鄧將武, 劉 月

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 福州 350116)

0 引言

一個(gè)n階矩陣A=(ajk)是Ray模式矩陣,是指A的元素ajk∈{eiθ|0≤θ<2π}∪{0},i2=-1.A的定性矩陣類(lèi)為

QR(A)={B=(bjk)∈Mn(C)|bjk=rjkajk,rjk∈+, 1≤j,k≤n}

Ray模式是符號(hào)模式[1]的一種復(fù)推廣.

n階Ray模式矩陣A稱(chēng)為譜任意的,是指對(duì)任意的首一n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x),存在一個(gè)復(fù)矩陣B∈QR(A),使得B的特征多項(xiàng)式為f(x).

本研究將運(yùn)用冪零-中心化方法研究Ray模式S的譜任意性. Ray模式A′和Ray模式S的形式如下

1 冪零-中心化方法

對(duì)于Ray模式A,若存在復(fù)矩陣B∈QR(A)和正整數(shù)k,使得Bk=0但Bk-1≠0,則B為冪零矩陣,從而A蘊(yùn)含冪零,稱(chēng)k為復(fù)矩陣B的冪零指數(shù).

設(shè)Ray模式P=(pjk)和Ray模式A=(ajk),如果對(duì)于ajk≠0, 都有ajk=pjk,則稱(chēng)Ray模式P=(pjk)是Ray模式A=(ajk)的母模式.

設(shè)A為n×n矩陣,若C(A)={B|AB|=BA,B∈Mn(C)} ,則稱(chēng)C(A)為A的中心,且B為A的中心化子矩陣.

下面的定理介紹了冪零-中心化方法.

定理1[9](冪零-中心化方法) 設(shè)A是一個(gè)n階Ray模式,B∈QR(A)是一個(gè)冪零指數(shù)為n的冪零復(fù)矩陣. 如果在B的中心里滿足條件C°AT=0(這里C°AT表示矩陣C和AT的Hadamard乘積)的矩陣C只有零矩陣,則Ray模式矩陣A及其每一個(gè)母模式都是譜任意的.

根據(jù)定理1,在第2節(jié)中,首先找到一個(gè)冪零矩陣B∈QR(S),其次證明滿足條件C∈C(B)且C°ST=0的矩陣C只能為零矩陣,進(jìn)而證明Ray模式矩陣S是譜任意的.

2 主要結(jié)果

設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)且n≥5. 考慮如下n×n復(fù)矩陣

(1)

這里α>0,β>0. 如果aj>0(1≤j≤n-1)和bj>0(1≤j≤n-1),則B∈QR(S). 記

(2)

其中

fk=fk(α,a1,a2, …,an-1;b1,b2, …,bn-1,β),gk=gk(α,a1,a2, …,an-1;b1,b2, …,bn-1,β)

分別表示λn-k系數(shù)αk的實(shí)部和虛部,k=1, 2, …,n.

以及

證明 對(duì)于2≤t≤n-2,記

由式子(2)可得

將|λI-B|按第一列展開(kāi)可得

因此,可以得到

所以引理得證.

證明 設(shè)B有形式(1),若aj>0(1≤j≤n-1)和bj>0(1≤j≤n-1),使得在fk=0(1≤k≤n)和gk=0(1≤k≤n)則B∈QR(S)是冪零矩陣. 在式子(1)中,假設(shè)fk=0(1≤k≤n)和gk=0(1≤k≤n),由引理1, 則有

布局需要以物料流動(dòng)為導(dǎo)向，Milk-run需要定制布局，避免長(zhǎng)距離、大面積和較長(zhǎng)的交付周期。在理想的情況下，每個(gè)加工零件都直接用于下一個(gè)生產(chǎn)工序，機(jī)器之間的運(yùn)輸步驟減少能簡(jiǎn)化Milk-run系統(tǒng)的使用流程。同時(shí)布局必須考慮道路容量，車(chē)道需要滿足火車(chē)的正常行駛和轉(zhuǎn)彎需求。用于存放物料的貨架應(yīng)放置在生產(chǎn)單元附近并與路線相鄰，這樣就可以讓Milk-run司機(jī)輕松地把它們裝滿。除了Milk-run火車(chē)本身，提供生產(chǎn)的物料也需要空間。倉(cāng)庫(kù)需要提供足夠的面積存放火車(chē)等運(yùn)輸設(shè)備。

以及

取0

下證

對(duì)j進(jìn)行歸納. 當(dāng)j=5時(shí)，

假設(shè)aj>0和bj>0對(duì)于任意的j

且

由歸納可知,當(dāng)5≤j≤n-3時(shí),aj>0和bj>0. 因?yàn)?/p>

從而an-2>0,bn-2>0,所以an-1>0,bn-1>0.

接著考慮

因此

由C°ST=0,可知c1, i=0(i=1, 2,n-1,n),ci-1, i=0(i=2, …,n-1),c2, i=0(i=1, …,n-2,n),ci, n=0(i=3, 4, …,n-2,n-1),cn-1, n-1=0. 又因?yàn)镃B=BC,CB的第一行和BC的第一行相等,則

所以,c1, i=0(i=3, …,n-3,n-2),c2, n-1=0. 則c1, i=0(i=1, 2, …,n-1,n),c2, i=0(i=1, 2, …,n-1,n). 依次類(lèi)推可得,ci, j=0(i=3, …,n;j=1, 2, …,n). 因此,C=0. 由引理1可知,Ray模式矩陣S是譜任意的. 從而定理得證.