張 旭，王東鋒，張 濤

(空軍工程大學(xué) 航空機(jī)務(wù)士官學(xué)校，河南 信陽(yáng) 464000)

對(duì)于現(xiàn)代航空發(fā)動(dòng)機(jī)而言，葉尖間隙對(duì)于提升壓氣機(jī)和渦輪效率具有重要影響[1]。英國(guó)羅羅公司對(duì)現(xiàn)代燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)研究表明[2]，如果將葉尖間隙每增加葉片長(zhǎng)度的1%，效率就會(huì)降低約1.5%；而效率每降低1%，耗油率約增加2%。據(jù)GE公司對(duì)CF5～CF50發(fā)動(dòng)機(jī)的分析可得，葉尖間隙對(duì)耗油率的影響約占葉型與間隙密封總損失的67%。因此，在設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)在保證安全的前提下盡可能地減小葉尖間隙；在發(fā)動(dòng)機(jī)使用與維護(hù)過(guò)程中，必須嚴(yán)格而精確地控制和測(cè)量葉尖間隙，使發(fā)動(dòng)機(jī)處于最佳運(yùn)行狀態(tài)。

目前，航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉尖間隙測(cè)量技術(shù)主要有探針火花放電法、電容法、微波法、電渦流法、光纖法、激光法、超聲波法和X射線法等[3]。這些方法具有不同的優(yōu)缺點(diǎn)，其中，電容法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、分辨率高和非接觸式測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)，并能在高溫、輻射和強(qiáng)烈振動(dòng)等惡劣條件下工作[4]，是國(guó)內(nèi)外目前應(yīng)用比較廣泛的測(cè)試方法之一。

本文應(yīng)用MATLAB軟件的Cftool擬合工具箱，通過(guò)試驗(yàn)研究葉尖間隙微電容檢測(cè)的高精度擬合方法，并結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)理論與方法進(jìn)行深入地探討和分析；之后，根據(jù)工程實(shí)踐與研究的需要，選定負(fù)階次多項(xiàng)式作為最佳的擬合工具，并給出詳細(xì)、實(shí)用的擬合算法。

1 微電容檢測(cè)原理

間隙式電容傳感器應(yīng)用廣泛，它采用平面極板作為敏感元件，適用于小位移檢測(cè)。以定極板為傳感器測(cè)頭，動(dòng)極板與被測(cè)件相連，或被測(cè)件即為動(dòng)極板。當(dāng)兩極板間距變化時(shí)，電容量改變[5-6]。

微電容法葉尖間隙是靠絕緣電極的機(jī)匣和轉(zhuǎn)子葉尖間形成的電容進(jìn)行測(cè)量的，測(cè)得的電容是電極幾何形狀、兩極間距離以及兩極間介質(zhì)的函數(shù)。假設(shè)兩極板間介質(zhì)保持不變，極板正對(duì)面積為s，極板間距即葉尖間隙為d，則電容量C為：

(1)

式中，ε0和εr分別為真空介電常數(shù)和介質(zhì)介電常數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，ε0和εr一般保持不變；在葉尖和機(jī)匣不變形的情況下，極板正對(duì)面積s也保持不變。因此，微電容C和葉尖間隙d成反比例函數(shù)關(guān)系，這樣，對(duì)d的測(cè)量可轉(zhuǎn)移到對(duì)微電容C的測(cè)量之中。

葉尖間隙微電容測(cè)量系統(tǒng)的工作原理圖如圖1所示。首先，由微電容傳感器模塊測(cè)量葉尖與機(jī)匣形成的微電容大小，該電容為pF級(jí)，由于數(shù)值太小，極容易受到外界干擾，因此，通過(guò)雙屏蔽層驅(qū)動(dòng)電纜傳送至電容-電壓轉(zhuǎn)換模塊；其次，由A-D數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)電壓信息進(jìn)行采集；最后，交由數(shù)據(jù)分析模塊進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析，以判定葉尖間隙的變化情況。

圖1 葉尖間隙微電容測(cè)量系統(tǒng)工作原理圖

2 葉尖間隙測(cè)試數(shù)據(jù)擬合試驗(yàn)分析

由于微電容C和葉尖間隙d成反比例關(guān)系，而C又與測(cè)量電壓U成正比例關(guān)系，因此，測(cè)量電壓U與葉尖間隙d也成反比例函數(shù)關(guān)系。在試驗(yàn)中，可通過(guò)測(cè)量和標(biāo)定，獲得U與d之間的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，然后通過(guò)擬合，獲得二者之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而可在數(shù)據(jù)分析中，方便地讀出葉尖間隙d的相關(guān)數(shù)據(jù)。

2.1 典型擬合步驟

數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題是指如何從一組給定的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,L,N)出發(fā)，尋找函數(shù)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=φ(x)，要求近似表達(dá)式能夠反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)而又不一定過(guò)全部的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。最小二乘法擬合是最常用的擬合方法之一，它要求誤差的平方和最小，即尋求與給定點(diǎn)的距離平方和最小的曲線y=φ(x)。

2.2 Cftool試驗(yàn)分析

在本試驗(yàn)中，首先應(yīng)用MATLAB軟件的Cftool擬合工具箱進(jìn)行擬合，來(lái)確定最佳的擬合函數(shù)類型。Cftool擬合工具箱功能強(qiáng)大，能夠?qū)崿F(xiàn)多種類型的線性和非線性曲線擬合，主要包括指數(shù)逼近、傅里葉逼近、高斯逼近、插值逼近、多項(xiàng)式逼近、冪逼近、有理數(shù)逼近、平滑逼近、正弦曲線逼近及用戶自定義函數(shù)類型等。

通過(guò)大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，多項(xiàng)式擬合具有較高的擬合精度。本文選取精度較高的幾組數(shù)據(jù)(見(jiàn)表1)進(jìn)行分析。

表1 不同階次多項(xiàng)式的擬合精度

表1中，SSE為和方差，即誤差平方和，該值越接近于0，說(shuō)明模型選擇和擬合越好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功；RMSE為均方根，即標(biāo)準(zhǔn)差；R-square為確定系數(shù)，它通過(guò)數(shù)據(jù)的變化來(lái)表征擬合的好壞，其正常取值范圍為[0,1]，而且越接近于1，表明方程變量對(duì)y的解釋能力也越強(qiáng)，這個(gè)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的精度也越高；Adjusted R-square為校正后的確定系數(shù)，其取值和功用與R-square相似。

由表1可知，上述8組擬合數(shù)據(jù)中，確定系數(shù)和校正確定系數(shù)都達(dá)到了1或約等于1的水平，因此都具有很高的擬合精度。但是，相對(duì)于+7階次多項(xiàng)式和±3階次多項(xiàng)式，負(fù)階次多項(xiàng)式表現(xiàn)出較為優(yōu)異的性能；隨著負(fù)階次冪次的不斷提高，擬合的和方差也越來(lái)越小，然而標(biāo)準(zhǔn)差卻先減小后增大，當(dāng)擬合階次為-7次時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差最小。綜合考慮表1給出的4種擬合指標(biāo)，選擇-7階次多項(xiàng)式擬合作為最佳的擬合方法，所獲得的擬合公式見(jiàn)式2，最終擬合曲線如圖2所示。

y=0.001 309x-7-0.022 69x-6+0.164x-5-
0.647x-4+1.542x-3-2.379x-2+
2.837x-1-0.339 1

(2)

圖2 -7階次多項(xiàng)式的擬合曲線及殘差

由圖2可知，擬合曲線與樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎完全重合；同時(shí)，擬合樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與-7階次多項(xiàng)式擬合曲線的殘差非常小，擬合精度很高，完全符合實(shí)際工程應(yīng)用的需求。

根據(jù)典型擬合步驟，需要從粗略圖形中確定近似公式的函數(shù)類。通過(guò)上述分析可知，測(cè)量電壓U與葉尖間隙d成反比例函數(shù)關(guān)系，因此，選取反比例函數(shù)類作為葉尖間隙微電容擬合的函數(shù)類是一種十分匹配的選擇，而負(fù)階次多項(xiàng)式恰好能夠?yàn)榉幢壤瘮?shù)類提供一種高精度、可靠實(shí)用的擬合公式。

綜上所述，在本研究中，采用-7階次多項(xiàng)式作為最終的擬合公式，相關(guān)的擬合結(jié)果具有很高的擬合精度。雖然使用MATLAB軟件擬合工具十分方便，但是在實(shí)際的葉尖間隙微電容測(cè)量系統(tǒng)研制、調(diào)試及使用過(guò)程中，往往需要將該算法寫入便攜式移動(dòng)設(shè)備軟件或其他計(jì)算機(jī)分析軟件中，因此，還需要研究負(fù)階次多項(xiàng)式擬合的相關(guān)算法。

3 負(fù)階次多項(xiàng)式擬合算法

負(fù)階次多項(xiàng)式擬合問(wèn)題是指對(duì)于給定的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,…,N)，尋找一個(gè)次數(shù)低于N-1的多項(xiàng)式：

y=φ(x)=a0+a1x-1+a2x-2+…+
amx-m(m

(3)

式中，a0,a1,a2,…,am為待定系數(shù)。

把點(diǎn)(xi,yi)代入y=φ(x)，便得到以a0,a1,a2,…,am為未知參量的方程組：

(4)

其矩陣形式為：

Γa=b

(5)

式中，

根據(jù)式5可知：ΓTΓa=ΓTb，進(jìn)而可得未知參量a的表達(dá)式為：

a= (ΓTΓ)-1ΓTb

(6)

將式6代入式3，即可求得負(fù)階次多項(xiàng)式擬合的最終表達(dá)式。需要注意的是，給定數(shù)據(jù)x0,x1,x2,…,xN必須互異，這樣式6具有唯一解；同時(shí)，擬合多項(xiàng)式負(fù)階次-m的選擇，可以為-7，也可以在不同類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中進(jìn)行適當(dāng)?shù)匚⒄{(diào)。

4 結(jié)語(yǔ)

論文從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，采用MATLAB擬合工具箱試驗(yàn)對(duì)比的方式，尋找高精度的擬合方法；結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)理論，對(duì)擬合試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行深入地分析，并選定-7階次多項(xiàng)式擬合作為本試驗(yàn)的最佳擬合公式；最后，研究了負(fù)階次多項(xiàng)式的擬合算法，具有較強(qiáng)的實(shí)用性和很高的擬合精度。本方法的研究結(jié)果可應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)研究、工程應(yīng)用及特種條件下的發(fā)動(dòng)機(jī)損傷檢測(cè)等領(lǐng)域。