王朝祥

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

1 案例開發(fā)緣由

搬運重物的問題情境，在日常生活和工程建設(shè)中比較常見，探究最省力的移動方案，對生產(chǎn)和生活有重要的實際意義．

本案例的問題情境，取材于教科版高中《物理·必修1》第四章“共點力平衡”的課后習(xí)題，學(xué)生探究最省力方案的過程，也是應(yīng)用共點力平衡條件解決實際問題的過程，本案例的教學(xué)內(nèi)容與教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)融為一體．

2 學(xué)習(xí)者分析

2.1 生活經(jīng)驗方面

學(xué)生在生活中經(jīng)常接觸推拉問題，知道移動重物時斜向上拉比斜向下推省力，但也可能形成“拉力與水平方向夾角越大，越省力”的錯誤認(rèn)識.

2.2 知識概念儲備

學(xué)生通過初中物理的學(xué)習(xí)，知道牛頓第一定律，理解了平衡態(tài)的概念，了解平衡力的特點，這為高中的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了知識上的儲備.學(xué)生在高中《物理·必修1》前幾章的學(xué)習(xí)中，基本掌握重力、彈力、摩擦力的相關(guān)知識，能運用平行四邊形定則進(jìn)行矢量合成.

2.3 物理思想和數(shù)學(xué)方法儲備

學(xué)生在初中接觸過等效替代、轉(zhuǎn)化法、控制變量法等典型的物理思想方法，為本節(jié)課的“多力平衡轉(zhuǎn)化為二力平衡”提供了思想依據(jù).

在數(shù)學(xué)方法層面，學(xué)生初步掌握三角函數(shù)的合差運算，在提供相關(guān)公式的情況下可以進(jìn)行理論探究；通過初中平面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備解三角形的能力.

2.4 學(xué)生存在的困難及成因分析

(1)常見的困難.矢量的表述欠規(guī)范，數(shù)學(xué)工具不熟練；論證能力有待提升，不能用簡潔的物理語言論證、表達(dá)自己的觀點．

(2)產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難的原因分析.由于高中數(shù)學(xué)、物理教學(xué)內(nèi)容的銜接問題，學(xué)生學(xué)習(xí)物理必修1的過程中，在矢量運算、三角運算等數(shù)學(xué)方法上存在困難；在初中物理學(xué)習(xí)中，學(xué)生在理解能力、實驗探究等方面有較大提升，但在理論探究方面訓(xùn)練不足，思維不順暢．

3 案例設(shè)計

3.1 教學(xué)目標(biāo)分析

(1)在理解共點力平衡條件的基礎(chǔ)上，能運用共點力平衡條件分析解決實際問題．

(2)學(xué)生在項目驅(qū)動下，能基于生活經(jīng)驗運用科學(xué)的思維方法建構(gòu)理想模型，通過定量推理解決工程技術(shù)中的難題，提升物理核心素養(yǎng)．

(3)通過運用三角函數(shù)、矢量運算的相關(guān)知識探究最省力方案，提升學(xué)生的學(xué)科整合意識，逐步實現(xiàn)物理知識與數(shù)學(xué)方法的自覺整合．

3.2 教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計

本案例按照情境創(chuàng)設(shè)、模型構(gòu)建、理論探究、實踐檢驗4個階段進(jìn)行，教學(xué)流程如圖1所示.

圖1 教學(xué)流程

4 案例描述

4.1 情境創(chuàng)設(shè)階段

教師活動：立足生活生產(chǎn)需求，提出要解決的問題，并提出啟發(fā)性問題，引發(fā)學(xué)生思考．

問題情境：某同學(xué)想要向前移動地面上笨重的行李箱，請你幫他設(shè)計一個最省力的方案.

問題引導(dǎo)：有的同學(xué)提出斜向前推、斜向前拉兩種方法，哪種方法更省力？為什么？

圖2 推拉行李箱

學(xué)生活動：基于生活經(jīng)驗和物理學(xué)科知識，做出方案選擇．

學(xué)生活動預(yù)設(shè)：多數(shù)學(xué)生選擇斜向前拉行李箱的方案．

設(shè)計意圖：基于生產(chǎn)生活需要創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學(xué)生問題意識．通過啟發(fā)性問題引導(dǎo)學(xué)生做出初步的方案選擇，引發(fā)后續(xù)研究．

4.2 模型構(gòu)建階段

教師活動：通過啟發(fā)性問題引導(dǎo)學(xué)生對影響拉力的因素提出猜想，進(jìn)一步建構(gòu)理想模型，從理論上推導(dǎo)拉力的決定式．

問題引導(dǎo)(1)：勻速拉動行李箱時，影響拉力大小的因素有哪些？

問題引導(dǎo)(2)：定量分析拉力F的大小

如圖3所示，某同學(xué)用力拉著質(zhì)量為m的行李箱勻速前進(jìn)，已知箱子與地面的動摩擦因數(shù)為μ，拉力與水平方向的夾角為θ，求繩子拉力F的大小.

(要求有必要的文字說明、受力分析圖、方程，分析結(jié)果有明確的表達(dá)式. )

圖3 人拉行李箱前進(jìn)

學(xué)生活動：基于生活經(jīng)驗和物理學(xué)科知識，猜想影響拉力大小的因素；從實際情境中抽象出勻速直線運動模型，運用共點力平衡的條件進(jìn)行定量推理，得出拉力F的表達(dá)式．

學(xué)生活動預(yù)設(shè)：

問題(1)猜想可能影響拉力大小的因素有物體質(zhì)量、地面粗糙程度、拉力方向、地面是否水平等因素．

問題(2)物體做勻速直線運動，根據(jù)共點力平衡條件

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過頭腦風(fēng)暴的形式分析猜測影響拉力的因素，再從實際問題中抽象出理想模型，利用共點力的平衡條件推導(dǎo)出拉力的表達(dá)式，驗證學(xué)生的猜想，為下一步的理論探究做好準(zhǔn)備．

4.3 理論探究交流評價階段

教師活動：采用控制變量法，控制物體質(zhì)量和地面粗糙程度不變，啟發(fā)學(xué)生整合數(shù)學(xué)方法或等效替代思想進(jìn)行極值分析，在理論上研究拉力最小的方案，在全班展示交流．

問題引導(dǎo)：在行李箱質(zhì)量m和地面粗糙程度(用μ表示)一定的情況下，改變拉力F的方向，其大小將發(fā)生變化. 利用理論探究的結(jié)果分析：當(dāng)拉力什么方向時(用θ表示)，拉力的大小有最小值？拉力的最小值多大？

請簡要概括你的分析過程和結(jié)果. 學(xué)有余力的同學(xué)可以嘗試多種方法分析本問題.

你可能會用到的數(shù)學(xué)公式

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ

學(xué)生活動：用三角函數(shù)極值、等效替代兩種方法研究拉力最小的方案，并展示交流．

學(xué)生活動預(yù)設(shè)：學(xué)生可能呈現(xiàn)的分析方法

方法一：用三角函數(shù)方法分析拉力的極值

其中tanφ=μ，因此，當(dāng)θ=φ=arctanμ時

方法二：用全反力等效替代支持力和摩擦力，全反力與法線的夾角φ=arctanμ.

物體的受力情況如圖4所示，物體在拉力、重力、全反力作用下三力平衡，當(dāng)拉力與全反力垂直時，拉力最小．

圖4 受力情況

由幾何關(guān)系可知，此時拉力與水平方向的夾角θ=φ=arctanμ.

設(shè)計意圖:學(xué)生用方法一處理問題時，可參照函數(shù)思想，將拉力F看成夾角θ的函數(shù)，即F=f(θ) ，從而將探究最小拉力問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題．

學(xué)生用方法二處理問題時，體現(xiàn)了等效替代思想和轉(zhuǎn)換思想，用全反力等效代替支持力和摩擦力，從而將四力平衡轉(zhuǎn)換為三力平衡，用矢量三角形即可求解．

教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)方法和物理思想相結(jié)合處理實際問題，有利于數(shù)學(xué)方法與物理知識的有機(jī)整合，以開拓學(xué)生分析解決復(fù)雜問題的思路．

在交流評價方面，教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生自評、互評，最后教師點評，通過多方評價培養(yǎng)學(xué)生交流合作意識和批判性思維能力．

4.4 實踐檢驗階段

教師活動:引導(dǎo)學(xué)生將理論探究結(jié)果付諸實踐，通過模擬實驗進(jìn)行實踐檢驗．

問題引導(dǎo)：用木塊替代行李箱，定性體驗拉力大小隨方向變化的規(guī)律.

可以利用的實驗器材：彈簧測力計、木塊、方木板(含絨布)、鉤碼、量角器等.

學(xué)生活動:按照4人一組進(jìn)行分組，對理論探究結(jié)果進(jìn)行模擬檢驗，如圖5所示．

圖5 學(xué)生模擬檢驗

學(xué)生活動預(yù)設(shè):學(xué)生需要先自行設(shè)計實驗測定木板與滑塊間的動摩擦因數(shù)，從而確定摩擦角φ，才能進(jìn)行后續(xù)的實驗驗證．在小組合作的情況下，學(xué)生可以體驗拉力大小隨方向的變化規(guī)律，粗略地測定拉力的最小值以及此時的拉力方向．

設(shè)計意圖:由于中學(xué)實驗器材的精度有限，學(xué)生很難通過實驗準(zhǔn)確地探究拉力最小的方案．因此，本案例安排學(xué)生在理論探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行定性的實驗驗證，體驗拉力大小隨方向變化的規(guī)律，既回避了中學(xué)實驗的精度缺陷，又能大致地對理論探究結(jié)果進(jìn)行驗證，這種安排較為合理．

5 教學(xué)反思

(1)本案例是基于項目任務(wù)的數(shù)學(xué)與物理學(xué)科整合教學(xué)案例．教學(xué)設(shè)計的著眼點在于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，切入點是學(xué)生常見的問題情境——移動地面上笨重的行李箱，教學(xué)中以學(xué)生為主體，逐步引導(dǎo)學(xué)生在生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上運用科學(xué)的思維方法建構(gòu)理想模型，從物理問題中抽象出數(shù)學(xué)函數(shù)，通過定量推理探究實際問題的解決方案，并對方案進(jìn)行交流、評估，最后通過實驗檢驗探究結(jié)果．教學(xué)模式可以概括成下面的示意圖．

圖6 教學(xué)模式示意圖

(2)通過課堂觀察與評價，教師發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的一些閃光點，比如：

1)在猜測影響拉力大小的因素時，表現(xiàn)出良好的發(fā)散思維能力，能即時生成教學(xué)素材；

2)在探究最小拉力時，能運用等效替代思想和轉(zhuǎn)化思想，將四力平衡轉(zhuǎn)換為三力平衡，進(jìn)一步用矢量三角形分析、討論極值問題，有效地簡化了問題的解決過程，體現(xiàn)了物理思想方法的優(yōu)勢．

(3)學(xué)生在教學(xué)過程中也顯露出應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的障礙，在數(shù)學(xué)建模、函數(shù)構(gòu)建、三角函數(shù)運算、矢量運算等方面存在困難，需要教師在后續(xù)教學(xué)中逐漸滲透、化解．