■河南省鄭州市為民高中 黃一淼

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,蘊(yùn)含很多數(shù)學(xué)思想,這就需要同學(xué)們不斷地去總結(jié)、提煉,以便大家更好地掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識,提高同學(xué)們分析問題、解決問題的能力。

一、方程思想

等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式揭示的是首項(xiàng),公差（公比）,項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,應(yīng)用時要善于抓住已知量與未知量的關(guān)系,特別是根據(jù)與首項(xiàng)、公差（公比）的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)墓?建立方程組去解決問題,這是數(shù)列中最重要的思想方法之一。

例1 在等差數(shù)列{an}中,a6=10,S5=5,求a8。

解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d。

故a8=a6+2d=10+2×3=16。

二、函數(shù)思想

數(shù)列的通項(xiàng)an,前n項(xiàng)的和Sn都是n的函數(shù),若能運(yùn)用函數(shù)的方法和觀點(diǎn)去分析處理某些數(shù)列問題,會起到事半功倍的效果。

例2 已知數(shù)列{an},an=-2n+10。

（1）求前n項(xiàng)和Sn;

（2）當(dāng)n為何值時,Sn的值最大?

解：（1）因?yàn)閍n=-2n+10（an是n的一次函數(shù)）,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差d=-2。

因?yàn)閚∈N*,所以n=4或n=5時,Sn的值最大,最大值為20。

三、分類討論思想

數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式都是分類給出的,因此在應(yīng)用它們解題時要注意分類討論。

例3 已知數(shù)列{an},前n項(xiàng)和Sn=-n2+2,求an。

解：（1）n=1時a1=S1=1。

（2）n≥2時an=Sn-Sn-1=（-n2+2）-〔-（n-1）2+2〕=-2n+1。

四、化歸思想

非等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和常常要化歸轉(zhuǎn)換為等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,從而使問題獲得解決。