徐澤宇，蔡遠(yuǎn)利

（西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，西安，710049）

0 引 言

攔截彈是導(dǎo)彈防御系統(tǒng)中的武器部分，攔截彈的制導(dǎo)律設(shè)計是導(dǎo)彈防御系統(tǒng)中的關(guān)鍵問題。對于大多數(shù)攔截彈，其制導(dǎo)過程都采用初制導(dǎo)+中制導(dǎo)+末制導(dǎo)的復(fù)合制導(dǎo)模式[1]。導(dǎo)彈在初制導(dǎo)階段進(jìn)行程序轉(zhuǎn)彎，該階段結(jié)束后導(dǎo)彈進(jìn)入中制導(dǎo)。中制導(dǎo)階段，利用導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對位置、相對速度等信息形成制導(dǎo)指令使其飛向中末制導(dǎo)交班點。當(dāng)導(dǎo)引頭成功截獲目標(biāo)后，末制導(dǎo)段開始工作。對于先進(jìn)的導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，如薩德及標(biāo)準(zhǔn)-3，中制導(dǎo)是其攔截彈在制導(dǎo)過程中時間最長的1個階段，因此中制導(dǎo)律的設(shè)計顯得尤為重要。

中制導(dǎo)律設(shè)計的主要目的是將導(dǎo)彈導(dǎo)引到合適的空域內(nèi)從而能夠成功截獲目標(biāo)，并且使導(dǎo)彈在導(dǎo)引頭鎖定目標(biāo)時，導(dǎo)彈相對目標(biāo)的幾何關(guān)系達(dá)到最佳[2]。文獻(xiàn)[3]采用預(yù)測變結(jié)構(gòu)控制方法進(jìn)行中制導(dǎo)律的設(shè)計，但導(dǎo)彈的速度前置角在中制導(dǎo)過程中變化幅度較大，影響了制導(dǎo)性能；文獻(xiàn)[4]提出的一種交班時刻性能最優(yōu)的中制導(dǎo)律，需要在對預(yù)測攔截點進(jìn)行判斷的基礎(chǔ)上進(jìn)行交班點的預(yù)測，因此預(yù)測精度對制導(dǎo)律的影響較大；文獻(xiàn)[5]通過引入偽控制變量設(shè)計了一種最優(yōu)中制導(dǎo)律。但以上工作均沒有考慮導(dǎo)彈可能受到隨機干擾。因此，為了改善中制導(dǎo)的飛行條件，保證中末制導(dǎo)交班的準(zhǔn)確性，應(yīng)考慮中制導(dǎo)過程中的主要干擾因素，建立合理的彈目運動學(xué)模型。

區(qū)別于確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制，隨機系統(tǒng)的最優(yōu)控制[6]不僅考慮被控對象受到的各種隨機擾動的影響，而且考慮狀態(tài)在測量過程中所受到的噪聲干擾。為了解決中制導(dǎo)過程中彈目運動模型存在的隨機干擾，本文以隨機最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，通過引入一個表示速度前置角積分量的附加狀態(tài)變量來設(shè)計中制導(dǎo)律，并通過仿真驗證了該制導(dǎo)律的有效性。

1 導(dǎo)彈與目標(biāo)運動方程

本文進(jìn)行以下兩點假設(shè)：a）導(dǎo)彈在飛行過程中不會發(fā)生滾轉(zhuǎn)運動；b）導(dǎo)彈在三維空間的運動可解耦為縱向（俯仰）和側(cè)向（偏航）平面內(nèi)運動。由于導(dǎo)彈在縱向平面和側(cè)向平面內(nèi)的運動類似，本文只針對縱向平面的彈目運動來建模并分析制導(dǎo)律。

通常在中制導(dǎo)過程中，目標(biāo)在導(dǎo)彈視距之外，其機動的幾率較小。因此可以通過對攔截點的預(yù)測，使導(dǎo)彈導(dǎo)引到目標(biāo)附近，以較好的交班條件進(jìn)入末制導(dǎo)。本文所設(shè)計的導(dǎo)彈運動模型在中制導(dǎo)過程中瞄準(zhǔn)的是運動相對較慢的預(yù)測攔截點[7]，兩者的相對運動關(guān)系及目標(biāo)的運動如圖1所示。

圖1 攻擊幾何平面Fig.1 Engagement Geometry

在縱向（俯仰）平面內(nèi)，導(dǎo)彈與預(yù)測攔截點的相對運動模型[8]為

式中 V為總的隨機干擾，假設(shè)為零均值高斯白噪聲，協(xié)方差為G。

縱向平面內(nèi)導(dǎo)彈運動方程可描述為

縱向平面內(nèi)目標(biāo)運動方程可描述為

式中 ξ為導(dǎo)彈運動中的隨機干擾，假設(shè)為零均值高斯白噪聲，協(xié)方差為Q；mha ，tha分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的切向加速度，

2 基于隨機最優(yōu)控制理論的中制導(dǎo)律

2.1 隨機最優(yōu)控制理論

考慮如下隨機系統(tǒng)：

式中 Γ，L和K為加權(quán)矩陣。

定義哈密頓泛函：

式中1λ，2λ為待定的伴隨函數(shù)。

式中 S為觀測誤差的協(xié)方差矩陣。

2.2 隨機最優(yōu)中制導(dǎo)律

通常在中制導(dǎo)過程中，目標(biāo)機動的幾率較小，為實現(xiàn)導(dǎo)彈超視距攔截，可通過對攔截點的預(yù)測，使導(dǎo)彈導(dǎo)引到目標(biāo)附近。在中末交班時，要求導(dǎo)引頭指向預(yù)測攔截點，使導(dǎo)彈進(jìn)入末制導(dǎo)后其導(dǎo)引頭能夠成功捕獲目標(biāo)，從而處于有利的攔截條件。

中遠(yuǎn)程導(dǎo)彈在中末制導(dǎo)交班點處的角度約束是導(dǎo)引頭成功捕獲目標(biāo)的關(guān)鍵。本文所設(shè)計的制導(dǎo)律希望在交班點處導(dǎo)引頭敏感軸指向預(yù)測攔截點，由于中制導(dǎo)段導(dǎo)彈過載較小，因此假設(shè)攻角0α≈，這樣可以用彈道傾角mθ取代俯仰角?來調(diào)整導(dǎo)引頭指向，使交班時刻的彈軸指向預(yù)測攔截點，即mqθ=。

設(shè)導(dǎo)彈的控制量為法向過載，即：

結(jié)合式（1）得：

此時，導(dǎo)彈與預(yù)測攔截點相對運動的狀態(tài)空間描述為

觀測方程為

考慮控制能量和交班時刻的角度約束，選取如下性能指標(biāo)函數(shù)：

在中末制導(dǎo)交班的時刻，為了使導(dǎo)彈彈軸對準(zhǔn)預(yù)測攔截點，需要使速度前置角[9]為0，取1f→∞，f2=0，于是，

2.3 帶有積分量的隨機最優(yōu)中制導(dǎo)律

本節(jié)在隨機最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了一種新的中制導(dǎo)律，主要思想是構(gòu)建一個附加狀態(tài)變量，即速度前置角的積分量。所設(shè)計的制導(dǎo)律仍然希望在交班點時刻導(dǎo)引頭敏感軸指向預(yù)測攔截點，即mqθ=，使速度前置角滿足約束條件。

導(dǎo)彈的控制量仍為法向過載yn，表達(dá)式與式（11）一樣，mη˙˙與式（12）相同。

此時，導(dǎo)彈與預(yù)測攔截點相對運動的狀態(tài)空間描述如式（14）所示。但

對應(yīng)的觀測方程為

考慮控制能量和交班時刻的角度約束，性能指標(biāo)形式上如式（16）所示。但其中半正定對稱矩陣對應(yīng)的最優(yōu)控制且滿足式（17）的Riccati方程。

中末制導(dǎo)交班時刻的條件與2.2節(jié)相同，這里只需要使速度前置角的積分量為0，因此取1f→∞，20f= ，30f= ，求解得：

3 仿真結(jié)果及分析

假設(shè)目標(biāo)做簡單機動飛行，初始時刻目標(biāo)位置為（50 km，10 km），速度tv=800 m/s，切向加速度法向加速度目標(biāo)的初始彈道傾角為180°；導(dǎo)彈中制導(dǎo)初始時刻的位置（2 km，1 km），速度mv=900 m/s，切向加速度初始時刻彈道傾角為24°；雷達(dá)導(dǎo)引頭的鎖定距離為11 km（中末交班距離）。

在無干擾的標(biāo)稱情況下，將本文第 2節(jié)所提出的兩種中制導(dǎo)律與比例導(dǎo)引進(jìn)行仿真比較，比較結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，帶有積分量的中制導(dǎo)律對應(yīng)的彈道較為平滑，更能有效地指向預(yù)測攔截點。

圖2 中制導(dǎo)軌跡曲線Fig.2 Midcourse Guidance Trajectory

圖3為導(dǎo)彈速度前置角速率變化曲線。由圖3可知，本文所設(shè)計的兩種制導(dǎo)律在中末交班時刻都能使速度前置角變化率很小。

圖3 導(dǎo)彈速度前置角速率變化曲線Fig.3 Curve of Missile Velocity Deflection Angle Rate

圖4為導(dǎo)彈過載曲線。由圖4可知，相比于比例導(dǎo)引，帶有積分量的中制導(dǎo)律會使導(dǎo)彈法向過載有所增加，但總體仍然不大，較為合理，圖 5為導(dǎo)彈速度前置角變化曲線。由圖5可知，帶有積分量的中制導(dǎo)律在中末交班時刻能夠使速度前置角幾乎為0，可以認(rèn)為導(dǎo)引頭指向預(yù)測攔截點，保證目標(biāo)進(jìn)入導(dǎo)彈視距時，導(dǎo)彈處于易于捕獲目標(biāo)的幾何位置。

圖4 導(dǎo)彈過載曲線Fig.4 Missile Overload Curve

圖5 導(dǎo)彈速度前置角變化曲線Fig.5 Missile Velocity Deflection Angle Curve

在隨機干擾的情況下，對帶有積分狀態(tài)變量的中制導(dǎo)律進(jìn)行仿真，并與標(biāo)稱情況進(jìn)行比較，比較結(jié)果見圖 6～9。由圖 6可知，較標(biāo)稱情況下的彈道，存在干擾的彈道同樣平滑并且與標(biāo)稱彈道軌跡幾乎一致；由圖7可知，導(dǎo)彈過載比標(biāo)稱時大，但總體仍很小；由圖8和圖9可知，本文所設(shè)計帶有積分狀態(tài)變量的中制導(dǎo)律在存在過程干擾和觀測干擾的情況下，仍能在一定范圍內(nèi)保證導(dǎo)引頭指向預(yù)測攔截點。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計的中制導(dǎo)律也具有較強的魯棒性。

圖6 考慮隨機干擾時的中制導(dǎo)軌跡曲線Fig.6 Midcourse Guidance Trajectory with Stochastic Disturbance

圖7 考慮隨機干擾時導(dǎo)彈過載曲線Fig.7 Missile Overload Curve

圖8 考慮隨機干擾時導(dǎo)彈速度前置角速率變化曲線Fig.8 Curve of Missile Velocity Deflection Angle Rate

圖9 考慮隨機干擾時導(dǎo)彈速度前置角變化曲線Fig.9 Missile Velocity Deflection Angle Curve

4 結(jié) 論

本文以隨機最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，在中制導(dǎo)過程中建立存在隨機干擾的彈目運動模型，并通過構(gòu)建一個表示速度前置角積分量的附加狀態(tài)變量，得到一種新的中制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明：該制導(dǎo)律能夠有效地完成中末制導(dǎo)的交班，確保導(dǎo)彈在末制導(dǎo)開始時擁有良好的攻擊條件，從而提高導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段的攔截能力和最終的制導(dǎo)精度。后續(xù)工作中，將對目標(biāo)不同的機動形式以及在三維空間進(jìn)行中制導(dǎo)律的研究。