼絲直徑d及拉簧中徑D，從文獻[9]中的“圓柱螺旋壓縮彈簧計算表11-2-19”查得三類碳素鋼絲壓縮彈簧相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 鋼絲直徑1.6 mm、中徑9 mm的三類碳素鋼絲壓縮彈簧相關(guān)參數(shù)表

現(xiàn)根據(jù)文獻[9]中的表11-2-18對表2中的pj和fj進行修正：

pj=1810/1810×127.12=127.12 N，

fj=44×1810/(0.79×105)×1.432=1.444 mm。

以下計算根據(jù)“圓柱螺旋拉簧計算示例二”[9]進行計算：

最小載荷下的變形量：F1=(P1-P0)/p′=(20-19.1)/11.1=0.01 mm；

最大載荷下的變形量：Fn=(Pn-P0)/p′=(100-19.1)/11.1=7.28 mm；

極限載荷下的變形量：Fj=fj×n×0.8=1.444×8×0.8=9.24 mm；

選圓鉤型拉簧，則自由長度：H0=(n+1)d+2D=9×1.6+2×9=32.4 mm；

最小工作荷載下的長度：H1=H0+F1=32.4+0.01=32.41 mm；

最大工作荷載下的長度：Hn=H0+Fn=32.4+7.28=39.68 mm；

工作極限荷載下的長度：Hj=H0+Fj=32.4+9.24=41.64 mm；

圖4 拉簧工作圖

根據(jù)以上計算所得的拉簧參數(shù)，繪制圖4所示的拉簧工作圖。

采用文獻[9]中一般方法計算出的拉簧各參數(shù)為d=1.8 mm，D=10 mm，有效圈數(shù)為11圈，拉簧質(zhì)量為m=6.71 g，優(yōu)化后所得的拉簧質(zhì)量為m=3.47 g，優(yōu)化后達到了輕量化的優(yōu)化目的，優(yōu)化方法可行。

5 結(jié) 論

本文以拉簧質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，以消隙齒輪傳遞的扭矩、消隙齒輪副的設(shè)計參數(shù)等為約束條件，對消隙齒輪中的拉簧進行了優(yōu)化設(shè)計。先優(yōu)化拉簧結(jié)構(gòu)參數(shù)，再根據(jù)優(yōu)化結(jié)果計算拉簧各工作參數(shù)，得到的結(jié)果在既保證拉簧強度和剛度等情況下，還減輕了拉簧質(zhì)量，降低了消隙齒輪在轉(zhuǎn)動過程中因拉簧自重的慣性對傳遞結(jié)果造成非線性的影響。