金少華 電子科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 四川成都 610054

1.引言

作為一種時(shí)域模擬方法，時(shí)域有限差分法幾乎可以分析所有電磁問(wèn)題。波導(dǎo)器件結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，一般方法很難分析，由于時(shí)域有限差分法靈活高效，可以方便地處理這些結(jié)構(gòu)，時(shí)域分析各種波導(dǎo)傳輸線和波導(dǎo)不連續(xù)結(jié)構(gòu)還可以應(yīng)用時(shí)域有限差分法分析介質(zhì)諧振器、波導(dǎo)耦合器和w波段濾波器等等。隨著微波集成電路和單片微波集成電路的興起，人們對(duì)時(shí)域模擬這類電路越來(lái)越感興趣電路中可以具有有源和無(wú)源器件，也可以具有線性和非線性器件。因此，本文基于有限差分法研究方同軸線的色散特性，并和CST仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了有限差分法的優(yōu)勢(shì)和可行性

2.方同軸線色散問(wèn)題

用有限差分法求下圖所示四種傳輸線最低兩個(gè)TM模的色散特性曲線，畫出模式的橫截面電磁場(chǎng)分布圖。設(shè)b=5mm，ρ=a/b，ρ的取值范圍為0. 3～0.7。

3. 有限差分法原理

假設(shè)同軸線壁由純導(dǎo)體(σ→∞)構(gòu)成，在同軸線中無(wú)自由電荷和傳導(dǎo)電流(=0ρ，J=0)，同軸線間為真空，同軸線工作在匹配狀態(tài)且截面均勻，所以在分析時(shí)僅考慮入射波?，F(xiàn)只分析兩個(gè)最低的TM模。將問(wèn)題的求解歸結(jié)為求解相應(yīng)縱向分量zE所描述的定解問(wèn)題。以φ標(biāo)記相應(yīng)縱向分量，在波導(dǎo)內(nèi)， TM波滿足的氦姆霍茲方程及邊界條件為

(1)對(duì)同軸線橫截面進(jìn)行網(wǎng)格離散化，如圖2所示。設(shè)互方向和Y方向的步長(zhǎng)相等。取h=0.5mm，a=3mm，b=5mm，對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行離散化。導(dǎo)出赫姆霍茲方程的差分形式。設(shè)場(chǎng)內(nèi)某節(jié)點(diǎn)0處附近的各節(jié)點(diǎn)如圖3所示，取步長(zhǎng)不相等的一般情況，以 φ0、 φ1φ2φ3φ4分別代表在節(jié)點(diǎn)0、1、2、3、4處φ函數(shù)值

為了得到比較精確的差分格式，引入待定常數(shù)α、β對(duì)泰勒展開，構(gòu)造如下關(guān)系式：

令系數(shù)為0，得到、之間滿足

代入（2）式，舍去高階項(xiàng)，得到 在式（2）中若令項(xiàng)系數(shù)為0，則得到、之間的關(guān)系：

將（5）式代入（2）式并忽略三階以上的高次項(xiàng)，得：

同理可得：

（6）代入（7）得：

當(dāng) h1= h2= h3= h4= h ， 式（8） 就 可 以 簡(jiǎn) 化φ1+ φ2+ φ3+ φ4- 4 φ0= - ( kch)2φ0(9)

對(duì)導(dǎo)線外壁及邊界C處，若網(wǎng)格線恰好和邊界相重，則對(duì)任一邊界上的節(jié)點(diǎn)a而言，令φ=Ez，則：f（10）

將上述各個(gè)差分格式分別應(yīng)用于相應(yīng)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，便可以得到以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上待求場(chǎng)量φi(i=0,1,2,3...n)為未知數(shù)的n+1個(gè)差分方程，由此構(gòu)成的差分方程組可用矩陣的形式表示為：[k][φ] = λ[ φ](11)

將上述問(wèn)題歸結(jié)為一矩陣的特征值問(wèn)題。式中[K]為系數(shù)矩陣，[φ]是以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的待求場(chǎng)量φi為分量的列向量，而數(shù)值：（12）為特征值，稱為截止波長(zhǎng)。

由上述差分方程組求出所有的特征值。取出所有特征值中的最小值和次小的兩個(gè)值，就可以求得兩個(gè)最低TM模所對(duì)應(yīng)的 k 值，由于并且得到cc(13) 即方形同軸線TM模的色散方程。

利用有限差分法離散化網(wǎng)格，取a=3mm，b=3mm，設(shè)x方向和y方向的步長(zhǎng)相等，選取步長(zhǎng)為h，頻率范圍在30G HZ- 6 0GHZ，采用Matlab仿真，得到方同軸線中TM波第一高次模，TM波第二高次模的色散曲線β～f以及橫截面的電場(chǎng)和磁場(chǎng)圖像如下所示： N=39，h=1/4(mm)x和y方向均為40格，matlab模擬圖像如下：

4 軟件仿真和數(shù)值模擬結(jié)果比較

4.1 數(shù)值模擬結(jié)果和仿真結(jié)果

CST仿真結(jié)果如下；

上圖依次分別是：TM第一高次模（E、H圖）截止頻率；TM第二高次模（E、H圖）截止頻率；TM第一高次模E圖 ；TM第二高次模E圖；

6.總結(jié)

有限差分法是以差分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值方法，它實(shí)質(zhì)上是將電磁場(chǎng)連續(xù)域問(wèn)題變換

成離散系統(tǒng)的問(wèn)題來(lái)求解，也就是通過(guò)網(wǎng)格狀離散化模型上各離散點(diǎn)的數(shù)值解來(lái)逼近連續(xù)場(chǎng)域的真實(shí)解。

本次報(bào)告說(shuō)明，有限差分發(fā)確實(shí)可以用于求解電磁場(chǎng)連續(xù)域問(wèn)題，并且解的精度和網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)目，即步長(zhǎng)有關(guān)，步長(zhǎng)越小，求解結(jié)果越準(zhǔn)確。