郝宇星，申 麟，李 揚

（中國運載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076）

0 引 言

空間故障或失效航天器、太空碎片、空間星體等在軌目標是重要的一類在軌服務(wù)對象，在進行對接、維修、抓捕、觀測等任務(wù)時，目標的翻滾給工作帶來很大的難度。與傳統(tǒng)的空間飛行器位姿跟蹤控制不同的是，在空間翻滾目標的捕獲任務(wù)中，由于目標的非合作性，無法獲得精確的位置姿態(tài)測量信息，如果直接對不精確的估計位姿進行跟蹤，勢必對航天器的跟蹤精度造成影響。其次，在空間翻滾目標抓捕的過程中，航天器與非合作目標之間保持相對超近距離運動，航天器與非合作目標間的相對位置和相對姿態(tài)互為耦合，使得空間操作的安全性受到威脅，姿態(tài)和軌道控制需要同時考慮，從而間接地對其控制系統(tǒng)提出更高的要求。近年來的相關(guān)研究都圍繞翻滾目標的特性與耦合控制來進行。劉宗明等[1]為空間翻滾目標相對姿態(tài)的精確測量，提出了基于數(shù)據(jù)庫的非合作目標檢測策略；郭永等[2]針對非合作的失控航天器，利用蔓葉線建立了避障模型，并使用滑?？刂品椒ㄟM行交會對接的姿軌耦合控制；劉歡等[4]針對空間碎片的抓捕問題，使用軌道根數(shù)法與C-W方程分別設(shè)計了繞飛軌道，但未考慮二者的姿態(tài)影響。本文將建立位姿一體化描述的相對動力學模型，并使用以對偶數(shù)為變量的雙環(huán)滑?？刂品椒ㄟM行相對空間翻滾目標的繞飛控制。

1 旋量、對偶四元數(shù)的表示和運算

三維剛體運動有3個平移自由度和3個旋轉(zhuǎn)自由度，因此可將六維空間的向量稱為一個旋量，映射一個三維剛體運動。幾何上用六維列向量表示，代數(shù)上可用對偶數(shù)表示，形式如下：

式中 ε為對偶單位，其性質(zhì)為0ε≠，20ε=；α，α′分別為主部和副部，或稱為實部和對偶部，在表示物理量時，主部表示平移相關(guān)的量，副部表示旋轉(zhuǎn)相關(guān)的量。對偶數(shù)在旋量幾何中表示旋量的運動，也可以表示坐標系的平移和旋轉(zhuǎn)。其形式為

式中 d為平移向量；Q為四元數(shù)。對偶四元數(shù)可看作主部與副部均為四元數(shù)的對偶數(shù)，矩陣運算中表示為八維列向量。

a）對偶四元數(shù)積。

式中 四元數(shù)積用·表示；下標：r為對偶四元數(shù)的主部，d為對偶四元數(shù)的副部。

四元數(shù)乘法的矩陣運算為

c）對偶互補算子。

d）對偶數(shù)叉乘用×表示，其矩陣運算為

2 航天器位姿耦合動力學模型

坐標原點位于地心iO，OiXi軸在赤道面內(nèi)指向春分點方向，iiOZ軸指向地球自轉(zhuǎn)角速度方向，iiOY軸與其余兩軸構(gòu)成右手正交坐標系。

坐標系定義：

坐標系原點位于航天器的質(zhì)心，3個坐標軸的方向分別與航天器的慣性主軸重合。追蹤航天器及其本體坐標系用P表示，目標航天器及其本體坐標系用C表示，慣性系用i表示，如圖1所示。

圖1 航天器在軌相對運動模型Fig.1 Spacecrafts’ Relative Motion Model

追蹤器P相對的對偶四元數(shù)為

目標器C相對慣性系i的對偶四元數(shù)為

式（8）、（9）表達了P，C坐標系與慣性系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并將式（8）、（9）對時間進行微分，得：

由四元數(shù)乘法性質(zhì)：

其中，q與p為四元數(shù)的矢量部分，可得：

以及：

式（13）與（14）即為追蹤器P與目標器C在各自本體坐標系下的運動方程。其中PP?ω與CC?ω同時包含了航天器的軌道與姿態(tài)運動信息。

為了描述追蹤器與目標器之間的相對運動，定義相對運動對偶四元數(shù)為

記追蹤器P相對目標器C的位置向量為PCR ，表示在C本體坐標系下即，有：

將式（15）展開得：

類似地，有：

式（18）的相對位置矢量表示在追蹤本體系中，便于計算控制力。

對式（17）兩邊微分，得：

定義：

為追蹤器P相對目標器C的速度對偶數(shù)在C的本體坐標系下的表示，則有：

對式（20）求導得：

在各自本體坐標系下，航天器P與C的動力學方程為

代入式（18），得到：

式（23）在目標器本體系下表示的航天器相對動力學方程。

3 相對翻滾目標繞飛的位姿耦合控制

3.1 航天器相對繞飛設(shè)計方法

以設(shè)計相對速度旋量為目標時，根據(jù)式（15），得：

由式（13）、式（15）得：

則：

在以繞飛軌跡為目標的任務(wù)中，根據(jù)式（15）得：

3.2 基于對偶數(shù)的雙環(huán)滑?？刂?/h3>

雙環(huán)滑模控制在飛行器控制領(lǐng)域，特別是四旋翼飛行器以及直升機姿態(tài)控制領(lǐng)域得到較多的應(yīng)用，具有實現(xiàn)簡單、與模型結(jié)合緊密的特點。本節(jié)在以對偶數(shù)為控制變量的條件下，采用雙環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計航天器控制器，使積分滑模來實現(xiàn)切換函數(shù)的設(shè)計。外環(huán)滑?？刂坡蕦崿F(xiàn)對位姿信息的跟蹤，外環(huán)控制器產(chǎn)生對偶速度指令，并傳遞給內(nèi)環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)則通過滑模控制率實現(xiàn)對指令的跟蹤。目標器與追蹤器采用同一動力學模型，翻滾目標的運動信息由模型解算并輸出到相對位姿計算模塊，由給定的繞飛條件得到追蹤器的位姿對偶四元數(shù)指令C?q。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Controller System Structure

a）外環(huán)滑?？刂?。

定義對偶四元數(shù)跟蹤指令偏差為

設(shè)計積分滑模面為

式中1k為增益，10k＞ ，通過選擇合適的1k可以使系統(tǒng)的跟蹤誤差在一個比較理想的滑模面上滑動至穩(wěn)定。

則：

對滑模面求導得：

設(shè)計對偶速度指令為

式中1ρ為常數(shù)，10ρ＞。取如下Lyapunov函數(shù)：

b）內(nèi)環(huán)滑?？刂?。

內(nèi)環(huán)積分滑模面取為

式中2k為增益，20k＞ 。

則：

設(shè)計內(nèi)環(huán)控制率為

取如下Lyapunov函數(shù)：

則：

即：

因此2V指數(shù)收斂，且當內(nèi)環(huán)收斂速度大于外環(huán)收斂速度時，總控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

傳統(tǒng)的滑模控制使用了符號函數(shù)sgn()s來保證狀態(tài)量在滑模面附近運動。當系統(tǒng)的軌跡到達切換面時，其速度是有限大，慣性使運動點穿越切換面，從而最終形成抖振，疊加在理想的滑動模態(tài)上。一種常見的解決辦法是使用飽和函數(shù)sat()s代替理想滑動模態(tài)中的符號函數(shù)sgn()s，即：

3.3 相對繞飛任務(wù)設(shè)計

任務(wù)對象為近地軌道運行的航天器，由于姿控系統(tǒng)失效在軌道上作翻滾運動[5～7]。因此，追蹤航天器當前任務(wù)為在較近的距離下對目標航天器進行目標本體系下的繞飛，保證姿態(tài)對準，為其他任務(wù)（交會對接）做準備[8～12]。具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 繞飛任務(wù)數(shù)據(jù)Tab.1 Flying Around Mission Data

繞飛目標航天器以美國1973年發(fā)射的天空實驗室（Skylab）為參考，作為美國的第1座空間站，在發(fā)射過程中曾因碰撞導致部分太陽帆板未能展開，美國隨后發(fā)射了維修航天器與之對接，解決了這一問題。對比近年來各國發(fā)射的載人飛船與貨運飛船，質(zhì)量均在10 t以上，考慮到未來大型航天器逐漸增多，以此類航天器作為研究對象具有應(yīng)用價值[13,14]。

失控大型航天器在進行翻滾過程中，姿態(tài)不斷變化，為保證接口對準，在進行相對繞飛時，相對姿態(tài)應(yīng)保持不變[15～17]。與此同時二者維持一定的繞飛距離，如圖3所示。本任務(wù)使用設(shè)計?PCq 的方法。

圖3 航天器相對位姿示意Fig.3 Space Crafts’ Relative Position

3.4 仿真校驗

校驗使用數(shù)學仿真。由于對偶數(shù)模型主部與對偶部相互作用，但數(shù)量級偏差很大（310級），屬于剛性系統(tǒng)，故微分方程解法使用 ODE15s法，取系統(tǒng)自動步長，可以獲得較快的計算速度。

目標航天器與追蹤航天器應(yīng)用相同的干擾模型，均為常值干擾加速度與周期性干擾力矩，不考慮J2項影響?？刂茀?shù)取圖4～7為追蹤航天器的對偶四元數(shù)與對偶速度跟蹤預定值的效果，可以看出：內(nèi)外環(huán)跟蹤誤差均在短時間內(nèi)收斂到零附近，在60 s的任務(wù)期間保持跟蹤預定信號效果良好。其中外環(huán)姿態(tài)四元數(shù)收斂時間在0.4 s左右，位置四元數(shù)收斂時間為0.8 s；內(nèi)環(huán)角速度收斂時間為0.2 s左右，內(nèi)環(huán)速度收斂時間為0.6 s。內(nèi)環(huán)的收斂速度比外環(huán)快0.2 s，在內(nèi)環(huán)快速收斂的條件下，保證了外環(huán)的快速收斂。

圖4 相對姿態(tài)四元數(shù)Fig.4 Relative Attitude Quaternion

圖5 相對位置四元數(shù)Fig.5 Relative Location Quaternion

圖6 虛擬控制角速度Fig.6 Virtual Control of Angular Velocity

圖7 虛擬控制線速度Fig.7 Virtual Control of Velocity

目標器與追蹤器在地心慣性系下的軌道運動，目標器沿圓軌道運行，追蹤器在圓軌道的基礎(chǔ)上作相對繞飛運動，如圖8所示。將兩航天器的位置矢量差，即相對位置矢量投影在地心慣性系中，如圖9所示，可看出軌跡為三維空間中周期性進動的圓弧，說明追蹤器在進行繞飛的同時受到了目標器的姿態(tài)進動影響。目標航天器的轉(zhuǎn)動可分為自旋與進動，如圖10所示，x方向的角速度保持在0.33 rad/s，章動在與Oyz平行的平面，幅度為0.3 rad/s，這樣的姿態(tài)變化一方面造成了追蹤航天器繞飛平面的變化，也使追蹤器不斷調(diào)整姿態(tài)來對準目標器。

圖8 目標器與追蹤器軌道運動Fig.8 Target and Chaser’s Orbital Motion

圖9 目標器與追蹤器相對位置矢量Fig.9 Target and Chaser’s Relative Position Vector

圖10 目標航天器角速度矢徑Fig.10 Target’s Palstance Vector Track

追蹤器控制加速度變化曲線如圖11所示。由圖11可知，追蹤器控制加速度在200～2000 m/s、角加速度在5000～50 000 rad/s2之間，說明大質(zhì)量、大慣性矩航天器在位姿的控制上需要更大的控制能力，對繞飛任務(wù)推力設(shè)備提出了較高的要求。

圖11 追蹤器控制加速度變化Fig.11 Chaser’s Controlling Acceleration

繞飛任務(wù)要求追蹤器與目標器保持10 km的距離，追蹤器距離保持偏差如圖12所示。由圖12可知，兩航天器預定距離的負向偏差最大為1 km，此時兩航天器距離9 km，屬于安全范圍，且在較長時間內(nèi)距離偏差保持在200 m以內(nèi)。

圖12 追蹤器距離保持偏差Fig.12 Target and Chaser’s Distance Deviation

4 結(jié) 論

本文針對空間翻滾目標的動力學問題，引入對偶四元數(shù)與旋量概念，建立位姿一體化的翻滾航天器的動力學與相對運動學模型，并提出兩種繞飛軌道設(shè)計方法。以近地大型翻滾航天器的相對繞飛為例，設(shè)計了姿軌耦合的滑模控制器，仿真結(jié)果表明，基于對偶數(shù)的雙環(huán)滑模控制系統(tǒng)可以快速有效地控制追蹤航天器的位姿，并在翻滾目標角速度變化的同時保證二者的姿態(tài)同步與距離穩(wěn)定。