張翠媛

摘要：1879年，弗雷格出版了《概念文字》一書。在對(duì)日常語言進(jìn)行了大量的分析與研究后，弗雷格發(fā)現(xiàn)語言存在的缺陷，對(duì)此，他在《概念文字》中首次提出并引入了函數(shù)和自變元，以此來解釋句子的邏輯結(jié)構(gòu)。在《函數(shù)和概念》這篇論文中，弗雷格把概念解釋為一種函數(shù)；在《論概念和對(duì)象》這篇論文中，弗雷格運(yùn)用函數(shù)理論，說明了概念和對(duì)象的性質(zhì)及相互之間的關(guān)系。弗雷格在這么多的地方提及他的函數(shù)理論，并將函數(shù)運(yùn)用到邏輯學(xué)的討論中，可見函數(shù)對(duì)弗雷格的重要性。

關(guān)鍵詞：弗雷格 函數(shù) 概念 真值

中圖分類號(hào)：O147 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-5349（2018）14-0246-03

函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用已有悠久的歷史了，而函數(shù)作為工具在邏輯學(xué)中的應(yīng)用始于弗雷格的概念文字。在《概念文字》中，弗雷格把句子分析為兩部分，一部分是“固定的組成部分”，他稱這個(gè)固定部分為函數(shù)；另一部分是“可由其他符號(hào)替代的符號(hào)”，他稱這部分為函數(shù)的自變元，這樣就解釋了句子的結(jié)構(gòu)。在《函數(shù)和概念》中，弗雷格詳細(xì)分析和論述了函數(shù)的性質(zhì)，指出函數(shù)最基本的性質(zhì)在于函數(shù)自身是不完整的，不飽和的或是需要補(bǔ)充的。他還解釋了他是如何把數(shù)學(xué)中的函數(shù)這一概念擴(kuò)展到邏輯學(xué)中去的。說明函數(shù)“這個(gè)詞并非一開始就有它后來達(dá)到的如此廣泛的意義”。

一、函數(shù)及相關(guān)概念

在數(shù)學(xué)中有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，x的一個(gè)函數(shù)被認(rèn)為是一個(gè)包含x的數(shù)學(xué)表達(dá)式，一個(gè)含有字母x的公式。弗雷格認(rèn)為，這種觀點(diǎn)并不令人滿意。因?yàn)楦鶕?jù)它，我們可以說：“3·x2+x”是x的一個(gè)函數(shù)，3·32+3是3的一個(gè)函數(shù)，而這恰恰沒有區(qū)分出形式和內(nèi)容，沒有區(qū)別符號(hào)與符號(hào)所表達(dá)的內(nèi)容。于是弗雷格就對(duì)自變元、函數(shù)表達(dá)式或函數(shù)解析式這幾種經(jīng)常性表達(dá)逐一做了分析和研究，得出，“函數(shù)的真正本質(zhì)就在那些表達(dá)式的共同因素之中”；就是說，在“3·x2+x”中除“x”以外還存在的東西之中，比如我們可以把它寫成“3·（ ）2+（ ）”。括號(hào)表示一個(gè)空位，這說明，函數(shù)并不包括自變元，“x”這個(gè)符號(hào)只是用來表明自變元填入的位置，并說明需要填入的類型，即數(shù)。同時(shí)x也說明了可以填入的數(shù)字的普遍性。因此這就說明了函數(shù)的三個(gè)非常重要的特征與性質(zhì)：（1）函數(shù)本身是不完整的，它是需要補(bǔ)充的、不滿足的或不飽和的。（2）自變元不屬于函數(shù)，它是完整的，是獨(dú)立自由的整體，也就是說它是滿足的。（3）函數(shù)和自變元不同，自變元不屬于函數(shù)，但是，當(dāng)滿足的自變元填入不滿足的函數(shù)時(shí)，它們就共同建立了一個(gè)完整的整體。對(duì)于“3·x2+x”這個(gè)函數(shù)解析式，如果用2作自變元補(bǔ)充它，結(jié)果就是“3·22+2”。由此可以說，14是2這個(gè)自變元的函數(shù)“3·x2+x”的值，因?yàn)椤?·22+2=14”。因此便得出函數(shù)另一個(gè)非常重要的性質(zhì)。（4）用一個(gè)函數(shù)的自變元填充這個(gè)函數(shù)所得到的完整的結(jié)果，我們稱它為自變元的函數(shù)的值。

二、從函數(shù)過渡到邏輯

弗雷格根據(jù)“函數(shù)”在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，歸納出它的四種基本性質(zhì)。但隨著科學(xué)的不斷進(jìn)步，弗雷格逐漸認(rèn)識(shí)到函數(shù)不能僅局限于數(shù)學(xué)分析中，如果能夠?qū)⑦@種數(shù)學(xué)分析方法擴(kuò)展到對(duì)語言的邏輯分析中，那將會(huì)避免一些自然語言存在的缺陷。在意識(shí)到對(duì)函數(shù)擴(kuò)展的重要性之后，他便將“函數(shù)”這一概念沿著兩個(gè)方向進(jìn)行了擴(kuò)展，并用擴(kuò)展后的“函數(shù)”對(duì)邏輯進(jìn)行了刻畫，從而實(shí)現(xiàn)了從數(shù)學(xué)公式到自然語言中句子的過渡。

（一）弗雷格沿著兩個(gè)方向?qū)?shù)學(xué)中的函數(shù)擴(kuò)展為邏輯中的函數(shù)

方向一：用于構(gòu)造函數(shù)的運(yùn)算方法的領(lǐng)域的擴(kuò)展。除使用數(shù)學(xué)中常用的加法、乘方、乘法及其逆運(yùn)算以外，還增加了不同種類的跨界運(yùn)算。即引入了=、>、<這樣的符號(hào)，這樣便可以在x像以前那樣代表自變元的地方討論“x2=4”這樣的函數(shù)。

對(duì)于擴(kuò)展后的函數(shù)來說，它帶有一個(gè)等號(hào)。帶等號(hào)的函數(shù)和不帶等號(hào)的函數(shù)是有很大的區(qū)別的，比如x2+y2=1和x2+y2是兩個(gè)不同的函數(shù)。帶等號(hào)的函數(shù)表示的是一個(gè)等式，而等式的語言形式是一個(gè)斷定句。這樣的一個(gè)斷定句就含有一個(gè)思想作為它的涵義（或者它至少要求含有一個(gè)思想作涵義）；這個(gè)思想一般是一個(gè)真值；換句話說就是，這個(gè)思想一般是真的或者是假的。同樣，我們可以把這個(gè)真值當(dāng)作這個(gè)句子的意謂，就像4這個(gè)數(shù)是“2+2”這個(gè)解析式的意謂，或者柏拉圖是“亞里士多德的老師”這個(gè)表達(dá)式的意謂一樣。

方向二：由于采用了復(fù)數(shù)，可以作為自變元和函數(shù)值出現(xiàn)的東西的范圍得到了擴(kuò)展。

首先，是對(duì)自變元的擴(kuò)展。比如引入了一般的對(duì)象做自變元，特別是引入像“亞里士多德”這樣的專名做自變元，這樣就可以談?wù)摂?shù)以外的一般事物，而不是僅僅限于談?wù)撍銛?shù)句子。如談?wù)摬⑻接懸话愕恼Z句，進(jìn)而談?wù)撘话愕母拍詈蛯?duì)象，這便實(shí)現(xiàn)了從數(shù)學(xué)語言到自然語言的過渡。而且此外，可以考慮以真值做函數(shù)的自變元，也就是說，以真或者以假作自變元。

其次，就是對(duì)函數(shù)值的擴(kuò)展。弗雷格用了一個(gè)例子說明了這一點(diǎn)。假設(shè)我們有x2=4這樣一個(gè)函數(shù)。現(xiàn)在我們分別用-2、-1、0、1、2來帶入自變元x，我們就得到

在這些等式中，第一個(gè)和第五個(gè)是真的，其他都是假的。因此弗雷格說：“我們的函數(shù)值是一個(gè)真值”。真值一共有兩個(gè)，一個(gè)是真這個(gè)真值，一個(gè)是假這個(gè)真值。因此（-2）2=4和22=4意謂相同的東西，都是意謂真，而（-1）2=4、02=4和12=4意謂相同的東西，都是意謂假。弗雷格還指出意謂的相同并不導(dǎo)致思想的相同。所有函數(shù)只以真和假這兩個(gè)值做真值，我們就得到函數(shù)的另一種性質(zhì)：一個(gè)帶等號(hào)的函數(shù)的值總是一個(gè)真值，即它的值要么是真，要么是假。

（二）用擴(kuò)展后的函數(shù)刻畫邏輯

（1）對(duì)命題邏輯的刻畫。首先，弗雷格引入了真值函數(shù)──x。他規(guī)定，如果以真做自變元，則此函數(shù)的值應(yīng)該為真，而在所有其他情況下，此函數(shù)的值為假，即當(dāng)自變元為假或者沒有真值的時(shí)候，這個(gè)函數(shù)的值為假。例如：——2+4=6。

2+4=6的意謂是真，這說明此函數(shù)是以真做它的自變元，所以根據(jù)弗雷格給出的真之條件我們可以判斷在這種情況下，──x這個(gè)函數(shù)的值應(yīng)該是真。如果要對(duì)此函數(shù)作出斷定，那么就可以把它寫為：┠——2+4=6。這等于是說：斷定2+4=6。也就是說，2+4=6是真。

——2+4=5。2+4=5的意謂是假，這說明此函數(shù)是以假做它的自變元，根據(jù)此函數(shù)的真之條件我們可以推斷在這種情況下，──x這個(gè)函數(shù)的值應(yīng)該是假。如果要對(duì)它作出斷定，即對(duì)它的真假作出判斷，那么就可以把它寫為：┠┬—2+4=5。

這等于是說：斷定并非2+4=5。這也等于說，2+4=5是假。

——6。6是一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，它沒有真值，即它既不是真的，也不是假的，這說明6這個(gè)自變元沒有真假，因此──x這個(gè)函數(shù)的值應(yīng)該為假。

其次，邏輯中“非”的刻畫。弗雷格引入否定杠，即─┬─x。他將此函數(shù)理解為一個(gè)帶有──x這個(gè)自變元的函數(shù)，將否定杠左邊和右邊這兩部分橫杠理解為水平線。他規(guī)定：如果─┬─x以真做自變元，則此函數(shù)的值應(yīng)該為假，而在所有其他情況下，此函數(shù)的值為真，即當(dāng)自變元為假或者自變元沒有真值的時(shí)候，這個(gè)函數(shù)的值為真。例如根據(jù)這種理解，

─┬─22=6意謂是真，并且我們可以加上判斷杠：┠┬─22=6。以此我們可以判定，22=6不是真的，或者22不是6。但是—┬—3意謂也是真，因?yàn)?是一個(gè)數(shù)字，它沒有真值，┠┬—3，斷定：3不是真。

（2）對(duì)謂詞邏輯的刻畫。弗雷格說“概念——如同我對(duì)這個(gè)詞的理解——起謂述作用。”他對(duì)這句話進(jìn)一步解釋為概念實(shí)際上是語法謂詞的意謂。對(duì)此，弗雷格將一個(gè)句子分為語法主詞和語法謂詞兩部分，而語法謂詞的意謂是概念，所以概念具有的邏輯特征語法謂詞也具有。在此基礎(chǔ)上，他便建立了他的一階謂詞邏輯系統(tǒng)。

首先，弗雷格刻畫了單稱命題和關(guān)系命題。單稱命題，如“北京是中國的首都”，用符號(hào)表示為Fa，其中F表示“是中國的首都”，a表示“北京”。讀作“a具有性質(zhì)F”。關(guān)系命題。如“張三是李四的朋友”，符號(hào)表示為Rab，其中R表示“a是b的朋友”，a、b分別代表“張三”和“李四”。讀作“a、b具有R關(guān)系”。

其次，弗雷格刻畫了全稱量詞。比如對(duì)“所有的哺乳動(dòng)物都是有紅血的”這樣的全稱命題的處理，用現(xiàn)代符號(hào)可以表示為“ ”，讀作“對(duì)所有的x來說，如果x是哺乳動(dòng)物，那么x就是有紅血的”。其中，H表示謂詞“是哺乳動(dòng)物”，B表示謂詞“是有紅血的”?！八械牟溉閯?dòng)物都是有紅血的”這個(gè)陳述不是關(guān)于所有的哺乳動(dòng)物的陳述，而是關(guān)于函數(shù)“如果x是哺乳動(dòng)物，那么x就是有紅血的”的陳述。這就是弗雷格對(duì)全稱量詞的刻畫。

最后，弗雷格還對(duì)存在量詞進(jìn)行了刻畫。例如“有的烏鴉是白的”，用現(xiàn)代符號(hào)表示為“ ”，讀作“至少存在一個(gè)x，x是烏鴉，并且x是白的”。其中，F(xiàn)表示謂詞“是烏鴉”，G表示謂詞“是白的”。“有的烏鴉是白的”這個(gè)句子并不是作出關(guān)于有的烏鴉的陳述，而是關(guān)于函數(shù)“x是烏鴉，并且x是白的”的陳述。這就是弗雷格對(duì)存在量詞的刻畫。

三、函數(shù)理論對(duì)邏輯學(xué)的意義

弗雷格經(jīng)過對(duì)函數(shù)進(jìn)行了兩方面的擴(kuò)展之后，使得對(duì)數(shù)學(xué)語言的分析過渡到了對(duì)自然語言的分析，這便達(dá)到了弗雷格最初引入函數(shù)概念的目的。

（一）概念和函數(shù)

弗雷格認(rèn)為“邏輯中稱為概念的東西與我們稱為函數(shù)的東西十分緊密地聯(lián)系在一起”。比如，函數(shù)“x是德意志帝國的首都”，對(duì)于自變元柏林來說，柏林是德意志帝國的首都為真，即函數(shù)值為真；對(duì)于自變元華盛頓來說，華盛頓是德意志帝國的首都為假，即函數(shù)值為假。也可以說：柏林屬于德意志帝國的首都這一概念，而華盛頓不屬于。由此弗雷格得出“概念是一個(gè)其值總為真值的函數(shù)”這一結(jié)論。從弗雷格對(duì)概念的這個(gè)說明可以看出，為了理解概念，必須理解函數(shù)，必須理解真值。也可以說，他是通過函數(shù)來說明概念的。

在弗雷格分析的函數(shù)的基本性質(zhì)中，最主要的性質(zhì)是：函數(shù)是不完整的，不滿足或不飽和的，需要補(bǔ)充的。所謂函數(shù)是不滿足的，是指函數(shù)表現(xiàn)了這樣一種邏輯結(jié)構(gòu)，在這種結(jié)構(gòu)中帶有空位。最簡單的函數(shù)是帶有一個(gè)空位的。因此，如果把概念看作函數(shù)，概念也要表現(xiàn)出這樣的一種邏輯結(jié)構(gòu)。比如我們說：“亞里士多德是哲學(xué)家?！薄鞍乩瓐D是哲學(xué)家?！薄皠P撒大帝是哲學(xué)家?！边@三個(gè)句子都有一個(gè)共同的部分，就是“……是哲學(xué)家”。根據(jù)弗雷格的思想，這個(gè)共同的部分就是相應(yīng)于函數(shù)的概念。我們也可以把它寫為“（ ）是哲學(xué)家”，或者“x是哲學(xué)家”。

括號(hào)表明了這個(gè)概念是不完整的，同時(shí)也標(biāo)明了需要補(bǔ)充的位置，證明概念的不滿足性。如果我們以單稱詞或?qū)Ｃ?dāng)作自變元來填充它，就會(huì)使它滿足，由此得到一個(gè)完整的句子。比如，我們?nèi)绻选皝喞锸慷嗟隆薄鞍乩瓐D”和“凱撒大帝”分別代入這個(gè)概念，就得到上面三個(gè)句子。這就表明，概念具有函數(shù)的基本性質(zhì)，即概念是不完整的，不滿足或不飽和的，是需要補(bǔ)充的。

在以單稱詞或?qū)Ｃ髯宰冊畛涓拍畹倪^程中，像“亞里士多德”這樣的專名意謂個(gè)體的人，意謂對(duì)象，就像個(gè)別的數(shù)是對(duì)象一樣，因而是完整的、獨(dú)立的整體。概念雖然是不滿足的，但是用專名做自變元代入以后，就得到了一個(gè)完整的整體，即句子。因此滿足了函數(shù)的1、2和3這樣的性質(zhì)。

弗雷格對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了擴(kuò)展，因此他還得出了另一個(gè)重要的結(jié)論，即函數(shù)等式的值總是一個(gè)真值。于是，弗雷格引入等號(hào)，就從一般的函數(shù)過渡到句子。例如，“（ ）征服高盧”是一個(gè)概念。我們用一個(gè)專名填充它，就可以得到一個(gè)完整的句子。如果我們以“凱撒”來填充它，就可以得到下面這個(gè)句子。“凱撒征服高盧”。

這個(gè)句子的真值是真。如果我們用“亞歷山大”做自變元來補(bǔ)充它，就得到下面的這個(gè)句子?！皝啔v山大征服高盧”。這個(gè)句子的真值是假。因此可以說，概念也具有函數(shù)的第五種性質(zhì)。

通過上述分析我們可以看出，弗雷格所說的概念是與句子緊密結(jié)合在一起的。它表現(xiàn)為句子的一部分，并且是不完整的一部分，用完整的對(duì)象補(bǔ)充它之后，就可以得到一個(gè)完整的句子，這個(gè)句子還要有思想作為它的涵義，真值作為它的意謂。因此也就可以解釋弗雷格為什么說一個(gè)概念是一個(gè)其值總是一個(gè)真值的函數(shù)。

從函數(shù)的性質(zhì)4和5我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在函數(shù)值方面存在著差異。“x2+y2”和“x2+y2=z”都是函數(shù)，它們的值卻不同?！皒2+y2”的函數(shù)值是數(shù)，而“x2+y2=z”是一個(gè)句子，它的函數(shù)值是真值，即以真或者假為值。用任意數(shù)字代入x和y，“x2+y2”得到的總是一個(gè)數(shù)，無所謂真假，即它的函數(shù)值不是真值。比如“12+22”以5為函數(shù)值，“22+32”以13為函數(shù)值。而對(duì)于“x2+y2=z”的自變元的代入就不是任意的，因?yàn)榇氩煌臄?shù)會(huì)導(dǎo)致真值的不同。比如用1、2和5分別代入x、y和z，就得“12+22=5”，它的函數(shù)值為真。若用2、3和10分別代入x、y和z，就得“22+32=10”，它的值為假。所以“x2+y2”和“x2+y2=z”是兩種不同的函數(shù)。

（二）性質(zhì)和關(guān)系

函數(shù)的種類有很多，但根據(jù)自變元個(gè)數(shù)的不同，可以把函數(shù)劃分為一元函數(shù)、二元函數(shù)和多元函數(shù)。用這個(gè)理論來分析自然語句，可以得到：一個(gè)一元函數(shù)，例如，“亞里士多德是哲學(xué)家”。這個(gè)句子可以分析為“亞里士多德”和“x是哲學(xué)家”兩部分。其中“亞里士多德”是完整的，做自變元成分?！皒是哲學(xué)家”是不完整的，需要補(bǔ)充的，所以是作為函數(shù)部分。弗雷格稱這樣的一元函數(shù)為概念。一個(gè)二元函數(shù)，例如，“亞里士多德是柏拉圖的學(xué)生”。這個(gè)句子可以分析為“亞里士多德”和“x是柏拉圖的學(xué)生”兩部分。再進(jìn)一步分析，“x是柏拉圖的學(xué)生”又可以分為“柏拉圖”和“x是y的學(xué)生”這樣兩部分。所以這個(gè)二元函數(shù)就分成了“亞里士多德”“柏拉圖”和“x是y的學(xué)生”這樣三部分。其中“亞里士多德”和“柏拉圖”是完整的，自變元分別代入x和y?！皒是y的學(xué)生”是不完整的，需要兩個(gè)自變元來填充，所以它是函數(shù)。弗雷格稱這樣的二元函數(shù)稱為關(guān)系。

（三）概念層次

由于數(shù)是對(duì)象，對(duì)象是完整的，滿足的，而概念是不飽和的或不滿足的，需要補(bǔ)充的，所以對(duì)象和概念是根本不同的東西。由于對(duì)象與概念是根本不同的東西，因此以對(duì)象為自變元的函數(shù)和以概念為自變元的函數(shù)也是不同的。于是，弗雷格根據(jù)自變元種類的不同，把函數(shù)區(qū)分為第一層函數(shù)和第二層函數(shù)。拿一元函數(shù)來說，一個(gè)第一層函數(shù)，它是以對(duì)象為自變元的，例如，x是哲學(xué)家。它是一個(gè)包含一個(gè)自變元的概念。在自然語言中，概念起謂詞作用。它表示：一個(gè)對(duì)象x處于哲學(xué)家這個(gè)概念之下。而一個(gè)第二層函數(shù)，它是以概念為自變元的，例如，所有的人都是有死的。在這個(gè)函數(shù)中，自變元為所有的人，它表示對(duì)于所有的事物，如果它是人，那么它是有死的。在自然語言中，這是對(duì)量詞的刻畫。它表明：一個(gè)概念處于第二層概念之中。

在二元函數(shù)中，一個(gè)二元函數(shù)可以與自變元有同層關(guān)系或者有不同層關(guān)系，即同層函數(shù)或不同層函數(shù)。迄今我們所考慮的是同層函數(shù)。微商是一個(gè)不同層函數(shù)，例如如果將微分函數(shù)和被微分的自變元做自變元，或者，定積分是一個(gè)不同層函數(shù)，例如只要將積分函數(shù)和上述限定作自變元。同層函數(shù)又可以劃分為第一層函數(shù)和第二層函數(shù)。例如，F(xiàn)（f[1]）是這樣一個(gè)第二層函數(shù)，這里“F”和“f”指示自變元。

四、結(jié)語

弗雷格在這篇論文中談到“邏輯中稱為概念的東西與我們稱為函數(shù)的東西十分緊密地聯(lián)系在一起。人們確實(shí)可以說，一個(gè)概念是一個(gè)其值總是一個(gè)真值的函數(shù)”。他還談到以專名做自變元的擴(kuò)展，并相應(yīng)地談?wù)摿怂鼈冎g的關(guān)系。但是他的論述基本集中在函數(shù)的性質(zhì)方面。

從形式上講，弗雷格的概念具有的最大特點(diǎn)就是它的不飽和性。這種不飽和性需要用對(duì)象對(duì)其空位進(jìn)行填充，才能夠建立一個(gè)完整的整體。這與數(shù)學(xué)中的函數(shù)非常相似。

從作用上來說，弗雷格的函數(shù)理論對(duì)現(xiàn)代語言哲學(xué)的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)。弗雷格概念理論在概念文字中所做的就是使句子表達(dá)更精確和更普遍，這為語言哲學(xué)分析提供了新的分析方法，為當(dāng)代語言哲學(xué)開辟了一條新道路。

參考文獻(xiàn)：

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[3]張燕京.真與意義——達(dá)米特的語言哲學(xué)[M].保定：河北大學(xué)出版社，2011.

責(zé)任編輯：楊國棟