延明月 張旭 劉晨昊 黃仁忠 高天附? 鄭志剛

1)(沈陽師范大學物理科學與技術(shù)學院,沈陽 110034)

2)(華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)

(2018年5月31日收到；2018年7月11日收到修改稿)

1 引 言

生物分子馬達是將化學能轉(zhuǎn)化為機械能的一大類酶蛋白生物分子,在細胞內(nèi)的物質(zhì)輸運過程中起著非常重要的作用[1].為了深入了解分子馬達的動力學機理,人們提出了雙溫棘輪[2]、反饋控制棘輪[3],hand-over-hand棘輪[4]等大量的布朗棘輪模型[5?8].通過對不同類型棘輪的研究,不僅能深入地理解布朗粒子的定向輸運機理,而且還有助于分析生物醫(yī)學上藥物投放等輸運過程[9,10].同時,也可為醫(yī)療上如何提高藥物精準投放及藥物的有效利用率等提供理論指導[11?14].

目前,關(guān)于棘輪定向輸運的研究已引起人們的廣泛興趣[15?18].如Dinis和Quintero[19]建立了過阻尼布朗棘輪模型,研究發(fā)現(xiàn)合適的外力振幅可以使粒子的定向輸運達到最強.同時,Wang和Bao[20]建立了二維搖擺棘輪,結(jié)果表明,耦合粒子間的相互作用與搖擺驅(qū)動之間的協(xié)同作用能促進粒子的定向輸運.此外,Cubero和Renzoni[21]也對欠阻尼棘輪的輸運問題進行了討論,發(fā)現(xiàn)一定的驅(qū)動相位能夠誘導棘輪的流反轉(zhuǎn).通過對不同類型棘輪的研究,不僅能使人們理解棘輪的定向輸運行為,而且對于分析細胞內(nèi)分子馬達拖動負載時的能量轉(zhuǎn)化具有一定的實驗啟發(fā).

實驗研究表明,細胞內(nèi)大多數(shù)的生物分子馬達都是拖動負載進行定向步進的酶蛋白生物大分子,其拖動負載做功的效率普遍都非常高,如旋轉(zhuǎn)ATP合成酶.舒咬根等[22]研究發(fā)現(xiàn),野生型驅(qū)動馬達在一個力學化學耦合循環(huán)作用中水解一個ATP,其能量利用率高達70%[23].最新的研究表明,驅(qū)動馬達只有在小負荷時水解一個ATP并移動一步,而在大負荷時移動一步需要水解多個ATP[24].然而,對于無偏置力和負載作用下布朗粒子的輸運效率問題,Nutku和Aydiner[25]的研究結(jié)果表明粒子對棘輪系統(tǒng)輸入能的利用僅為2‰左右.此外,文獻[26]對熱機效率進行討論,發(fā)現(xiàn)布朗熱機能夠達到的最大效率僅為1%左右.通過對比上述實驗結(jié)果與理論分析發(fā)現(xiàn),棘輪模型的效率與實驗上測得的馬達效率相比仍有較大差距.因此,如何從理論上提高不同類型馬達拖動負載做功時的效率問題至今仍是非常重要的研究課題.此外,Delacruz等[27]的研究表明,大多數(shù)的分子馬達都是以集體形式向前步進,其每跨一步水解一個ATP.由于馬達頭部與微管蛋白的結(jié)合會使蛋白螺旋分離,從而導致它們的催化周期處于不同的相位上.因此,相位差引起的脈沖作用對于細胞內(nèi)生物分子馬達的定向運動乃至反轉(zhuǎn)都將起至關(guān)重要的作用[28].基于這一實驗結(jié)果,文獻[29]建立了相應的反饋棘輪模型,并研究了自由長度等因素對棘輪定向輸運的影響.然而對于該耦合馬達在細胞環(huán)境中拖動負載做功時的能量轉(zhuǎn)化問題,仍不十分清楚.因此,本文在上述研究的基礎(chǔ)上進一步分析反饋脈沖棘輪的定向輸運,詳細討論耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率問題.

為了全面了解反饋脈沖棘輪的輸運性能,本文研究了耦合馬達拖動負載時的定向輸運以及能量轉(zhuǎn)化效率.研究發(fā)現(xiàn),處于一定的脈沖相位下,耦合粒子拖動負載的運動方向會發(fā)生反轉(zhuǎn),且存在合適的脈沖相位能使棘輪的定向輸運達到最強；一定的耦合強度以及合適的自由長度也能使脈沖棘輪的定向輸運達到最強,從而使耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率達到最大.本文所得結(jié)果可為人工納米器件的優(yōu)化設(shè)計提供新思路,并為實現(xiàn)不同粒子的篩選提供理論基礎(chǔ)[30,31].

2 反饋脈沖棘輪

本文主要研究耦合布朗馬達拖動負載時的運動情況,同時馬達還將受到無偏外力及熱噪聲的作用,其動力學行為可由無量綱化的過阻尼朗之萬方程描述[32,33]:

其中t為時間；兩個耦合布朗粒子的位置分別為x1(t)和x2(t)；γ為介質(zhì)的阻尼系數(shù)；λ為負載；方程為粒子受到棘輪勢的作用,V(x)為周期外勢表示為

其中L0為棘輪的周期.由于生物體內(nèi)分子馬達在ATP水解過程中受到環(huán)境的影響,從而導致耦合馬達的催化周期處于不同的相位.因此,理論上我們可采用反饋調(diào)制g1,2(t)來表示這一相互作用[29],其具體形式為:

因此,方程(1),(2)表達的是一種反饋脈沖棘輪.此外,U(x1,x2)為兩個耦合布朗粒子的相互作用勢,具有如下關(guān)系:

其中k為耦合強度,b為彈簧的自然長度.脈沖棘輪受到的外力F(t),本文采用的是周期外力,其表述為

上式中C為周期外力的振幅,τ為外力作用周期.此外,ξ1(t)和ξ2(t)為高斯白噪聲,且滿足如下統(tǒng)計特征:

其中G為噪聲強度.

為了研究反饋脈沖棘輪的定向輸運,本文采用耦合粒子質(zhì)心的平均速度來描述棘輪的輸運情況,表述如下[34]:

其中,?.?表示系綜平均.由于布朗粒子會產(chǎn)生自由擴散現(xiàn)象,因此利用平均有效擴散系數(shù)Dfi來研究耦合布朗粒子的擴散,表示如下[35]:

式中T為耦合粒子的演化時間.對于反饋棘輪來說,僅知道?Vcm?和Dfi還不足以對耦合粒子的輸運性能進行全面了解,因此本文進一步對脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)換效率η做了詳細討論,具體表示如下[36]:

其中?Vi?為粒子的平均速度.(10)式表明脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率為一段時間內(nèi)耦合粒子拖動負載所做的有用功W與周期外力輸入到反饋棘輪的總能量Ein之比.

本文采用龍格-庫塔算法對方程(1)和(2)進行數(shù)值計算,主要研究耦合粒子拖動負載時的輸運性能隨系統(tǒng)各參量的影響.為了得到穩(wěn)定的系綜平均值,本文模擬了5×103條軌道,每個軌道演化了10個周期,且步長取h=1×10?3.文中所有物理量采用無量綱化參量,無特殊說明參數(shù)取L0=1.0,γ=1.0,G=0.4,ω =0.8,τ=10.

3 結(jié)果與討論

3.1 反饋脈沖棘輪的定向輸運

3.1.1 耦合自由長度b的影響

為了研究脈沖棘輪的定向輸運,本文研究了不同耦合強度k下粒子質(zhì)心的平均速度隨耦合長度b的變化關(guān)系,如圖1(a)所示.研究結(jié)果表明,無耦合情況下,即k=0時布朗粒子的質(zhì)心平均速度隨自由長度的變化趨于某一恒定值.說明無耦合情況下自由長度對兩個自由粒子的平均速度沒有影響.k=0時,隨著自由長度b的增加,反饋脈沖棘輪的質(zhì)心平均速度呈周期性變化.研究發(fā)現(xiàn),在每個演化周期內(nèi)幾率流都會出現(xiàn)極值.當b=1.0時,在一個演化周期內(nèi)粒子的自由長度最長,此時粒子間的相互作用最弱.因此耦合粒子容易跨越勢壘形成定向運動,從而使反饋棘輪的定向輸運達到最強.類似的分析可知,在每個演化周期內(nèi)脈沖棘輪也會存在某一自由長度b使耦合粒子質(zhì)心的平均速度達到最小.這一現(xiàn)象表明,由于耦合自由長度與棘輪勢場空間周期的競爭關(guān)系,使粒子處于勢阱中不易跨越勢壘,因此反饋棘輪很難形成定向輸運.更有趣的是,對于一定的自由長度隨著耦合強度k的增加,脈沖棘輪的平均速度反而減小.特別是當耦合粒子的相互作用較強時,如k＞50后反饋棘輪的輸運從正向變?yōu)樨撓?說明強耦合作用下反饋脈沖棘輪能夠產(chǎn)生流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.關(guān)于耦合強度對粒子定向輸運的影響將在下文進行深入討論.

圖1 (a)質(zhì)心平均速度?Vcm?,(b)平均有效擴散系數(shù)Dfi隨自由長度b的變化曲線,其中C=3.0,λ=0.12,φ=π/5Fig.1.The curves of(a)the center-of-mass velocity?Vcm?,(b)the average effective diffusion cofiicient Dfivarying with the free length b,where C=3.0,λ=0.12,φ=π/5.

在噪聲背景下,耦合粒子會發(fā)生自由擴散運動.本文進一步研究了粒子的平均有效擴散系數(shù)Dfi隨自由長度的變化關(guān)系,如圖1(b)所示.研究發(fā)現(xiàn),無耦合情況下,即k=0時,布朗粒子的平均有效擴散系數(shù)Dfi隨自由長度的變化是在某一恒定值附近變化.即此時兩個粒子是在做自由擴散運動.k=0時,耦合布朗粒子平均有效擴散系數(shù)的變化同粒子質(zhì)心平均速度的變化有類似規(guī)律,隨自由長度b的增加,Dfi也呈現(xiàn)周期性變化.在一個演化周期內(nèi),如b=1.0時,粒子間的自由長度最長,此時粒子更容易做自由擴散,所以耦合粒子的擴散系數(shù)Dfi也相對較大.也就是說在一定條件下自由長度能使耦合粒子達到較強的擴散.然而,在演化周期內(nèi)自由長度為某一合適值,如b=0.5時,從圖1(a)的分析可得此時脈沖棘輪的平均速度較小,也就是說耦合粒子位置的變化較慢.根據(jù)(9)式不難發(fā)現(xiàn),此時耦合粒子位置的漲落也相對較小,所以脈沖棘輪的自由擴散會較弱.說明一定條件下自由長度將會抑制耦合粒子的擴散.研究還發(fā)現(xiàn),一定b的情況下耦合強度k=500比k=15時的擴散系數(shù)更小.這是因為k較強,兩個粒子的相互作用可看成一個硬桿,從而導致耦合粒子的協(xié)調(diào)性大大降低,因而耦合粒子更不容易產(chǎn)生自由擴散運動.然而,當k較大時,如k=50和k=500時,粒子的自由擴散系數(shù)趨于一致,下文將詳細討論耦合強度對脈沖棘輪自由擴散的影響.

3.1.2 耦合強度k的影響

圖2 (a)質(zhì)心平均速度?Vcm?,(b)平均有效擴散系數(shù)Dfi隨耦合強度k的變化曲線,其中b=0.5,C=3.0,φ=π/5Fig.2.The curves of(a)the center-of-mass velocity?Vcm?,(b)the average effective diffusion cofiicient Dfivarying with the strength of coupling k,where b=0.5,C=3.0,φ=π/5.

上述研究表明,耦合強度對脈沖棘輪的輸運有一定影響.因此,本文進一步研究了不同負載λ作用下粒子質(zhì)心的平均速度隨耦合強度k的變化關(guān)系,如圖2(a)所示.研究結(jié)果表明,k→ 0時,即弱耦合條件下反饋脈沖棘輪的定向輸運相對較弱.以λ=0.05為例,研究發(fā)現(xiàn),隨著k的增加且k＜10時,如圖2(a)插圖所示,反饋棘輪的輸運會出現(xiàn)極大值.這一現(xiàn)象表明較弱的耦合強度能使脈沖棘輪的定向輸運達到最強.這一結(jié)論與熵壘中活性布朗粒子的輸運行為有類似的結(jié)果[37,38],但產(chǎn)生機理并不完全相同.當耦合強度繼續(xù)增加,發(fā)現(xiàn)不同負載λ作用下脈沖棘輪的?Vcm?都迅速減小,說明強耦合作用將抑制脈沖棘輪的定向輸運.然而,當k＞100后,研究發(fā)現(xiàn)隨著負載的增加,耦合粒子的平均速度會減小并趨于穩(wěn)定,且當λ＞0.001后,?Vcm?＜0.說明較大的負載作用將會拖動粒子,從而使反饋脈沖棘輪產(chǎn)生反向運動.

為了進一步研究耦合粒子的擴散運動,進一步討論了不同負載作用下耦合強度k對反饋脈沖棘輪擴散的影響,如圖2(b)所示.研究結(jié)果表明,當k＜1時,不同負載λ作用下耦合粒子的平均有效擴散系數(shù)Dfi均緩慢增加,并會產(chǎn)生極大值,如圖2(b)插圖所示.說明弱耦合作用會促進耦合粒子的自由擴散運動.然而,當k＞1后,不同負載作用下耦合粒子的平均有效擴散系數(shù)Dfi均迅速減小,且逐漸趨于穩(wěn)定值,說明較大的耦合強度將抑制耦合粒子的自由擴散.綜上所述,對于反饋脈沖棘輪來說,為了獲得較強的定向輸運,選取合適的相互作用和負載是十分必要的.

3.2 反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率

3.2.1 自由長度b的影響

圖1(a)的研究結(jié)果表明,自由長度能夠增強棘輪的定向輸運,因此,本文進一步研究了反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率隨自由長度b的變化關(guān)系,如圖3所示.研究發(fā)現(xiàn),不同的耦合強度下,脈沖棘輪效率隨自由長度b的變化仍呈現(xiàn)周期性.在一個演化周期內(nèi),存在合適的b值使耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率達到最大.根據(jù)能量轉(zhuǎn)化效率的定義(10)式可知,在一定條件下η和?Vcm?的變化呈類似的正比關(guān)系.因此當脈沖棘輪的定向輸運較強,如b=1.0時,耦合粒子拖動負載做功的能力也相對較大.說明合適的彈簧自由長度能夠促進反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.同理可分析,在一個演化周期內(nèi),當0.75＜b＜1.0時,隨耦合強度的增加,脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率也隨之增強.說明一定條件下合適的耦合強度也能促進反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化.此外,圖1(a)的研究結(jié)果表明,在一個演化周期內(nèi),自由長度為某一合適值時,如b=0.5,強耦合作用會使耦合粒子呈反向運動.此時由(10)式計算得到的效率在一定自由長度范圍內(nèi)為負,表明在此區(qū)間研究反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率沒有實際意義.

圖3 能量轉(zhuǎn)化效率η隨自由長度b的變化曲線,其中φ=π/5,C=3.0Fig.3.The energy conversion fiiciency η varying with the free length b,where φ = π/5,C=3.0.

3.2.2 耦合強度k的影響

為了更深入地了解耦合強度對棘輪輸運性能的影響,本文進一步研究了粒子能量轉(zhuǎn)化效率隨耦合強度k的變化關(guān)系.然而圖2(a)的研究結(jié)果表明,強耦合作用下耦合粒子的?Vcm?＜0,此時研究反饋棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率沒有意義.因此在不影響分析的前提下都取?Vcm?＞0時的耦合強度范圍進行研究,結(jié)果如圖4(a)所示.研究表明,在一定負載條件下,如λ＞0.001時,耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率都存在極大值；以λ=0.05為例,結(jié)果如圖4(a)插圖所示.說明合適的耦合強度能夠促進脈沖棘輪的定向輸運效率.此外,研究還發(fā)現(xiàn),在一定耦合強度下,隨著負載λ的增加,耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率也會增強.為了更深入地了解負載對輸運效率的影響,研究了有用功W、輸入能Ein及能量轉(zhuǎn)化效率η隨負載的變化關(guān)系,如圖4(b)所示.研究發(fā)現(xiàn),在一定條件下,隨著負載λ的增加,反饋棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率呈單調(diào)變化關(guān)系.這是由于隨著λ的增加,耦合粒子拖動負載所做的有用功W逐漸增加,而此時反饋脈沖棘輪獲得的輸入能Ein反而減小.因此,由(10)式的定義可得在一定耦合強度下,反饋棘輪的效率隨負載是增加的.說明一定條件下負載作用也能增強反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.此外,當負載較小時,如λ=0.001,不同耦合強度下粒子的能量轉(zhuǎn)化效率為一個非零有限值,說明較小的負載作用很難促進反饋脈沖棘輪的定向輸運效率.因此,為了促進脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化,實驗上可以選擇合適的耦合作用及負載能夠使脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率達到最大.

圖4 (a)能量轉(zhuǎn)化效率η隨耦合強度k的變化曲線,其中φ=π/5,C=3.0,b=0.5；(b)有用功W、輸入能Ein、能量轉(zhuǎn)化效率η隨負載λ的變化曲線,其中k=1.0,φ=π/5,C=3.0,b=0.5Fig.4.The curves of(a)the energy conversion fiiciency η varying with the strength of coupling k,where φ = π/5,C=3.0,b=0.5；the curves of(b)the useful work W,the input energy Einand the energy conversion fiiciency η varying with the load λ,where k=1.0,φ=π/5,C=3.0,b=0.5.

3.3 反饋脈沖棘輪的流反轉(zhuǎn)

3.3.1 脈沖相位θ的影響

上述研究表明,自由長度及耦合強度都能增強反饋脈沖棘輪的定向輸運.為了更深入地理解脈沖棘輪的輸運行為,本文研究了不同自由長度下耦合粒子質(zhì)心的平均速度隨脈沖相位的變化關(guān)系,如圖5(a)所示.由于棘輪受到的反饋脈沖作用g1(t)具有周期性,因此耦合粒子的定向輸運行為隨脈沖相位φ的變化仍將呈現(xiàn)周期性.此外,在一個脈沖周期作用下,如b=1.5時,當φa＜φ＜φm時,隨著相位φ的增加,耦合粒子質(zhì)心的平均速度會逐漸減小,且在φ=φm時達到負向最大.當φm＜φ＜φn時,隨著相位φ的繼續(xù)增加,反饋棘輪的輸運速度會反向減小,且在φ=φn時達到了正向最大.為了分析脈沖棘輪的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象,本文詳細研究了不同相位下耦合粒子質(zhì)心位移隨時間t的演化行為,如圖5(b)所示.以b=1.5為例,當脈沖相位φ=π時,耦合粒子質(zhì)心位移?xcm?的總體演化趨勢是減小的,平均而言耦合粒子的輸運速度為負.因此隨著脈沖相位的增加,反饋棘輪的定向輸運會呈反向運動.同時,圖5(a)所示的概率流在φ=φm處出現(xiàn)極小值,說明合適的脈沖相位能夠使反饋棘輪的反向輸運達到最強.然而,當φ＞φm時,發(fā)現(xiàn)耦合粒子的運動會從負向變?yōu)檎?說明在脈沖作用的一個周期內(nèi)反饋棘輪產(chǎn)生了第二次的流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.對于此時的流反轉(zhuǎn)仍可用圖5(b)進行類似的討論.例如當φ=2π時,圖5(b)中耦合粒子質(zhì)心位移的總體演化趨勢隨時間變化是上升的,所以隨著脈沖相位的增加,如φ＞φm后脈沖棘輪的輸運會呈現(xiàn)第二次的流反轉(zhuǎn).隨著脈沖相位的繼續(xù)增加,耦合粒子的速度將達到正向最大,如φ=φn.此時說明合適的脈沖相位也能使反饋棘輪的正向輸運達到最強.此外,研究還發(fā)現(xiàn)對于一定的脈沖相位反饋棘輪的輸運不是自由長度b的單調(diào)函數(shù),這一結(jié)果與圖1(a)的研究結(jié)論一致.因此通過選擇合適的脈沖相位能夠?qū)ι镝t(yī)學上粒子分離、藥物投放等相關(guān)輸運過程提供一定的理論指導.

為了更深入地理解反轉(zhuǎn)輸運時耦合粒子的擴散行為,圖5(c)進一步研究了不同自由長度下耦合粒子的平均有效擴散系數(shù)隨脈沖相位φ的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn):粒子的平均有效擴散系數(shù)隨脈沖相位φ的變化也呈周期性；在一個脈沖周期內(nèi),存在合適的相位φ使耦合粒子的Dfi獲得兩個極小值.說明合適的脈沖相位能夠有效抑制耦合粒子的自由擴散,并在一定程度上促進了脈沖棘輪的輸運.此外,對于一定的脈沖相位,隨著b的增加,脈沖棘輪的平均有效擴散系數(shù)不是單調(diào)的.說明一定條件下,選擇合適的自由長度也能夠抑制脈沖棘輪的擴散,所得結(jié)論與圖1(b)的研究結(jié)果一致.

圖5 (a)質(zhì)心平均速度?Vcm?隨脈沖相位φ的變化曲線,其中k=10.0,C=2.0,λ=0.12；(b)質(zhì)心平均位移?Xcm?隨時間t的變化曲線,其中k=10.0,C=2.0,λ=0.12；(c)平均有效擴散系數(shù)Dfi隨脈沖相位φ的變化曲線,其中k=10.0,C=2.0,λ=0.12Fig.5.The curves of(a)the center-of-mass velocity varying with the phase difference between pulsations of two particles,where k=10.0,C=2.0,λ=0.12；the curves of(b)of center-of-mass displacement varying with the time t,where k=10.0,C=2.0,λ=0.12；the curves of(c)the average effective diffusion cofiicient Dfivarying with the phase difference between pulsations of two particles,where k=10.0,C=2.0,λ=0.12.

4 結(jié) 論

本文研究了負載拖動下相互作用布朗粒子的定向輸運行為.同時,耦合棘輪還將受到時變的反饋脈沖作用.本文詳細討論了彈簧自由長度、耦合強度及脈沖相位對耦合粒子質(zhì)心的平均速度、平均有效擴散系數(shù)Dfi以及粒子能量轉(zhuǎn)化效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),一定自由長度及耦合強度能夠促進反饋脈沖棘輪的定向輸運,并能提高耦合粒子拖動負載時的能量轉(zhuǎn)化效率.發(fā)現(xiàn)一定的脈沖作用能夠誘導反饋棘輪在一個演化周期內(nèi)產(chǎn)生兩次流反轉(zhuǎn).此外,通過選擇合適的脈沖相位能夠有效抑制耦合粒子的自由擴散,從而一定程度上促進了脈沖棘輪的輸運.研究還發(fā)現(xiàn),合適的負載作用也能提高反饋脈沖棘輪的能量轉(zhuǎn)化效率.本文所得結(jié)論不僅能夠應用于粒子的篩選、分離及提高粒子輸運效率等方面,也對生物醫(yī)學上藥物投放等相關(guān)納米量級輸運過程有一定的啟發(fā).