余龍飛，胡伍生

(東南大學(xué)交通學(xué)院測(cè)繪工程系,江蘇 南京 210096)

當(dāng)觀測(cè)全球?qū)Ш蕉ㄎ恍l(wèi)星獲得的衛(wèi)星信號(hào)穿越電離層，電離層中分布的電子會(huì)對(duì)電磁波傳輸產(chǎn)生影響，使得衛(wèi)星信號(hào)產(chǎn)生彎曲現(xiàn)象，這種現(xiàn)象使得觀測(cè)全球?qū)Ш叫l(wèi)星已成為探測(cè)電離層的主要手段之一[1-2]。利用觀測(cè)全球?qū)Ш蕉ㄎ恍l(wèi)星探測(cè)電離層，可以建立區(qū)域甚至全球的電離層電子總含量的三維甚至四維空間的電離層模型[3]。其中像素基電離層層析模型是一種三維空間的電離層模型[4]，主要是將待反演區(qū)域離散化為一系列的像素網(wǎng)格，利用衛(wèi)星信號(hào)射線在像素網(wǎng)格的投影矩陣，采用非迭代算法或迭代算法解算每個(gè)網(wǎng)格的電子密度，從而建立三維電子密度模型。由于計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，且計(jì)算結(jié)果精度較高，像素基電離層層析模型被廣泛地應(yīng)用于電離層電子密度的反演過(guò)程中[5-6]。

投影矩陣的獲取是像素基電離層反演的關(guān)鍵步驟，也是其解算電離層電子密度的前提。本文針對(duì)傳統(tǒng)方法在求解過(guò)程中的復(fù)雜性，以及不能得到唯一解的問(wèn)題，通過(guò)分析衛(wèi)星信號(hào)射線像素網(wǎng)格交點(diǎn)的向量關(guān)系，提出基于向量關(guān)系求解方法，不僅可降低解算的復(fù)雜程度，提高解求效率，更有利于編程數(shù)據(jù)處理。

1 傳統(tǒng)投影矩陣生成算法[7-8]

投影矩陣生成算法的最關(guān)鍵步驟是衛(wèi)星信號(hào)射線與三維像素的高度面、緯度面和經(jīng)度面的交點(diǎn)。傳統(tǒng)投影矩陣生成算法的交點(diǎn)計(jì)算如下：

如圖1所示，已知衛(wèi)星坐標(biāo)S(XS，YS，ZS)，測(cè)站坐標(biāo)G(XS,YS,ZS)，點(diǎn)P(x,y,z)是線段GS內(nèi)的任意一點(diǎn)，可知衛(wèi)星信號(hào)傳播路徑的直線方程為

(1)

圖1 交點(diǎn)示意圖

(1) 若高度面的高度為h，點(diǎn)Ph(xh,yh,zh)為高度面交點(diǎn)，則點(diǎn)Ph所在球面方程為

(2)

式中，R為地球半徑。將式(1)和式(2)聯(lián)立解算三元二次方程可獲得點(diǎn)Ph坐標(biāo)。

(2) 若緯度面的緯度為B，點(diǎn)Pb(xb,yb,zb)為緯度面交點(diǎn)，則點(diǎn)Pb所在圓錐面方程為

(3)

將式(1)和式(3)聯(lián)立解算三元二次方程可獲得點(diǎn)Pb坐標(biāo)。

(3) 若經(jīng)度面的經(jīng)度為L(zhǎng),點(diǎn)Pl(xl，yl，zl)為經(jīng)度面交點(diǎn)，則點(diǎn)Pl所在平面方程為

xltanL-yl=0

(4)

將式(1)和式(4)聯(lián)立解算三元一次方程可獲得點(diǎn)Pl坐標(biāo)。

傳統(tǒng)投影矩陣生成算法中，對(duì)于高度面交點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)衛(wèi)星信號(hào)射線與圓球面相交的關(guān)系必有兩個(gè)交點(diǎn)，即三元二次方程必有兩組解；對(duì)于緯度面交點(diǎn)解算，根據(jù)衛(wèi)星信號(hào)射線與圓錐面相交的關(guān)系必有兩個(gè)交點(diǎn)，即三元二次方程必有兩組解；對(duì)于經(jīng)度面交點(diǎn)解算，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)方程必可獲得兩組解，即有兩個(gè)交點(diǎn)。由于三元二次方程及正切函數(shù)性質(zhì)，解算結(jié)果都存在兩組解，還需要根據(jù)點(diǎn)必在線段GS內(nèi)剔除另一個(gè)無(wú)效解。這種交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算采用代數(shù)方法，存在不僅解算過(guò)程煩瑣復(fù)雜而且不能直接得到唯一解的問(wèn)題。

2 改進(jìn)的投影矩陣生成算法

針對(duì)傳統(tǒng)投影矩陣生成代數(shù)算法存在的問(wèn)題，改進(jìn)的投影矩陣生成算法采用向量方法，利用向量關(guān)系可以簡(jiǎn)單有效地獲得交點(diǎn)唯一解。已知衛(wèi)星坐標(biāo)S(XS，YS，ZS)、測(cè)站坐標(biāo)G(XS，YS，ZS)，點(diǎn)P(x，y，z)是線段GS內(nèi)的任意一點(diǎn)，由圖1可知

(5)

式中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；k為實(shí)數(shù)且0

(6)

式中，R為地球半徑。將式(6)獲得的kh代入式(5)可直接獲得點(diǎn)Ph坐標(biāo)。

圖2 高度面交點(diǎn)示意圖

(7)

(8)

圖4 經(jīng)度面交點(diǎn)示意圖

3 分析與試驗(yàn)

為了驗(yàn)證新投影矩陣生成算法的高效性，進(jìn)一步分析上述中向量方程。式(6)和式(7)簡(jiǎn)化為一元二次方程的形式為

ax2+bx+c=0

(9)

ax+b=0

(10)

采用實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證新投影矩陣生成算法的高效性和準(zhǔn)確性。本文選取待反演區(qū)域的經(jīng)緯度范圍為：30°—35°N、116°—122°E，高度范圍為100～1000 km。采用江蘇CORS在2010年11月19日05:00—05:15UT時(shí)段的10個(gè)GNSS觀測(cè)站接收GNSS信號(hào)，采樣間隔為30 s，在這一時(shí)段內(nèi)可用于電離層反演的有效衛(wèi)星信號(hào)射線為228個(gè)。選取三維像素的尺度為1°×1°×50 km，總共540個(gè)像素組成待反演區(qū)域，高度面有19個(gè)，緯度面有6個(gè)，經(jīng)度面有7個(gè)。衛(wèi)星信號(hào)射線與高度面交點(diǎn)有4332個(gè)，與緯度面交點(diǎn)有523個(gè)，與經(jīng)度面交點(diǎn)有895個(gè)。新投影矩陣生成算法需要計(jì)算5750次交點(diǎn)，傳統(tǒng)投影矩陣生成算法需要計(jì)算11 500次交點(diǎn)。新投影矩陣生成算法交點(diǎn)的計(jì)算次數(shù)僅是傳統(tǒng)投影矩陣生成算法的50%。除了計(jì)算交點(diǎn)之外，傳統(tǒng)投影矩陣生成算法還需要判斷11 500次這些交點(diǎn)是否在線段GS內(nèi)。

對(duì)比傳統(tǒng)投影矩陣生成算法，新投影矩陣生成算法在高度面和緯度面解算時(shí)，將三元二次方程簡(jiǎn)化為一元二次方程，降低了待求未知數(shù)的個(gè)數(shù)，從3個(gè)降低到1個(gè)，從而降低了解算難度，同時(shí)高度面交點(diǎn)獲得唯一解，而緯度面交點(diǎn)根據(jù)二次未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)直接解算唯一解，無(wú)需判斷解算結(jié)果是否在線段內(nèi)。在經(jīng)度面解算時(shí)，將三元一次方程簡(jiǎn)化為一元一次方程，僅有唯一解，無(wú)需判斷方程解所在象限。

4 結(jié) 語(yǔ)

傳統(tǒng)投影矩陣生成算法時(shí)，解算方程組都會(huì)獲得兩組解，存在一倍的冗余計(jì)算，判斷有效解嚴(yán)重影響了計(jì)算效率，而且解算過(guò)程煩瑣。新投影矩陣生成算法采用向量關(guān)系計(jì)算三維像素各個(gè)面的交點(diǎn)，算法簡(jiǎn)單易懂，減少了待求參數(shù)的個(gè)數(shù)，降低了解算難度，同時(shí)獲得唯一解。由于每次都能獲取唯一解，相對(duì)于傳統(tǒng)投影矩陣生成算法不存在冗余解，提高了一倍的效率，也沒(méi)有經(jīng)過(guò)判斷點(diǎn)位位置就能直接有效地獲得交點(diǎn)，也相對(duì)提高了計(jì)算效率。本文采用的實(shí)例也進(jìn)一步驗(yàn)證了新投影矩陣生成算法的高效性和準(zhǔn)確性，影矩陣生成效率得到大幅度的提升。