唐健杰

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)，湖南 長沙 410128)

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)對齒輪要求的提高，齒輪受到了越來越多的關(guān)注。齒輪副的傳遞誤差能夠全面反映齒輪傳動(dòng)質(zhì)量與動(dòng)態(tài)特性[1]，許多學(xué)者在齒輪傳遞誤差研究方面做了許多工作，Shuting Li[2]研究了制造誤差、安裝誤差、輪齒修形對傳遞誤差的影響，在文中他指出齒輪傳遞誤差曲線的值會(huì)隨著各項(xiàng)誤差的增大而增大，其中制造誤差還會(huì)改變傳遞誤差曲線的形狀，而安裝誤差與輪齒修形只改變齒輪誤差傳遞曲線的值，不改變傳遞誤差曲線的形狀。Munro[3]提出了一種簡單、精度高的計(jì)算直齒輪線外嚙合所引起的傳遞誤差計(jì)算公式，并使用實(shí)驗(yàn)結(jié)果對公式進(jìn)行了驗(yàn)證。Rigaud, E[4]采用有限元方法，使用兩種不同的三維單元，建立了考慮齒輪變形的齒輪有限元模型。分析得到了齒輪在準(zhǔn)靜態(tài)情況下的傳遞誤差。然后對修形齒輪進(jìn)行了分析，并將傳遞誤差曲線與未修形得到的傳遞誤差曲線進(jìn)行了對比，證明恰當(dāng)?shù)男扌慰梢詼p少傳遞誤差的結(jié)論。李瑰賢[5]等人分別計(jì)算了齒輪副綜合誤差及彈性變形,并首次考慮誤差影響因素的邊界模糊性,把模糊數(shù)的概念引入到齒輪副靜態(tài)傳遞誤差的計(jì)算中,給出了模糊靜態(tài)傳遞誤差的計(jì)算方法。吳勇[6]將考慮傳遞誤差影響的直齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)簡化為一個(gè)自由度的變剛度系統(tǒng)。用平均值法并將參變方程轉(zhuǎn)變?yōu)榉菂⒆兎匠毯?，得到其在靜載作用下系統(tǒng)響應(yīng)及其均值、方差的近似解析表達(dá)式。討論了傳遞誤差對響應(yīng)均值、方差的影響。綜上可見齒輪傳遞誤差是齒輪研究中的一個(gè)重要的方面，目前給出傳遞誤差與制造誤差、及受載變形關(guān)聯(lián)模型的文章很少，導(dǎo)致接近實(shí)際應(yīng)用的齒輪動(dòng)力學(xué)研究存在缺陷，筆者在唐進(jìn)元提出的齒輪傳遞誤差模型[7]基礎(chǔ)上，考慮制造誤差、受載變形等因素的選取，使用一對具體的齒輪進(jìn)行傳遞誤差的計(jì)算研究，將計(jì)算結(jié)果與齒輪箱設(shè)計(jì)分析軟件Romax的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模型的正確性，同時(shí)分析了制造誤差對傳遞誤差曲線的影響規(guī)律。

1 傳遞誤差與齒輪制造誤差、工作載荷的關(guān)聯(lián)模型

唐進(jìn)元在齒輪傳遞誤差計(jì)算新模型[7]一文中，首先使用一對概念標(biāo)準(zhǔn)齒輪與一對實(shí)際齒輪建立了齒輪傳遞誤差的概念模型。然后綜合考慮齒輪的實(shí)際嚙合情況，基于齒輪嚙合的物理意義；建立了包含齒輪制造產(chǎn)生的齒距誤差、齒形誤差(考慮齒形的修形作用)，以及嚙合過程中的輪齒彈性變形、接觸變形的計(jì)算齒輪傳遞誤差的力學(xué)模型。最后基于其所建立的齒輪傳遞誤差的力學(xué)模型，推導(dǎo)出了計(jì)算齒輪傳遞誤差的理論計(jì)算公式：

TE=Ef1+Ef2+ESAB-(DB1+DB2+DH1+

DH2)

(1)

式中：EF1、EF2為實(shí)際齒輪的齒形誤差(包含修形量)；ESAB是當(dāng)前嚙合齒對與前一嚙合齒對之間的綜合齒距偏差；DB1、DB2為嚙合點(diǎn)兩輪齒沿嚙合線的彎曲變形量，DH1、DH2為在嚙合點(diǎn)兩輪齒沿嚙合線方向的接觸變形量。

2 考慮齒輪制造誤差與工作載荷的傳遞誤差計(jì)算

2.1 齒輪制造誤差的選取

齒輪的制造誤差對齒輪的傳動(dòng)使用性能有著極其重要的影響，因此為了使所選用的齒輪能滿足工作要求，必須合理選擇齒輪的各項(xiàng)公差。按各項(xiàng)公差對使用性能的影響，齒輪每個(gè)等級的各項(xiàng)公差被分成三個(gè)公差組。制造過程中應(yīng)根據(jù)齒輪的用途、工 作條件，在各個(gè)公差組中選用合適的精度等級。各公差組中的精度等級可以不同，但各組公差組之間是有緊密的聯(lián)系的，所以各組的公差等級也不可能相差很大。

研究對象以某機(jī)械廠的一對直齒圓柱齒輪為原型；其精度等級為七級，主要參數(shù)及工作載荷如表1所示。為便于分析計(jì)算，現(xiàn)取小齒輪的齒廓偏差為零(即實(shí)際齒形偏向理想齒形的內(nèi)部)；取小齒輪的齒距誤差為按正弦分布的函數(shù)值，其分布函數(shù)為：

(2)

式中：z為齒輪的齒數(shù)；t為齒輪輪齒的編號，其取值范圍為：t∈[1～z]。取大齒輪的齒廓偏差同為零，大齒輪的齒距誤差的分布函數(shù)為：

(3)

齒輪結(jié)構(gòu)如圖1所示。

表1 齒輪參數(shù)及載荷參數(shù)

圖1 齒輪嚙合結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 齒輪受載變形的規(guī)律

由于齒輪材料的柔性，輪齒在受載時(shí)會(huì)產(chǎn)生撓曲變形和接觸變形[8]，綜合表現(xiàn)為齒輪的嚙合剛度。已有很多文獻(xiàn)討論了齒輪嚙合時(shí)的變形規(guī)律[9]。使用載荷與Kuang, J.H.和Y.TYang[10]推導(dǎo)出來的剛度公式計(jì)算輪齒的接觸變形和撓曲變形。單齒剛度公式Ki(ri)為：

(4)

式中：A0、A1、A2、A3為與齒數(shù)相關(guān)的系數(shù)。i=(p、g)，rp、rg分別為主、從動(dòng)輪的基圓半徑；Rp、Rg分別為主、從動(dòng)輪的分度圓半徑。X為變位系數(shù)，m為模數(shù)。

依據(jù)文獻(xiàn)[11]，假設(shè)：①在實(shí)際嚙合中忽略動(dòng)態(tài)載荷對剛度的影響；②齒輪的各齒幾何，物理特性一樣。此時(shí)嚙合點(diǎn)處綜合剛度k(t)為：

(5)

齒輪在嚙合過程中存在單雙齒的交替，其中雙齒嚙合時(shí)間為(ε-1)×100%，理想狀態(tài)下雙齒嚙合區(qū)嚙合時(shí)間長度可以分為相等的兩部分，這兩部分中間既是單齒嚙合區(qū)。因此可使用單齒嚙合剛度疊加得到齒輪的嚙合剛度；疊加部分的時(shí)間長度為(ε-1)×50%。按照上述公式，計(jì)算出例舉齒輪對中齒輪嚙合過程中的剛度曲線k(q)，如圖2所示。在設(shè)定的功率下輪齒的彈性變形為：

DB1+DB2+DH1+DH2=δ=(fp/b)/k(q)

(6)

其曲線如圖3所示。

圖2 齒輪嚙合剛度

2.3 基于齒輪制造誤差與工作載荷的傳遞誤差計(jì)算

由式(2)知齒輪的傳遞誤差由制造誤差與輪齒的受載變形所組成。以大小齒輪嚙合處的一對輪齒為起始點(diǎn)(標(biāo)定此時(shí)的傳遞誤差為零)，分別標(biāo)定大齒輪、小齒輪上的輪齒。則第k(取值范圍為1～z)對輪齒參與嚙合時(shí)的傳遞誤差可記為：

DH1+DH2)

(7)

圖3 單個(gè)輪齒在嚙合過程中的變形曲線

在嚙合過程中各對輪齒上的載荷歷程相同，所以只需計(jì)算出嚙合齒輪中一對輪齒的變形即可。按上述公式原則在MATLAB中編程計(jì)算出表1的嚙合齒輪傳遞誤差如圖4所示。圖4的橫坐標(biāo)為嚙合齒對，縱坐標(biāo)為傳遞誤差(嚙合線上的位移μm )。

圖4 Romax計(jì)算得到的齒輪傳遞誤差

2.4 傳遞誤差計(jì)算與Romax計(jì)算結(jié)果的對比

Romax軟件是一款專門進(jìn)行齒輪設(shè)計(jì)分析的專業(yè)軟件，將使用公式(1)計(jì)算所得的傳遞誤差與Romax計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比；如圖5所示。由圖可見兩種計(jì)算結(jié)果的峰值為±52 μm，最大峰峰值均為100 μm，且兩種傳遞誤差曲線變化趨勢基本上相同。但是使用新模型計(jì)算所得到得傳遞誤差值與Romax計(jì)算得到的曲線相比， Romax軟件計(jì)算得到的傳遞誤差曲線中有許多尖點(diǎn)，并且在中間偏右有一部分曲線誤差較大。誤差的原因分析主要是因?yàn)樵谛履Ｐ椭袥]有考慮到齒輪側(cè)隙與偏載對齒輪傳動(dòng)的影響，當(dāng)齒距誤差較小且正負(fù)值變動(dòng)時(shí)，由側(cè)隙與偏載引起的傳遞誤差被凸顯出來；因此引起了傳遞誤差曲線局部不符。但是總體上，與圖4的對照表明我們提出的傳遞誤差公式(1)的正確性。

圖5 傳遞誤差對比

2.5 傳遞誤差與制造誤差推算分析

圖6 傳遞誤差曲線與制造誤差關(guān)聯(lián)圖

4 結(jié) 論

使用提出的齒輪傳遞誤差計(jì)算模型，給出變形與誤差的具體計(jì)算公式，以一對齒輪傳動(dòng)為例，利用公式計(jì)算了傳遞誤差，計(jì)算結(jié)果與Romax軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對照，結(jié)果表明兩種方法計(jì)算出的傳遞誤差基本相同，并給出了制造誤差對傳遞誤差曲線的影響規(guī)律。研究給出的傳遞誤差的計(jì)算模型與方法概念清晰、計(jì)算簡單，通過傳遞誤差與齒輪動(dòng)力學(xué)方程的關(guān)聯(lián)可實(shí)現(xiàn)制造誤差、工作載荷等與動(dòng)力學(xué)性能參數(shù)的耦合，為齒輪動(dòng)力學(xué)研究基礎(chǔ)性提供了相關(guān)基礎(chǔ)條件。