黃藝鴻，聶曉根，黃文通

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

螺旋錐齒輪具有較大重合度、傳動效率高、承載能力強、傳動平穩(wěn)等優(yōu)點廣泛應(yīng)用于飛機、機床等領(lǐng)域[1-3]。在實際生產(chǎn)應(yīng)用中分析螺旋錐齒輪的嚙合狀態(tài)，計算其接觸應(yīng)力及其傳遞誤差，一直是螺旋錐齒輪的研究前沿問題。Simon[4]研究了安裝誤差和齒形誤差對螺旋接觸軌跡的影響；汪中厚[5]等人通過導(dǎo)入假想共軛齒面進行了螺旋錐齒輪齒面接觸分析，并通過有限元分析螺旋錐齒輪的傳動誤差；汪中厚等人[6]還采用張量分析的方法，對螺旋錐齒輪的齒面接觸分析及基于五軸聯(lián)動數(shù)控機床的全齒面綜合優(yōu)化設(shè)計加工方法進行了深入研究；王鵬[7]等人基于嚙合原理分析了國內(nèi)外螺旋錐齒輪研究進展。然而，由于螺旋錐齒輪的幾何特性和嚙合原理導(dǎo)致其嚙合過程中接觸應(yīng)力及傳遞誤差不易控制。

為了改善螺旋錐齒輪嚙合接觸質(zhì)量，降低嚙合過程中的接觸應(yīng)力及傳遞誤差，本文以端面滾刀加工螺旋錐齒輪為研究對象，建立齒面接觸方程，分析加工過程中降低齒面接觸應(yīng)力及傳遞誤差的方法，為后續(xù)螺旋錐齒輪的研究提供了一定的理論參考。

1 螺旋錐齒輪齒面方程的建立

在該研究過程中采用假想齒輪的方法來解釋端面滾刀范成法加工過程中產(chǎn)生的螺旋錐齒輪及其齒面方程。該假想齒輪是虛擬齒輪，其輪齒是由刀盤切削刃軌跡形成的；螺旋錐齒輪齒面的形成運動實質(zhì)上就是將連續(xù)的刀具切削面方程從刀盤坐標(biāo)系Ke(xe、ye、ze)根據(jù)嚙合原理和齊次坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到假想平頂齒輪坐標(biāo)系Kc(xc、yc、zc)下，即可得到齒面方程。根據(jù)圖1采用變換可由式(1)表示：

(1)

圖1 螺旋錐齒輪

圖1中，κ為刀具傾角；μ刀具旋轉(zhuǎn)角；ρc為假想齒輪的節(jié)圓半徑；ρt為刀盤半徑；γi為刀盤軸初始角度；ζi為刀具偏移角；hd為刀具距離機器平面的傾斜距離；e為機床徑向設(shè)置距離；ω(c)、ω(t)分別為假想齒輪、刀盤的角速度。

為了獲得加工過程中螺旋錐齒輪齒面方程，假設(shè)螺旋錐齒輪和平頂齒輪共軛嚙合，如圖2所示。圖2為假想平頂齒輪與螺旋錐齒輪的坐標(biāo)系，Kc(xc、yc、zc)表示假想平頂齒輪坐標(biāo)系，K1(x1、y1、z1)、K2(x2、y2、z2)分別表示齒輪1、齒輪2的坐標(biāo)系。圖2中的ω(1)、ω(2)分別為齒輪1、齒輪2的角速度；Φ1、Φ2分別為齒輪1、2嚙合過程中的轉(zhuǎn)角。齒輪1、齒輪2齒面方程由式(2)—式(3)定義：

(2)

(3)

圖2 坐標(biāo)系

2 最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差計算

2.1 齒面載荷分布分析

在相同載荷條件下，基于螺旋錐齒輪安裝角度位置誤差、輪齒的瞬時接觸線計算齒面載荷分布；計算過程中將齒面接觸點的復(fù)合位移作為輪齒變形，同時考慮輪齒間的分離、錯位及復(fù)合齒形誤差。因此，瞬時接觸線應(yīng)滿足式(4)：

(4)

任意接觸點D處輪齒表面法向方向上的復(fù)合位移Δyn可由式(5)表示：

Δyn=w(zD)+s(zD)+en(zD)

(5)

式中：zD為點D沿著接觸線方向的坐標(biāo)；w(zD)為點D處的總變形量；s(zD)為點D出的齒面相對分離；en(zD)為點D處的復(fù)合誤差，該誤差為大小齒輪的制造裝配誤差總和。

點D處的總變形量定義為：

(6)

式中：Lit為齒輪副it處接觸線的幾何長度；Kd(zD,zF)為影響系數(shù)，Kd包含大小齒輪輪齒彎曲和剪切變形，大小齒輪彎曲、扭轉(zhuǎn)以及支撐軸變形。Kc(zD)為大小齒輪輪齒接觸間的影響系數(shù)；p(zF)、p(zD)分別為在F、D處的輪齒載荷。

接觸點距大小齒輪軸的距離是時刻變化的，傳遞力矩可定義為：

(7)

(8)

Δyn(it,iz)=w(it,iz)+s(it,iz)+en(it,iz)

(9)

(10)

總變形量定義為：

w(it,iz)=wt(it,iz)+wc(it,iz)+wgs(it,iz)

(11)

式中：wt(it,iz)為大小齒輪輪齒復(fù)合彎曲和剪切變形；wc(it,iz)為大小齒輪輪齒復(fù)合接觸變形；wgs(it,iz)包括齒輪彎曲、支撐軸變形。

輪齒變形可由式(12)計算求得：

(12)

(13)

(14)

2.2 有限元提取最大接觸應(yīng)力數(shù)學(xué)模型

根據(jù)參考文獻[8] ，通過式(15)來確定輪齒it上iz小段的法向最大接觸應(yīng)力：

(15)

fσr0(hDr,hFr)·fwa0(bDr,hFr)

2.3 有限元提取傳遞誤差數(shù)學(xué)模型

總傳遞誤差包含齒輪副安裝運動誤差、輪齒誤差變形誤差等。假設(shè)齒輪1為主動輪并以恒定角速度運轉(zhuǎn)。由于齒輪副的安裝、運動誤差導(dǎo)致齒輪副間的角速度比不斷變化，且從動輪的角位移將偏離理論位置，則從動輪角位移可以由式(16)表示：

(16)

式中：Φ1、Φ2分別為齒輪1、2的瞬時角位置；Φ10、Φ20分別為小齒輪、大齒輪的初始角位置；N1、N2分別為小齒輪、大齒輪的齒數(shù)；ΔΦ2s為由于裝配誤差引起的大齒輪的角位移。

根據(jù)式(4)計算大小齒輪嚙合過程中由于柔量變化引起的大齒輪角位移。因此，齒輪總傳遞誤差由式(17)計算：

(17)

3 有限元分析

3.1 螺旋錐齒輪模型的建立

螺旋錐齒輪參數(shù)較多且建模復(fù)雜，為精確建模，本文通過CATIA軟件中二次開發(fā)功能模擬螺旋錐齒輪真實的加工過程，通過切割來獲得1個齒槽包絡(luò)線模型，從而獲得螺旋錐齒輪的齒廓曲面和齒根曲面。以切割軌跡線的端點為采樣點，用二階連續(xù)的雙三次非均勻有理B樣條(NURBS)擬合獲得光滑的擬合曲線，從而重構(gòu)出曲率均勻變化的齒槽曲面。通過陣列等操作可構(gòu)建出精確的螺旋錐齒輪幾何模型。

圖3 螺旋錐齒輪有限元裝配模型

3.2 螺旋錐齒輪靜力學(xué)有限元分析

有限元分析前處理設(shè)置關(guān)系將取決分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，螺旋錐齒輪選常用合金鋼材料，彈性模量206 000MPa，泊松比0.3，齒輪接觸選擇有限滑移接觸算法，硬接觸，摩擦系數(shù)值為0.06。端面滾刀加工螺旋錐齒輪完成后，根據(jù)齒輪實際負(fù)載，分析不同加工參數(shù)對接觸應(yīng)力及傳遞誤差的影響，以獲得降低齒輪接觸應(yīng)力及傳遞誤差的方法，分析結(jié)果如圖4所示。圖中參數(shù)Kpmax(實心圓圈表示)、KΔΦ2max(實心方框表示)分別表示不同加工參數(shù)下加工所得螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力、最大齒輪傳遞誤差與理論共軛嚙合條件下加工螺旋錐齒輪相應(yīng)值之比。

觀察圖4(a)可知，刀具傾角一定時，隨著刀具旋轉(zhuǎn)角的增加，螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力急劇增加；傳遞誤差緩慢降低最后趨于穩(wěn)定；同時可以明顯看出，隨著旋轉(zhuǎn)角的減小，錐齒輪最大接觸壓力幾乎不變；傳遞誤差先降低，再增加最后趨于穩(wěn)定。

由圖4(b)可知，保持刀具其他參數(shù)一定，隨著傾斜距離(hd)的增加齒輪最大接觸應(yīng)力緩慢降低、齒輪傳遞誤差先降低后增加；然后隨著傾斜距離的減小齒輪最大接觸壓力幾乎呈直線下降，齒輪傳遞誤差趨勢表現(xiàn)為直線增加。

圖4(c)表明隨著機床修正量(Δe)的增加齒輪最大接觸壓力緩慢增加、傳遞誤差則緩慢降低；隨著修正量的降低，齒輪最大接觸壓力急劇下降，隨后趨于平穩(wěn)、齒輪傳遞誤差則表現(xiàn)為急劇增加。

由圖4(d)可知隨著刀頭半徑的增加(Δrt0)齒輪最大接觸應(yīng)力將至最低后緩慢上升、傳遞誤差則呈現(xiàn)出先降低后急劇增加的變化趨勢。

圖4(e)、圖4(f)分別表示刀盤內(nèi)、外圓弧刀刃半徑(rprof1、rprof2)對齒輪最大接觸應(yīng)力、傳遞誤差的影響。由圖4(e)、圖4(f)可以發(fā)現(xiàn)刀盤內(nèi)外圓弧半徑對齒輪最大接觸應(yīng)力、傳遞誤差的變化趨勢相同：隨著內(nèi)外圓弧半徑的增加，最大齒輪接觸應(yīng)力雖然有些波動，但整體表現(xiàn)較為平穩(wěn)；齒輪傳遞誤差則在內(nèi)外圓弧半徑增加最初階段急劇降低，然后變化開始趨于平穩(wěn)。

圖4 不同加工參數(shù)對接觸應(yīng)力及傳遞誤差的影響

根據(jù)圖4分析，當(dāng)κ=2°，μ=-1°時，齒輪傳遞誤差、齒面接觸壓力最低。

3.3 螺旋錐齒輪動力學(xué)有限元分析

動態(tài)加載分析采用與靜力學(xué)分析相同的有限元網(wǎng)格模型，但分析類型選擇動態(tài)顯式分析算法。根據(jù)靜力學(xué)分析得到的參數(shù)，進行縱向分析不同工況下(如表1所示)齒輪最大接觸壓力及傳遞誤差隨齒輪傳動比變化的趨勢，分析結(jié)果如圖5所示。

表1 不同加工工況

圖5 不同工況下分析結(jié)果

圖5為不同加工工況下，最大齒輪接觸壓力、傳遞誤差分析結(jié)果。分析圖5可知加工工況完全相同時，最大齒輪接觸誤差隨著齒輪傳動比的增加而降低；傳遞誤差隨傳動比的變化比較復(fù)雜。

分析圖5(a)可知，刀具旋轉(zhuǎn)角、傾角一定時，改變加工工況均降低了最大齒輪接觸應(yīng)力；其中工況4加工條件下最大齒輪接觸應(yīng)力降低最為明顯，且隨傳動比的增加，最大齒輪接觸應(yīng)力呈線性降低的變化趨勢。

觀察圖5(b)可以發(fā)現(xiàn)，傳動比較小時，改變加工方法有利于降低齒輪傳遞誤差；然而隨著傳動比的增加，完全共軛加工條件下齒輪傳遞誤差幾乎沒有變化，工況2、3條件加工下齒輪最大傳遞誤差均呈現(xiàn)先急劇增加后逐漸降低的變化趨勢，且兩種工況下加工的螺旋錐齒輪傳遞誤差在傳動比較大時均比工況1高。工況4則表現(xiàn)出較好的傳動平穩(wěn)性，傳動比較小時明顯低于工況1，隨著傳動比的增加該工況下齒輪傳遞誤差緩慢增加最終趨于穩(wěn)定。

根據(jù)以上分析結(jié)果，以工況4為研究對象，分析不同N1對最大齒輪接觸壓力、齒輪傳遞誤差的影響，分析結(jié)果分別如圖6、圖7所示。圖7為N1=10時最大齒輪接觸壓力及齒輪傳遞誤差分析結(jié)果。對比圖5、圖6工況1可以看出，隨著主動輪齒數(shù)的減小最大齒輪接觸壓力變化不明顯；然而傳遞誤差卻較工況1明顯變大。

圖7為N1=16時分析結(jié)果。對比圖6、圖7可以發(fā)現(xiàn)，隨著主動輪齒數(shù)的增加，最大齒輪接觸壓力急劇降低，對比傳遞誤差發(fā)現(xiàn)傳遞誤差也得到了很大程度的改善。

圖6 主動輪齒數(shù)N1=10分析結(jié)果

圖7 主動輪齒數(shù)N1=16分析結(jié)果

3.4 實際加工驗證

通過對螺旋錐齒輪副的實際工況加載，獲得實際轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩工況變化規(guī)律，反映出大致的螺旋錐齒輪嚙合特性，并利用計算機的數(shù)據(jù)處理功能，獲得螺旋錐齒輪副傳動誤差的變化規(guī)律。另外，再通過對滾機對齒輪的接觸區(qū)域進行著色檢測，檢查實際接觸區(qū)域的大小和位置，從而真實地反映實際嚙合傳動過程中的接觸性能。

圖8 實際傳動誤差和實際接觸區(qū)域

如圖8所示，螺旋錐齒輪的傳動誤差比較小，波動范圍約為0.1rad，接觸區(qū)主要集中在齒寬中間區(qū)域，接觸性能良好，與有限元的分析結(jié)果一致，螺旋錐齒輪副傳動平穩(wěn)，說明有限元理論分析的可靠性。

4 結(jié)語

1) 通過引入假想共軛嚙合齒輪，構(gòu)建加工過程中螺旋錐齒輪齒面方程，然后基于坐標(biāo)變換提出螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差的有限元數(shù)學(xué)模型；

2) 刀具傾角為2°、旋轉(zhuǎn)角為-1°時，齒輪傳遞誤差、齒面接觸壓力最低；內(nèi)圓弧刀刃半徑為580mm的加工方式將大大改善該螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差；

3) 主動輪齒數(shù)的增加會很大程度上降低螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差。