李茂生

【摘 要】

癌細(xì)胞是一種變異的細(xì)胞，是產(chǎn)生癌癥的病源，癌細(xì)胞與正常細(xì)胞不同，有無限增殖、可轉(zhuǎn)化和易轉(zhuǎn)移三大特點(diǎn)，能夠無限增殖并破壞正常的細(xì)胞組織。研究癌細(xì)胞的擴(kuò)散與治療對于臨床醫(yī)學(xué)具有非常重要的意義。本文將Logistic模型引入到癌細(xì)胞生長的研究中，并建立了癌細(xì)胞在生長環(huán)境約束下數(shù)量增長的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)還進(jìn)行了定量的分析。此外，本文還考慮了癌細(xì)胞與正常細(xì)胞的種群競爭關(guān)系，基于Lotka-Volterra模型分析了癌細(xì)胞與正常細(xì)胞生長的變化趨勢，為臨床實(shí)驗(yàn)提供了理論的指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】 癌細(xì)胞擴(kuò)散和治療；Logistic模型； Lotka-Volterra模型 多種群相互抑制

【中圖分類號】R249 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】

B 【文章編號】1005-0019（2018）14-208-01

1 引言

癌癥是我們熟知的“危險(xiǎn)殺手”之一。至今，科研者們的工作主要集中在臨床實(shí)驗(yàn)上，而本文認(rèn)為利用數(shù)學(xué)建模來洞悉癌細(xì)胞擴(kuò)散從而達(dá)到及早發(fā)現(xiàn)及早治療的目的也不失為一種方法。如張鵬鴿等人在《腫瘤細(xì)胞的生長模型與預(yù)測治療》[1]中建立了腫瘤細(xì)胞的增長模型，并用Logistic模型得到了腫瘤細(xì)胞倍增次數(shù)的計(jì)算公式，就為臨床醫(yī)學(xué)的發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具。

首先，本文將建立癌細(xì)胞擴(kuò)散和放射治療的微分方程模型，同時(shí)利用方程得到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的癌細(xì)胞數(shù)量增長圖像，求出其增長模型。然后，在增長模型的基礎(chǔ)上利用Lotka-Volterra競爭模型了解癌細(xì)胞與正常細(xì)胞之間的競爭關(guān)系及其穩(wěn)定點(diǎn)，最后制定合理的方案，以便達(dá)到早發(fā)現(xiàn)，早治療，對正常細(xì)胞危害少的目的。

2 考慮生長環(huán)境約束的Logistic模型

通常情況下，人們用癌細(xì)胞的數(shù)量或濃度來衡量癌癥的擴(kuò)散程度[2]。假設(shè)x=x（t）是t時(shí)刻癌細(xì)胞的總數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)量的增長率與當(dāng)時(shí)癌細(xì)胞的數(shù)量成正比，所以本文記比例系數(shù)為r。由于癌細(xì)胞的生長受環(huán)境的限制，本文用Logistic模型來描述癌細(xì)胞在組織內(nèi)的生長：

（1）

其中，K為環(huán)境容納量，表示組織所能承受的最大細(xì)胞數(shù)量。其解析解為：

（2）

這里xo=x（0）是t=0是癌細(xì)胞的數(shù)量，即若估計(jì)出初始時(shí)刻癌細(xì)胞的數(shù)量，則能利用這個(gè)模型來正確計(jì)算出癌細(xì)胞數(shù)量隨時(shí)間的變化情況。

根據(jù)細(xì)胞分裂的知識(shí)，假設(shè)初始時(shí)刻的癌細(xì)胞的數(shù)量為No，那么t時(shí)刻癌細(xì)胞的數(shù)量就為：

（3）

其中k表示癌細(xì)胞分裂的次數(shù)。鑒于在臨床檢測中能檢測出來癌細(xì)胞的最小直徑為1cm，所以得到k約為30。不難得到，細(xì)胞倍增30次時(shí)細(xì)胞的數(shù)量大約是1011，代入（3）式可得N0=93。所以假定癌細(xì)胞的初始數(shù)量為93，r=1.005，再以胃癌細(xì)胞90d倍增一次的時(shí)間間隔，本文得到了如下圖表：

Logistic模型中癌細(xì)胞數(shù)量增長與天數(shù)的關(guān)系

參照圖表，當(dāng)天數(shù)達(dá)到1680d左右時(shí)癌細(xì)胞數(shù)量有了明顯的增長，而后的1350d里，癌細(xì)胞的數(shù)量達(dá)到的非常驚人的程度。但由于加入了環(huán)境的限制，癌細(xì)胞不能無限的增長，于是，我們便得到了一條近似“S”型的曲線。根據(jù)可觀察到的癌細(xì)胞的大小，我們可以估計(jì)2160d至2520d的時(shí)間段內(nèi)，進(jìn)行癌細(xì)胞或腫瘤的檢查比較合適。再參考《腫瘤細(xì)胞的生長模型與預(yù)測治療》中利用加入權(quán)重的雙目標(biāo)問題得到的解，本文建議癌癥患者每350d到醫(yī)院檢查一次。

3 考慮多種群相互抑制的Lotka-Volterra競爭模型

（4）

（5）

在（4）（5）中式中，x1（t）和x2（t）分別表示t時(shí)刻健康細(xì)胞的細(xì)胞濃度和癌細(xì)胞的細(xì)胞濃度；r1和r2分別是健康細(xì)胞和癌細(xì)胞的增長率；K1、K2的分別表示一定的環(huán)境對這兩種細(xì)胞的最大承載量，β1與β2分別是兩種細(xì)胞間的競爭系數(shù)。

以上兩式又可以改為如下形式

（6）

（7）

a11與a21分別表示兩種細(xì)胞的種內(nèi)競爭系數(shù)，化簡可得a11=r1K1、a21=r2K2；a12、a22分別等于β1、β2。

易得，該微分方程有四個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)：

計(jì)算可得

由前人工作可知，當(dāng)系數(shù)滿足一定的條件時(shí)，該方程有不同的解：

①時(shí)，方程的解將收斂于，即癌細(xì)胞和正常細(xì)胞的競爭最終趨向于平穩(wěn)，兩種細(xì)胞的數(shù)量達(dá)到平衡，共同生存且都保持有一定的數(shù)量。

②時(shí)，方程的解將按不同的區(qū)域收斂與三個(gè)點(diǎn)，即兩種細(xì)胞中或有一方完全滅絕，或雙方相互共存。

而在沒有進(jìn)行任何治療時(shí)，一般癌細(xì)胞總能在競爭中占據(jù)主導(dǎo)地位，即系統(tǒng)滿足條件K1β2

4 全文總結(jié)

本文利用Logistic模型得到了癌細(xì)胞數(shù)量增長隨時(shí)間變化的圖像，初步認(rèn)識(shí)了癌細(xì)胞的潛伏期與暴增期的時(shí)間長短，并結(jié)合前人的工作與圖像得出的結(jié)論給出了癌癥檢查的合適時(shí)機(jī)；利用Lotka-Volterra模型分析了癌細(xì)胞與正常細(xì)胞的競爭關(guān)系與他們競爭的可能結(jié)果。通過對癌細(xì)胞數(shù)量暴漲期的分析，認(rèn)為癌癥患者每350d左右檢查一次為最佳。參考兩種細(xì)胞的競爭模型，本文得到了競爭的四種可能結(jié)果，并分別給出了得到四種結(jié)果的條件，希望能對臨床的實(shí)驗(yàn)起到一些輔助作用。本文的優(yōu)點(diǎn)在于將數(shù)學(xué)模型與癌細(xì)胞的增長相結(jié)合，通過建立數(shù)學(xué)模型的方法來深入研究癌細(xì)胞生長和治療的狀況；但不足之處在于對于公式數(shù)據(jù)的取值還不夠精準(zhǔn)，利用微分方程解決兩種細(xì)胞的競爭關(guān)系也沒有真正的實(shí)例。希望醫(yī)學(xué)學(xué)生和研究者能重視用微分方程建模研究一些疾病的方法。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉子建.癌癥擴(kuò)散和治療研究中的微分方程模型[J].科技視界，2016（21）：128.

[2] 張鵬鴿，朱佑彬，高淑萍.腫瘤細(xì)胞的生長模型與預(yù)測治療[J].山西醫(yī)科大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，45（01）：20-22.