延明月 張旭 劉晨昊 黃仁忠 高天附? 鄭志剛

1)(沈陽(yáng)師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽(yáng) 110034)

2)(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,廈門(mén) 361021)

(2018年5月31日收到；2018年7月11日收到修改稿)

1 引 言

生物分子馬達(dá)是將化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的一大類(lèi)酶蛋白生物分子,在細(xì)胞內(nèi)的物質(zhì)輸運(yùn)過(guò)程中起著非常重要的作用[1].為了深入了解分子馬達(dá)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理,人們提出了雙溫棘輪[2]、反饋控制棘輪[3],hand-over-hand棘輪[4]等大量的布朗棘輪模型[5?8].通過(guò)對(duì)不同類(lèi)型棘輪的研究,不僅能深入地理解布朗粒子的定向輸運(yùn)機(jī)理,而且還有助于分析生物醫(yī)學(xué)上藥物投放等輸運(yùn)過(guò)程[9,10].同時(shí),也可為醫(yī)療上如何提高藥物精準(zhǔn)投放及藥物的有效利用率等提供理論指導(dǎo)[11?14].

目前,關(guān)于棘輪定向輸運(yùn)的研究已引起人們的廣泛興趣[15?18].如Dinis和Quintero[19]建立了過(guò)阻尼布朗棘輪模型,研究發(fā)現(xiàn)合適的外力振幅可以使粒子的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng).同時(shí),Wang和Bao[20]建立了二維搖擺棘輪,結(jié)果表明,耦合粒子間的相互作用與搖擺驅(qū)動(dòng)之間的協(xié)同作用能促進(jìn)粒子的定向輸運(yùn).此外,Cubero和Renzoni[21]也對(duì)欠阻尼棘輪的輸運(yùn)問(wèn)題進(jìn)行了討論,發(fā)現(xiàn)一定的驅(qū)動(dòng)相位能夠誘導(dǎo)棘輪的流反轉(zhuǎn).通過(guò)對(duì)不同類(lèi)型棘輪的研究,不僅能使人們理解棘輪的定向輸運(yùn)行為,而且對(duì)于分析細(xì)胞內(nèi)分子馬達(dá)拖動(dòng)負(fù)載時(shí)的能量轉(zhuǎn)化具有一定的實(shí)驗(yàn)啟發(fā).

實(shí)驗(yàn)研究表明,細(xì)胞內(nèi)大多數(shù)的生物分子馬達(dá)都是拖動(dòng)負(fù)載進(jìn)行定向步進(jìn)的酶蛋白生物大分子,其拖動(dòng)負(fù)載做功的效率普遍都非常高,如旋轉(zhuǎn)ATP合成酶.舒咬根等[22]研究發(fā)現(xiàn),野生型驅(qū)動(dòng)馬達(dá)在一個(gè)力學(xué)化學(xué)耦合循環(huán)作用中水解一個(gè)ATP,其能量利用率高達(dá)70%[23].最新的研究表明,驅(qū)動(dòng)馬達(dá)只有在小負(fù)荷時(shí)水解一個(gè)ATP并移動(dòng)一步,而在大負(fù)荷時(shí)移動(dòng)一步需要水解多個(gè)ATP[24].然而,對(duì)于無(wú)偏置力和負(fù)載作用下布朗粒子的輸運(yùn)效率問(wèn)題,Nutku和Aydiner[25]的研究結(jié)果表明粒子對(duì)棘輪系統(tǒng)輸入能的利用僅為2‰左右.此外,文獻(xiàn)[26]對(duì)熱機(jī)效率進(jìn)行討論,發(fā)現(xiàn)布朗熱機(jī)能夠達(dá)到的最大效率僅為1%左右.通過(guò)對(duì)比上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析發(fā)現(xiàn),棘輪模型的效率與實(shí)驗(yàn)上測(cè)得的馬達(dá)效率相比仍有較大差距.因此,如何從理論上提高不同類(lèi)型馬達(dá)拖動(dòng)負(fù)載做功時(shí)的效率問(wèn)題至今仍是非常重要的研究課題.此外,Delacruz等[27]的研究表明,大多數(shù)的分子馬達(dá)都是以集體形式向前步進(jìn),其每跨一步水解一個(gè)ATP.由于馬達(dá)頭部與微管蛋白的結(jié)合會(huì)使蛋白螺旋分離,從而導(dǎo)致它們的催化周期處于不同的相位上.因此,相位差引起的脈沖作用對(duì)于細(xì)胞內(nèi)生物分子馬達(dá)的定向運(yùn)動(dòng)乃至反轉(zhuǎn)都將起至關(guān)重要的作用[28].基于這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果,文獻(xiàn)[29]建立了相應(yīng)的反饋棘輪模型,并研究了自由長(zhǎng)度等因素對(duì)棘輪定向輸運(yùn)的影響.然而對(duì)于該耦合馬達(dá)在細(xì)胞環(huán)境中拖動(dòng)負(fù)載做功時(shí)的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題,仍不十分清楚.因此,本文在上述研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn),詳細(xì)討論耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率問(wèn)題.

為了全面了解反饋脈沖棘輪的輸運(yùn)性能,本文研究了耦合馬達(dá)拖動(dòng)負(fù)載時(shí)的定向輸運(yùn)以及能量轉(zhuǎn)化效率.研究發(fā)現(xiàn),處于一定的脈沖相位下,耦合粒子拖動(dòng)負(fù)載的運(yùn)動(dòng)方向會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn),且存在合適的脈沖相位能使棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng)；一定的耦合強(qiáng)度以及合適的自由長(zhǎng)度也能使脈沖棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng),從而使耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率達(dá)到最大.本文所得結(jié)果可為人工納米器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供新思路,并為實(shí)現(xiàn)不同粒子的篩選提供理論基礎(chǔ)[30,31].

2 反饋脈沖棘輪

本文主要研究耦合布朗馬達(dá)拖動(dòng)負(fù)載時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況,同時(shí)馬達(dá)還將受到無(wú)偏外力及熱噪聲的作用,其動(dòng)力學(xué)行為可由無(wú)量綱化的過(guò)阻尼朗之萬(wàn)方程描述[32,33]:

其中t為時(shí)間；兩個(gè)耦合布朗粒子的位置分別為x1(t)和x2(t)；γ為介質(zhì)的阻尼系數(shù)；λ為負(fù)載；方程為粒子受到棘輪勢(shì)的作用,V(x)為周期外勢(shì)表示為

其中L0為棘輪的周期.由于生物體內(nèi)分子馬達(dá)在ATP水解過(guò)程中受到環(huán)境的影響,從而導(dǎo)致耦合馬達(dá)的催化周期處于不同的相位.因此,理論上我們可采用反饋調(diào)制g1,2(t)來(lái)表示這一相互作用[29],其具體形式為:

因此,方程(1),(2)表達(dá)的是一種反饋脈沖棘輪.此外,U(x1,x2)為兩個(gè)耦合布朗粒子的相互作用勢(shì),具有如下關(guān)系:

其中k為耦合強(qiáng)度,b為彈簧的自然長(zhǎng)度.脈沖棘輪受到的外力F(t),本文采用的是周期外力,其表述為

上式中C為周期外力的振幅,τ為外力作用周期.此外,ξ1(t)和ξ2(t)為高斯白噪聲,且滿足如下統(tǒng)計(jì)特征:

其中G為噪聲強(qiáng)度.

為了研究反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn),本文采用耦合粒子質(zhì)心的平均速度來(lái)描述棘輪的輸運(yùn)情況,表述如下[34]:

其中,?.?表示系綜平均.由于布朗粒子會(huì)產(chǎn)生自由擴(kuò)散現(xiàn)象,因此利用平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi來(lái)研究耦合布朗粒子的擴(kuò)散,表示如下[35]:

式中T為耦合粒子的演化時(shí)間.對(duì)于反饋棘輪來(lái)說(shuō),僅知道?Vcm?和Dfi還不足以對(duì)耦合粒子的輸運(yùn)性能進(jìn)行全面了解,因此本文進(jìn)一步對(duì)脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)換效率η做了詳細(xì)討論,具體表示如下[36]:

其中?Vi?為粒子的平均速度.(10)式表明脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率為一段時(shí)間內(nèi)耦合粒子拖動(dòng)負(fù)載所做的有用功W與周期外力輸入到反饋棘輪的總能量Ein之比.

本文采用龍格-庫(kù)塔算法對(duì)方程(1)和(2)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,主要研究耦合粒子拖動(dòng)負(fù)載時(shí)的輸運(yùn)性能隨系統(tǒng)各參量的影響.為了得到穩(wěn)定的系綜平均值,本文模擬了5×103條軌道,每個(gè)軌道演化了10個(gè)周期,且步長(zhǎng)取h=1×10?3.文中所有物理量采用無(wú)量綱化參量,無(wú)特殊說(shuō)明參數(shù)取L0=1.0,γ=1.0,G=0.4,ω =0.8,τ=10.

3 結(jié)果與討論

3.1 反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn)

3.1.1 耦合自由長(zhǎng)度b的影響

為了研究脈沖棘輪的定向輸運(yùn),本文研究了不同耦合強(qiáng)度k下粒子質(zhì)心的平均速度隨耦合長(zhǎng)度b的變化關(guān)系,如圖1(a)所示.研究結(jié)果表明,無(wú)耦合情況下,即k=0時(shí)布朗粒子的質(zhì)心平均速度隨自由長(zhǎng)度的變化趨于某一恒定值.說(shuō)明無(wú)耦合情況下自由長(zhǎng)度對(duì)兩個(gè)自由粒子的平均速度沒(méi)有影響.k=0時(shí),隨著自由長(zhǎng)度b的增加,反饋脈沖棘輪的質(zhì)心平均速度呈周期性變化.研究發(fā)現(xiàn),在每個(gè)演化周期內(nèi)幾率流都會(huì)出現(xiàn)極值.當(dāng)b=1.0時(shí),在一個(gè)演化周期內(nèi)粒子的自由長(zhǎng)度最長(zhǎng),此時(shí)粒子間的相互作用最弱.因此耦合粒子容易跨越勢(shì)壘形成定向運(yùn)動(dòng),從而使反饋棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng).類(lèi)似的分析可知,在每個(gè)演化周期內(nèi)脈沖棘輪也會(huì)存在某一自由長(zhǎng)度b使耦合粒子質(zhì)心的平均速度達(dá)到最小.這一現(xiàn)象表明,由于耦合自由長(zhǎng)度與棘輪勢(shì)場(chǎng)空間周期的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,使粒子處于勢(shì)阱中不易跨越勢(shì)壘,因此反饋棘輪很難形成定向輸運(yùn).更有趣的是,對(duì)于一定的自由長(zhǎng)度隨著耦合強(qiáng)度k的增加,脈沖棘輪的平均速度反而減小.特別是當(dāng)耦合粒子的相互作用較強(qiáng)時(shí),如k＞50后反饋棘輪的輸運(yùn)從正向變?yōu)樨?fù)向,說(shuō)明強(qiáng)耦合作用下反饋脈沖棘輪能夠產(chǎn)生流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.關(guān)于耦合強(qiáng)度對(duì)粒子定向輸運(yùn)的影響將在下文進(jìn)行深入討論.

圖1 (a)質(zhì)心平均速度?Vcm?,(b)平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi隨自由長(zhǎng)度b的變化曲線,其中C=3.0,λ=0.12,φ=π/5Fig.1.The curves of(a)the center-of-mass velocity?Vcm?,(b)the average effective diffusion cofiicient Dfivarying with the free length b,where C=3.0,λ=0.12,φ=π/5.

在噪聲背景下,耦合粒子會(huì)發(fā)生自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).本文進(jìn)一步研究了粒子的平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi隨自由長(zhǎng)度的變化關(guān)系,如圖1(b)所示.研究發(fā)現(xiàn),無(wú)耦合情況下,即k=0時(shí),布朗粒子的平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi隨自由長(zhǎng)度的變化是在某一恒定值附近變化.即此時(shí)兩個(gè)粒子是在做自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).k=0時(shí),耦合布朗粒子平均有效擴(kuò)散系數(shù)的變化同粒子質(zhì)心平均速度的變化有類(lèi)似規(guī)律,隨自由長(zhǎng)度b的增加,Dfi也呈現(xiàn)周期性變化.在一個(gè)演化周期內(nèi),如b=1.0時(shí),粒子間的自由長(zhǎng)度最長(zhǎng),此時(shí)粒子更容易做自由擴(kuò)散,所以耦合粒子的擴(kuò)散系數(shù)Dfi也相對(duì)較大.也就是說(shuō)在一定條件下自由長(zhǎng)度能使耦合粒子達(dá)到較強(qiáng)的擴(kuò)散.然而,在演化周期內(nèi)自由長(zhǎng)度為某一合適值,如b=0.5時(shí),從圖1(a)的分析可得此時(shí)脈沖棘輪的平均速度較小,也就是說(shuō)耦合粒子位置的變化較慢.根據(jù)(9)式不難發(fā)現(xiàn),此時(shí)耦合粒子位置的漲落也相對(duì)較小,所以脈沖棘輪的自由擴(kuò)散會(huì)較弱.說(shuō)明一定條件下自由長(zhǎng)度將會(huì)抑制耦合粒子的擴(kuò)散.研究還發(fā)現(xiàn),一定b的情況下耦合強(qiáng)度k=500比k=15時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)更小.這是因?yàn)閗較強(qiáng),兩個(gè)粒子的相互作用可看成一個(gè)硬桿,從而導(dǎo)致耦合粒子的協(xié)調(diào)性大大降低,因而耦合粒子更不容易產(chǎn)生自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).然而,當(dāng)k較大時(shí),如k=50和k=500時(shí),粒子的自由擴(kuò)散系數(shù)趨于一致,下文將詳細(xì)討論耦合強(qiáng)度對(duì)脈沖棘輪自由擴(kuò)散的影響.

3.1.2 耦合強(qiáng)度k的影響

圖2 (a)質(zhì)心平均速度?Vcm?,(b)平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi隨耦合強(qiáng)度k的變化曲線,其中b=0.5,C=3.0,φ=π/5Fig.2.The curves of(a)the center-of-mass velocity?Vcm?,(b)the average effective diffusion cofiicient Dfivarying with the strength of coupling k,where b=0.5,C=3.0,φ=π/5.

上述研究表明,耦合強(qiáng)度對(duì)脈沖棘輪的輸運(yùn)有一定影響.因此,本文進(jìn)一步研究了不同負(fù)載λ作用下粒子質(zhì)心的平均速度隨耦合強(qiáng)度k的變化關(guān)系,如圖2(a)所示.研究結(jié)果表明,k→ 0時(shí),即弱耦合條件下反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn)相對(duì)較弱.以λ=0.05為例,研究發(fā)現(xiàn),隨著k的增加且k＜10時(shí),如圖2(a)插圖所示,反饋棘輪的輸運(yùn)會(huì)出現(xiàn)極大值.這一現(xiàn)象表明較弱的耦合強(qiáng)度能使脈沖棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng).這一結(jié)論與熵壘中活性布朗粒子的輸運(yùn)行為有類(lèi)似的結(jié)果[37,38],但產(chǎn)生機(jī)理并不完全相同.當(dāng)耦合強(qiáng)度繼續(xù)增加,發(fā)現(xiàn)不同負(fù)載λ作用下脈沖棘輪的?Vcm?都迅速減小,說(shuō)明強(qiáng)耦合作用將抑制脈沖棘輪的定向輸運(yùn).然而,當(dāng)k＞100后,研究發(fā)現(xiàn)隨著負(fù)載的增加,耦合粒子的平均速度會(huì)減小并趨于穩(wěn)定,且當(dāng)λ＞0.001后,?Vcm?＜0.說(shuō)明較大的負(fù)載作用將會(huì)拖動(dòng)粒子,從而使反饋脈沖棘輪產(chǎn)生反向運(yùn)動(dòng).

為了進(jìn)一步研究耦合粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步討論了不同負(fù)載作用下耦合強(qiáng)度k對(duì)反饋脈沖棘輪擴(kuò)散的影響,如圖2(b)所示.研究結(jié)果表明,當(dāng)k＜1時(shí),不同負(fù)載λ作用下耦合粒子的平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi均緩慢增加,并會(huì)產(chǎn)生極大值,如圖2(b)插圖所示.說(shuō)明弱耦合作用會(huì)促進(jìn)耦合粒子的自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).然而,當(dāng)k＞1后,不同負(fù)載作用下耦合粒子的平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi均迅速減小,且逐漸趨于穩(wěn)定值,說(shuō)明較大的耦合強(qiáng)度將抑制耦合粒子的自由擴(kuò)散.綜上所述,對(duì)于反饋脈沖棘輪來(lái)說(shuō),為了獲得較強(qiáng)的定向輸運(yùn),選取合適的相互作用和負(fù)載是十分必要的.

3.2 反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率

3.2.1 自由長(zhǎng)度b的影響

圖1(a)的研究結(jié)果表明,自由長(zhǎng)度能夠增強(qiáng)棘輪的定向輸運(yùn),因此,本文進(jìn)一步研究了反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率隨自由長(zhǎng)度b的變化關(guān)系,如圖3所示.研究發(fā)現(xiàn),不同的耦合強(qiáng)度下,脈沖棘輪效率隨自由長(zhǎng)度b的變化仍呈現(xiàn)周期性.在一個(gè)演化周期內(nèi),存在合適的b值使耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率達(dá)到最大.根據(jù)能量轉(zhuǎn)化效率的定義(10)式可知,在一定條件下η和?Vcm?的變化呈類(lèi)似的正比關(guān)系.因此當(dāng)脈沖棘輪的定向輸運(yùn)較強(qiáng),如b=1.0時(shí),耦合粒子拖動(dòng)負(fù)載做功的能力也相對(duì)較大.說(shuō)明合適的彈簧自由長(zhǎng)度能夠促進(jìn)反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.同理可分析,在一個(gè)演化周期內(nèi),當(dāng)0.75＜b＜1.0時(shí),隨耦合強(qiáng)度的增加,脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率也隨之增強(qiáng).說(shuō)明一定條件下合適的耦合強(qiáng)度也能促進(jìn)反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化.此外,圖1(a)的研究結(jié)果表明,在一個(gè)演化周期內(nèi),自由長(zhǎng)度為某一合適值時(shí),如b=0.5,強(qiáng)耦合作用會(huì)使耦合粒子呈反向運(yùn)動(dòng).此時(shí)由(10)式計(jì)算得到的效率在一定自由長(zhǎng)度范圍內(nèi)為負(fù),表明在此區(qū)間研究反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率沒(méi)有實(shí)際意義.

圖3 能量轉(zhuǎn)化效率η隨自由長(zhǎng)度b的變化曲線,其中φ=π/5,C=3.0Fig.3.The energy conversion fiiciency η varying with the free length b,where φ = π/5,C=3.0.

3.2.2 耦合強(qiáng)度k的影響

為了更深入地了解耦合強(qiáng)度對(duì)棘輪輸運(yùn)性能的影響,本文進(jìn)一步研究了粒子能量轉(zhuǎn)化效率隨耦合強(qiáng)度k的變化關(guān)系.然而圖2(a)的研究結(jié)果表明,強(qiáng)耦合作用下耦合粒子的?Vcm?＜0,此時(shí)研究反饋棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率沒(méi)有意義.因此在不影響分析的前提下都取?Vcm?＞0時(shí)的耦合強(qiáng)度范圍進(jìn)行研究,結(jié)果如圖4(a)所示.研究表明,在一定負(fù)載條件下,如λ＞0.001時(shí),耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率都存在極大值；以λ=0.05為例,結(jié)果如圖4(a)插圖所示.說(shuō)明合適的耦合強(qiáng)度能夠促進(jìn)脈沖棘輪的定向輸運(yùn)效率.此外,研究還發(fā)現(xiàn),在一定耦合強(qiáng)度下,隨著負(fù)載λ的增加,耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率也會(huì)增強(qiáng).為了更深入地了解負(fù)載對(duì)輸運(yùn)效率的影響,研究了有用功W、輸入能Ein及能量轉(zhuǎn)化效率η隨負(fù)載的變化關(guān)系,如圖4(b)所示.研究發(fā)現(xiàn),在一定條件下,隨著負(fù)載λ的增加,反饋棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率呈單調(diào)變化關(guān)系.這是由于隨著λ的增加,耦合粒子拖動(dòng)負(fù)載所做的有用功W逐漸增加,而此時(shí)反饋脈沖棘輪獲得的輸入能Ein反而減小.因此,由(10)式的定義可得在一定耦合強(qiáng)度下,反饋棘輪的效率隨負(fù)載是增加的.說(shuō)明一定條件下負(fù)載作用也能增強(qiáng)反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.此外,當(dāng)負(fù)載較小時(shí),如λ=0.001,不同耦合強(qiáng)度下粒子的能量轉(zhuǎn)化效率為一個(gè)非零有限值,說(shuō)明較小的負(fù)載作用很難促進(jìn)反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn)效率.因此,為了促進(jìn)脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化,實(shí)驗(yàn)上可以選擇合適的耦合作用及負(fù)載能夠使脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率達(dá)到最大.

圖4 (a)能量轉(zhuǎn)化效率η隨耦合強(qiáng)度k的變化曲線,其中φ=π/5,C=3.0,b=0.5；(b)有用功W、輸入能Ein、能量轉(zhuǎn)化效率η隨負(fù)載λ的變化曲線,其中k=1.0,φ=π/5,C=3.0,b=0.5Fig.4.The curves of(a)the energy conversion fiiciency η varying with the strength of coupling k,where φ = π/5,C=3.0,b=0.5；the curves of(b)the useful work W,the input energy Einand the energy conversion fiiciency η varying with the load λ,where k=1.0,φ=π/5,C=3.0,b=0.5.

3.3 反饋脈沖棘輪的流反轉(zhuǎn)

3.3.1 脈沖相位θ的影響

上述研究表明,自由長(zhǎng)度及耦合強(qiáng)度都能增強(qiáng)反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn).為了更深入地理解脈沖棘輪的輸運(yùn)行為,本文研究了不同自由長(zhǎng)度下耦合粒子質(zhì)心的平均速度隨脈沖相位的變化關(guān)系,如圖5(a)所示.由于棘輪受到的反饋脈沖作用g1(t)具有周期性,因此耦合粒子的定向輸運(yùn)行為隨脈沖相位φ的變化仍將呈現(xiàn)周期性.此外,在一個(gè)脈沖周期作用下,如b=1.5時(shí),當(dāng)φa＜φ＜φm時(shí),隨著相位φ的增加,耦合粒子質(zhì)心的平均速度會(huì)逐漸減小,且在φ=φm時(shí)達(dá)到負(fù)向最大.當(dāng)φm＜φ＜φn時(shí),隨著相位φ的繼續(xù)增加,反饋棘輪的輸運(yùn)速度會(huì)反向減小,且在φ=φn時(shí)達(dá)到了正向最大.為了分析脈沖棘輪的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象,本文詳細(xì)研究了不同相位下耦合粒子質(zhì)心位移隨時(shí)間t的演化行為,如圖5(b)所示.以b=1.5為例,當(dāng)脈沖相位φ=π時(shí),耦合粒子質(zhì)心位移?xcm?的總體演化趨勢(shì)是減小的,平均而言耦合粒子的輸運(yùn)速度為負(fù).因此隨著脈沖相位的增加,反饋棘輪的定向輸運(yùn)會(huì)呈反向運(yùn)動(dòng).同時(shí),圖5(a)所示的概率流在φ=φm處出現(xiàn)極小值,說(shuō)明合適的脈沖相位能夠使反饋棘輪的反向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng).然而,當(dāng)φ＞φm時(shí),發(fā)現(xiàn)耦合粒子的運(yùn)動(dòng)會(huì)從負(fù)向變?yōu)檎?說(shuō)明在脈沖作用的一個(gè)周期內(nèi)反饋棘輪產(chǎn)生了第二次的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.對(duì)于此時(shí)的流反轉(zhuǎn)仍可用圖5(b)進(jìn)行類(lèi)似的討論.例如當(dāng)φ=2π時(shí),圖5(b)中耦合粒子質(zhì)心位移的總體演化趨勢(shì)隨時(shí)間變化是上升的,所以隨著脈沖相位的增加,如φ＞φm后脈沖棘輪的輸運(yùn)會(huì)呈現(xiàn)第二次的流反轉(zhuǎn).隨著脈沖相位的繼續(xù)增加,耦合粒子的速度將達(dá)到正向最大,如φ=φn.此時(shí)說(shuō)明合適的脈沖相位也能使反饋棘輪的正向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng).此外,研究還發(fā)現(xiàn)對(duì)于一定的脈沖相位反饋棘輪的輸運(yùn)不是自由長(zhǎng)度b的單調(diào)函數(shù),這一結(jié)果與圖1(a)的研究結(jié)論一致.因此通過(guò)選擇合適的脈沖相位能夠?qū)ι镝t(yī)學(xué)上粒子分離、藥物投放等相關(guān)輸運(yùn)過(guò)程提供一定的理論指導(dǎo).

為了更深入地理解反轉(zhuǎn)輸運(yùn)時(shí)耦合粒子的擴(kuò)散行為,圖5(c)進(jìn)一步研究了不同自由長(zhǎng)度下耦合粒子的平均有效擴(kuò)散系數(shù)隨脈沖相位φ的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn):粒子的平均有效擴(kuò)散系數(shù)隨脈沖相位φ的變化也呈周期性；在一個(gè)脈沖周期內(nèi),存在合適的相位φ使耦合粒子的Dfi獲得兩個(gè)極小值.說(shuō)明合適的脈沖相位能夠有效抑制耦合粒子的自由擴(kuò)散,并在一定程度上促進(jìn)了脈沖棘輪的輸運(yùn).此外,對(duì)于一定的脈沖相位,隨著b的增加,脈沖棘輪的平均有效擴(kuò)散系數(shù)不是單調(diào)的.說(shuō)明一定條件下,選擇合適的自由長(zhǎng)度也能夠抑制脈沖棘輪的擴(kuò)散,所得結(jié)論與圖1(b)的研究結(jié)果一致.

圖5 (a)質(zhì)心平均速度?Vcm?隨脈沖相位φ的變化曲線,其中k=10.0,C=2.0,λ=0.12；(b)質(zhì)心平均位移?Xcm?隨時(shí)間t的變化曲線,其中k=10.0,C=2.0,λ=0.12；(c)平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi隨脈沖相位φ的變化曲線,其中k=10.0,C=2.0,λ=0.12Fig.5.The curves of(a)the center-of-mass velocity varying with the phase difference between pulsations of two particles,where k=10.0,C=2.0,λ=0.12；the curves of(b)of center-of-mass displacement varying with the time t,where k=10.0,C=2.0,λ=0.12；the curves of(c)the average effective diffusion cofiicient Dfivarying with the phase difference between pulsations of two particles,where k=10.0,C=2.0,λ=0.12.

4 結(jié) 論

本文研究了負(fù)載拖動(dòng)下相互作用布朗粒子的定向輸運(yùn)行為.同時(shí),耦合棘輪還將受到時(shí)變的反饋脈沖作用.本文詳細(xì)討論了彈簧自由長(zhǎng)度、耦合強(qiáng)度及脈沖相位對(duì)耦合粒子質(zhì)心的平均速度、平均有效擴(kuò)散系數(shù)Dfi以及粒子能量轉(zhuǎn)化效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),一定自由長(zhǎng)度及耦合強(qiáng)度能夠促進(jìn)反饋脈沖棘輪的定向輸運(yùn),并能提高耦合粒子拖動(dòng)負(fù)載時(shí)的能量轉(zhuǎn)化效率.發(fā)現(xiàn)一定的脈沖作用能夠誘導(dǎo)反饋棘輪在一個(gè)演化周期內(nèi)產(chǎn)生兩次流反轉(zhuǎn).此外,通過(guò)選擇合適的脈沖相位能夠有效抑制耦合粒子的自由擴(kuò)散,從而一定程度上促進(jìn)了脈沖棘輪的輸運(yùn).研究還發(fā)現(xiàn),合適的負(fù)載作用也能提高反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.本文所得結(jié)論不僅能夠應(yīng)用于粒子的篩選、分離及提高粒子輸運(yùn)效率等方面,也對(duì)生物醫(yī)學(xué)上藥物投放等相關(guān)納米量級(jí)輸運(yùn)過(guò)程有一定的啟發(fā).