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(空軍預(yù)警學(xué)院， 湖北武漢 430019)

0 引言

在機(jī)載多普勒雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤(Multi-Target Tracking, MTT)過程中，多普勒盲區(qū)(Doppler Blind Zone, DBZ)的存在是不可回避的現(xiàn)實問題[1-3]。DBZ問題由傳感器物理限制產(chǎn)生，當(dāng)目標(biāo)的徑向速度小于最小可檢測速度(Minimum Detectable Velocity, MDV)時，目標(biāo)無法被傳感器檢測，這將導(dǎo)致目標(biāo)漏檢和航跡中斷，嚴(yán)重影響跟蹤性能[4]。

文獻(xiàn)[5]提出了基于高斯混合(Gaussian Mixture, GM)的跟蹤算法，它通過引入偽造量測來代表漏檢，通過構(gòu)造合適的狀態(tài)依賴的檢測概率，使其在DBZ里的檢測概率值較低。然而，由此得到的高斯混合近似可能有負(fù)的權(quán)重，造成數(shù)值不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[6]提出了“兩偽造點(diǎn)”分配方法，其中，一個偽造量測代表對應(yīng)檢測概率小于1造成的漏檢，另外一個額外的偽造量測代表由于DBZ引起的漏檢。文獻(xiàn)[7]基于二維分配方法，通過對來自同一目標(biāo)的不同時間段航跡進(jìn)行關(guān)聯(lián)，提出了航跡段關(guān)聯(lián)(Track Segment Association, TSA)方法。

然而，上述算法的實現(xiàn)涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，實用性有待提高。作為一種可替代傳統(tǒng)基于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的方法，基于隨機(jī)有限集(Random Finite Set, RFS)的多目標(biāo)跟蹤算法在解決DBZ問題中有著顯著優(yōu)勢。其中，文獻(xiàn)[8-9]分別將概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density, PHD)和勢化概率假設(shè)密度(Cardinalized PHD, CPHD)應(yīng)用于DBZ條件下的地面動目標(biāo)指示(Ground Moving Target Indicator, GMTI)跟蹤。不同于PHD傳遞一階矩、CPHD傳遞二階矩和勢分布，文獻(xiàn)[10]提出的勢平衡多目標(biāo)多伯努利(Cardinality Balanced Multi-Target Multi-Bernoulli，CBMeMBer)濾波器通過傳遞多伯努利RFS來遞推估計后驗多目標(biāo)概率密度。

CBMeMBer濾波器提供的“假設(shè)航跡”機(jī)制更有利于解決DBZ條件下的多目標(biāo)跟蹤問題，不過在CMeMBer框架下的相關(guān)研究還鮮有報道，所以本文在CBMeMBer濾波器中引入MDV和多普勒信息，并給出了其高斯混合執(zhí)行，記為GM-CBMeMBer-D-MDV。仿真結(jié)果表明，所提濾波器能有效地改善DBZ下多目標(biāo)跟蹤性能。

1 CBMeMBer濾波器

1.1 預(yù)測步

(1)

(2)

(3)

1.2 更新步

(4)

Mk|k-1=Mk-1+MΓ,k

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

ψk,z(x)=gkz|xpD,k(x)

(10)

式中：pD,k(x)為目標(biāo)檢測概率；Zk為k時刻量測集合；κkz為雜波強(qiáng)度；gkz|x為目標(biāo)量測似然函數(shù)。

2 帶最小可檢測速度和多普勒信息的GM-CBMeMBer濾波器

2.1 并入最小可檢測速度的檢測概率模型

(11)

(12)

(13)

目標(biāo)檢測概率pD,kxk是關(guān)于目標(biāo)狀態(tài)的函數(shù)，并且受DBZ強(qiáng)烈影響。具體而言，當(dāng)nc

pD,kxk≈pD1-exp-nc(xk)/MDV2·ln2

(14)

式中，pD為目標(biāo)遠(yuǎn)離DBZ的檢測概率值。

(15)

式中，偽量測函數(shù)yf和偽量測矩陣Hf分別為

(16)

n1,n2,n3,n4,n5,n6T

(17)

將式(15)代入式(14)，進(jìn)一步化簡得到檢測概率的高斯形式：

(18)

2.2 GM-CBMeMBer-D-MDV更新公式

(19)

(20)

在推導(dǎo)GM-CBMeMBer-D-MDV的更新公式的過程中，利用了下述兩個引理[12]：

引理1：給定適當(dāng)維度的H，R，m和P，且R和P是正定的，則有

Nz;Hx,RNx;m,P=

Nz;Hm,SN(x;m+G(z-Hm),P-GSGT)

(21)

式中，S=HPHT+R，G=PHTS-1。

引理2：給定適當(dāng)維度的F，Q，m和P，且Q和P是正定的，則有

N(z;Fm,Q+FPFT)

(22)

假設(shè)目標(biāo)xk-1在k時刻存活，則xk-1轉(zhuǎn)移到xk的概率轉(zhuǎn)移密度函數(shù)為

fk|k-1(xk|xk-1)=N(xk;Fk-1xk-1,Qk-1)

(23)

式中，F(xiàn)k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Qk-1為過程噪聲協(xié)方差。

對于多普勒體制雷達(dá)，式(10)中的量測似然函數(shù)gk(z|x)可以建模為

(24)

式中，z為k時刻的常規(guī)量測，包括位置量測yc和多普勒量測yd，且兩者不相關(guān)，Hc,k為線性位置觀測矩陣，Rc,k為位置觀測噪聲協(xié)方差，σd為多普勒觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，hd,k(x)為式(11)的非線性多普勒觀測函數(shù)。

(25)

將式(18)的檢測概率模型和式(24)的似然函數(shù)代入式(4)中，連續(xù)使用兩個引理得到GM-CBMeMBer-D-MDV的更新公式：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

式中，偽量測增益和偽量測新息協(xié)方差分別為

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

式中，位置量測增益和位置量測新息協(xié)方差分別為

(43)

(44)

多普勒量測增益和多普勒量測新息協(xié)方差分別為

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

式中，偽量測增益和偽量測新息協(xié)方差分別為

(52)

(53)

κk(z)=κc,k(yc)κd,k(yd)

(54)

(55)

(56)

(57)

式中，κc,k(yc)為位置分量雜波強(qiáng)度，κd,k(yd)為多普勒雜波強(qiáng)度。

此外，伯努利RFS和高斯分量隨著時間迭代不斷增加，如果不對其進(jìn)行有效的管理，將嚴(yán)重影響濾波器運(yùn)行效率，所以在完成更新步驟后，還需要進(jìn)行“剪枝合并”操作[10]。

下面有3點(diǎn)值得注意：

1) 當(dāng)MDV=0且cf=0時，GM-CBMeMBer-D-MDV變?yōu)閹Ф嗥绽樟繙y的GM-CBMeMBer，簡記為GM-CBMeMBer-D。

3 仿真與分析

為了驗證所提濾波器的有效性，在相同參數(shù)下比較GM-CBMeMBer，GM-CBMeMBer-D和GM-CBMeMBer-D-MDV三種濾波器的跟蹤性能。

基于上述參數(shù)設(shè)置，圖1給出了傳感器和目標(biāo)的真實航跡，圖2給出了MDV=1 m/s條件下各時刻目標(biāo)多普勒速度與DBZ的關(guān)系。由圖2可知，因為目標(biāo)多普勒速度值小于MDV，所以目標(biāo)2和目標(biāo)1分別在43～52 s和59～63 s處于DBZ。圖3給出了MDV=1 m/s條件下3種濾波器單次跟蹤結(jié)果比較，通過比較可知，當(dāng)目標(biāo)離開DBZ，僅GM-CBMeMBer-D-MDV能夠再次跟蹤目標(biāo)。

(a) 目標(biāo)1

(b) 目標(biāo)2圖2 各時刻目標(biāo)多普勒與DBZ的關(guān)系

圖3 單次跟蹤結(jié)果比較

圖1 傳感器和目標(biāo)的真實航跡

利用圓位置誤差概率(Circular Position Error Probability, CPEP)[13]和最優(yōu)子模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment, OSPA)[14]比較3種濾波器的跟蹤性能。其中，CPEP可以反映濾波器對目標(biāo)的“漏跟”概率，定義為

(58)

令位置誤差半徑r=20 m，OSPA的階參數(shù)p=2，截止參數(shù)c=20 m。在MDV=1 m/s條件下進(jìn)行1 000次蒙特卡洛仿真，圖4和圖5給出了3種濾波器的CPEP和OSPA總誤差統(tǒng)計結(jié)果。由圖4可知，在43～52 s階段，目標(biāo)2處于DBZ內(nèi)，而目標(biāo)1處于DBZ之外，所以3種濾波器均無法跟蹤目標(biāo)2，但都能跟蹤目標(biāo)1。因此，3種濾波器在這段時間的CPEP均保持在0.5左右，而圖5中3種濾波器的OSPA總誤差都處于較高的值，約為15 m。當(dāng)目標(biāo)2在第53 s離開DBZ后，GM-CBMeMBer-D-MDV能夠再次跟蹤目標(biāo)2，對應(yīng)的CPEP和OPSA總誤差回到目標(biāo)2進(jìn)入DBZ前的水平。但是GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D無法有效保存處于DBZ內(nèi)的目標(biāo)狀態(tài)，當(dāng)目標(biāo)2處于DBZ內(nèi)，傳感器無法獲得目標(biāo)量測，所以更新步驟結(jié)束后，多伯努利RFS的存在概率逐漸減小直至低于門限P，最后在“剪枝合并”過程中被刪除。目標(biāo)2離開DBZ后，GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D無法再次跟蹤目標(biāo)2，所以它們的CPEP和OPSA總誤差分別繼續(xù)保持在0.5和15 m左右。類似地，在59～63 s階段，目標(biāo)1處于DBZ內(nèi)，此時GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D均無法跟蹤兩個目標(biāo)。因此，它們的CPEP和OSPA總誤差進(jìn)一步升高到1和20 m左右。當(dāng)目標(biāo)1在第64 s離開DBZ后，GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D的CPEP和OSPA總誤差繼續(xù)維持在1和20 m左右，說明它們均無法再次跟蹤目標(biāo)1。而GM-CBMeMBer-D-MDV的CPEP和OPSA總誤差減小到目標(biāo)1進(jìn)入DBZ前的水平，說明其能夠再次跟蹤目標(biāo)1。

圖4 3種濾波器的CPEP比較

圖5 3種濾波器的OSPA總誤差比較

4 結(jié)束語

針對DBZ條件下機(jī)載多普勒雷達(dá)對目標(biāo)航跡跟蹤不連續(xù)的問題，提出了帶最小可檢測速度和多普勒信息的GM-CBMeMBer濾波器(GM-CBMeMBer-D-MDV)。該濾波器首先將帶MDV的檢測概率模型代入CBMeMBer中，然后給出其詳細(xì)的預(yù)測和更新步驟。蒙特卡洛仿真實驗結(jié)果表明，相對于未并入MDV信息的GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D，GM-CBMeMBer-D-MDV能夠有效處理DBZ條件下的多目標(biāo)跟蹤問題，提高DBZ下機(jī)載多普勒雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤性能。