孫興偉，郭欽元，孟棟軒，韓 煜，楊赫然

(1.沈陽工業(yè)大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870； 2.長慶油田分公司 機械制造總廠，陜西 西安 710201)

0 引言

對于螺桿馬達的型線，要求嚙合副曲線凹凸處過渡光滑，若存在打結(jié)點，將會造成定、轉(zhuǎn)子間的泄漏或干涉[1-2]。

在處理螺桿鉆具廓形光順性的問題上，常用的方法是光順能量法，該方法是在適當?shù)募s束條件下修改控制點，使其應(yīng)變能最小，它是一種全局優(yōu)化方法[3]。該方法十分繁瑣，而且可能改變無需調(diào)整的型值點。針對這一問題，本文提出一種基于遺傳算法的以控制頂點坐標值的變化量作為優(yōu)化變量的局部光順算法，光順后可直接得到新的型值點，有較強的實用性。

1 B樣條曲線擬合算法的實現(xiàn)

1.1 螺桿馬達嚙合原理及嚙合副設(shè)計要求

假設(shè)做平面行星運動的5頭螺桿鉆具如圖1所示。在運動過程中，定轉(zhuǎn)子的嚙合條件是轉(zhuǎn)子與定子頭數(shù)以及導(dǎo)程比為N∶N+1，并且嚙合線連續(xù)[4]。實際工程中，型線精度應(yīng)嚴格遵循設(shè)計要求，避免嚙合過程中的噪聲，減少螺桿馬達的傳動損失[5]。

圖1 螺桿鉆具嚙合圖

1.2 B樣條曲線擬合理論

通過實驗測得一組螺桿鉆具廓形數(shù)據(jù)點Mi，t次B樣條曲線表達式如下[6]:

(1)

其中：Bi,t(u)為定義在節(jié)點矢量u上的基函數(shù)。

1.3 曲率求解和尖點檢測

為了找出螺桿鉆具廓形的不光滑點，將擬合后的樣條曲線表達式作兩次降階處理，分別得到t-1次及t-2次B樣條曲線。通過B樣條曲線的參數(shù)方程可得曲率表達式，將經(jīng)過降次的樣條曲線的坐標值代入曲率表達式中可得到螺桿鉆具廓形曲線的曲率。

通常情況下，如果擬合曲線滿足曲率為局部最大值點或大于某一給定閥值，則認為擬合曲線不光滑，即存在尖點。

2 螺桿鉆具型線的局部光順算法

本文采用遺傳算法對單螺桿鉆具型線進行光順處理。分析中將包括螺桿鉆具型線尖點在內(nèi)的相鄰五點的變動量xj作為染色體，染色體長度為l。

2.1 適應(yīng)度函數(shù)

螺桿鉆具型線設(shè)計的重要指標之一是最大綜合曲率最小，為達到這一目的，應(yīng)盡量加強廓形曲線的光順性，因此，本文將曲線能量和曲率變化作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，構(gòu)造優(yōu)化模型如下：

(2)

適應(yīng)度函數(shù)反映個體優(yōu)劣性，適應(yīng)度函數(shù)越小說明個體越優(yōu)，螺桿鉆具廓形曲線能量較小且曲率變化均勻。

2.2 遺傳操作

為實現(xiàn)選出優(yōu)良染色體的目標，比較變動后的型值點與原型值點的個體適應(yīng)度值，并按照降序排列，選出與種群數(shù)相同數(shù)量的最優(yōu)個體進行下一步的遺傳操作[7]。采用線性交叉和高斯變異法對父代染色體進行遺傳操作，形成新一代種群。

3 仿真實驗結(jié)果和分析

3.1 實驗結(jié)果

測量螺桿鉆具截面上的點，得出一組定子外徑為172 mm的5頭轉(zhuǎn)子半個周期的99個數(shù)據(jù)，用B樣條曲線擬合得到的截面半周期廓形曲線如圖2所示。根據(jù)1.3節(jié)中的的曲率求解算法進行尖點檢測，結(jié)果如圖3所示，在橫坐標為41.592 mm處曲線曲率為局部最大值，導(dǎo)致型線不光順。

圖2截面的半周期廓形曲線圖3擬合曲線曲率

遺傳算法中，變異操作與交叉操作是進化中生成新種群的重要手段，如果概率太小，會丟失種群的多樣性；概率太大，容易破壞有利模。因此變異概率一般取0.1～0.4，此時算法的魯棒性和收斂性最好，本文取變異概率pm=0.2；交叉概率一般取0.4～0.9，本文取交叉概率pc=0.7。確定種群規(guī)模為30，光順容差ε=0.08，利用遺傳算法對螺桿鉆具型線進行優(yōu)化，圖4為光順前后的廓形，圖5為優(yōu)化后的型線曲率。

圖4 優(yōu)化前后廊形對比

螺桿鉆具型線的凹凸曲線過渡處存在曲率變化，由圖5可看出，優(yōu)化后的螺桿鉆具型線曲率在-2～2之間，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算此時的曲線能量。優(yōu)化前后螺桿鉆具廓形曲線的坐標點及能量變化如表1所示。

圖5 優(yōu)化后型線曲率

從表1中可以看出：光順后螺桿鉆具型線的能量小于光順前的型線能量，說明優(yōu)化后的曲線光順性較好。

表1 優(yōu)化前后螺桿鉆具廓形曲線型值點及能量變化

3.2 螺桿鉆具嚙合性能分析

如圖6和圖7所示，在未優(yōu)化之前，螺桿鉆具嚙合點個數(shù)是1 826，優(yōu)化后的嚙合點個數(shù)為1 872，較優(yōu)化前明顯增多，說明本文所使用的算法可以提高螺桿鉆具的密封性，改善螺桿滲油情況，增加鉆具使用壽命。

圖6優(yōu)化前嚙合情況圖7優(yōu)化后嚙合情況

4 結(jié)語

本文以型值點坐標值的變化量作為優(yōu)化變量，運用能量及曲率最小原理，結(jié)合遺傳算法直接得到光順的型值點。通過對實例的研究分析可知，優(yōu)化后的螺桿鉆具廓形曲線能量減小，嚙合點數(shù)增加，說明本文提出的遺傳算法能夠有效解決廓形曲線不光滑的問題，是一種準確有效的算法。