姜洪奎，王樂源，劉 濤，魯苑凱，徐加壘

(山東建筑大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101)

0 引言

雙圓弧滾道型面使?jié)L珠絲杠副傳動(dòng)效率、承載能力、剛度等性能更加穩(wěn)定，是滾珠絲杠副廣泛采用的滾道截型，但是由于這種型面加工誤差不易控制，使得滾珠絲杠的彈性接觸角不容易控制，影響了滾珠絲杠的承載能力和傳動(dòng)精度。在實(shí)際裝配過程中，需要根據(jù)實(shí)際加工情況對(duì)絲杠滾道、螺母滾道或滾珠直徑進(jìn)行測量，并選擇恰當(dāng)?shù)倪x配方式，按照最優(yōu)接觸角的方法進(jìn)行裝配。因此滾珠絲杠副彈性接觸角計(jì)算模型成為影響裝配質(zhì)量好壞的決定因素。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)滾珠絲杠副接觸角進(jìn)行了大量的研究，Lin[1]建立了滾珠絲杠副動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)滾珠絲杠接觸點(diǎn)的滑移速度與接觸角的關(guān)系進(jìn)行了研究，指出接觸角的大小會(huì)隨轉(zhuǎn)速的不同而發(fā)生變化，為滾珠絲杠副動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)分析奠定了理論基礎(chǔ)；趙訓(xùn)貴[2]建立了預(yù)緊載荷作用下滾珠的變形協(xié)調(diào)公式，并對(duì)彈性變形接觸角的影響因素進(jìn)行了微分析，從而得出制造誤差對(duì)彈性變形接觸角的影響，但是這一計(jì)算模型的前提是升角不能太大，且彈性接觸角最優(yōu)值只能為45°；劉更[3]建立了動(dòng)態(tài)接觸變形求解模型，分析了軸向載荷、絲杠轉(zhuǎn)速、接觸角和螺旋角對(duì)滾珠絲杠副接觸特性的影響，發(fā)現(xiàn)隨著轉(zhuǎn)速的變化，螺母側(cè)與絲杠側(cè)的接觸變形并不相同；李夢奇[4]基于赫茲理論和滾道控制理論建立了滾珠絲杠動(dòng)態(tài)接觸角模型，得到了面向結(jié)構(gòu)參數(shù)的接觸角非線性方程組，給出了采用Newton-Raphson法進(jìn)行迭代求解的流程。以上的計(jì)算模型有效地分析了相應(yīng)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)接觸角的影響，基本忽略了裝配過程中徑向間隙因素。

本文針對(duì)滾珠絲杠副實(shí)際接觸角計(jì)算困難的問題，考慮滾珠絲杠副在實(shí)際裝配中滾道截型磨削誤差、徑向間隙等因素，建立了通用的滾珠絲杠副彈性接觸角的計(jì)算模型，并由此設(shè)計(jì)出滾珠絲杠副輔助裝配軟件，能夠根據(jù)不同裝配方式及所提供的參數(shù)給出選配后滾珠絲杠副的彈性接觸角。

1 彈性接觸角計(jì)算模型

本文所研究的對(duì)象是非理想滾道的雙螺母滾珠絲杠副，因此假設(shè)在滾珠與兩側(cè)滾道發(fā)生彈性變形之前螺母側(cè)滾道沿軸向平動(dòng)，絲杠側(cè)滾道固定不動(dòng)。建立如圖1所示的坐標(biāo)系，位置1、位置2為滾珠與滾道消除徑向間隙前的極限位置。以滾珠中心在徑向的最低點(diǎn)Oos作為坐標(biāo)原點(diǎn)，法截面的對(duì)稱線為y軸，與y軸相垂直的軸為x軸。考慮徑向間隙的存在，滾珠中心在徑向的最高點(diǎn)為Oon，點(diǎn)Oos與點(diǎn)Oon在y軸的距離為徑向間隙的一半，即Sd/2，Sd為徑向間隙。設(shè)絲杠側(cè)左半外圓曲率中心為Os，螺母發(fā)生平動(dòng)以前的滾珠螺母側(cè)右半外圓曲率中心為On，發(fā)生平動(dòng)后螺母側(cè)右半外圓曲率中心為On′，平動(dòng)距離為δa。滾珠在位置1處與螺母滾道之間的接觸角為設(shè)計(jì)接觸角αn，在位置2處與滾道之間的接觸角為設(shè)計(jì)接觸角αs。螺母發(fā)生平動(dòng)時(shí)，滾珠與螺母滾道始終相切，因此其中心軌跡為以點(diǎn)On′為圓心、以rn-rb為半徑的圓，rn為螺母滾道半徑，rb為滾珠半徑；滾珠與絲杠滾道始終相切，滾珠中心的軌跡為以點(diǎn)Os為圓心、以rs-rb為半徑的圓，rs為絲杠滾道半徑。絲杠發(fā)生變形前，滾珠與兩側(cè)滾道同時(shí)接觸達(dá)到力平衡，因此滾珠中心的位置Oo位于兩個(gè)圓的交點(diǎn)處，且與兩圓的中心Os和On′共線，即兩圓的相切點(diǎn)。本文取rs=rn=ra×rb，ra為滾道適應(yīng)比。

圖1 消除徑向間隙前后滾珠與滾道幾何關(guān)系

預(yù)載后滾珠與滾道之間的彈性變形協(xié)調(diào)幾何關(guān)系如圖2所示，在軸向預(yù)緊載荷的作用下，絲杠側(cè)滾道左半外圓曲率中心由Os移動(dòng)到Os′，螺母側(cè)滾道右半外圓曲率中心由On移動(dòng)到On′，滾珠幾何中心由原來的Oo移動(dòng)到Oo′，達(dá)到平衡狀態(tài)后滾珠與滾道之間的彈性變形接觸角為α，絲杠側(cè)滾道和螺母側(cè)滾道的軸向位移分別為δas和δan，絲杠側(cè)滾道和螺母側(cè)滾道的法向變形量分別為δns和δnn。

圖2 預(yù)載后滾珠與滾道之間的彈性變形協(xié)調(diào)幾何關(guān)系

根據(jù)圖2所示的幾何關(guān)系可知，預(yù)載后滾珠絲杠彈性變形接觸角等于滾珠螺母彈性變形接觸角，以α表示。滾珠絲杠彈性變形接觸角α為:

(1)

由式(1)可以看出，只要求出滾珠與兩側(cè)滾道的法向變形量和δ(δ=δns+δnn)就可以得出彈性變形接觸角α。

由于軸承鋼是滾珠絲杠副常用的材料，根據(jù)赫茲理論[5-6]可得出滾珠與滾道之間的法向變形量δns和δnn為：

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，單個(gè)滾珠承受的法向載荷Qi的計(jì)算公式為:

(3)

其中：Fa為絲杠副所承受的軸向預(yù)緊載荷，F(xiàn)a=k×F,F為額定載荷，k為額定載荷與軸向預(yù)緊載荷的換算系數(shù)；z為單個(gè)螺母內(nèi)的承載滾珠個(gè)數(shù)；λ為螺旋升角。忽略重力對(duì)滾珠平衡狀態(tài)的影響，滾珠在兩側(cè)滾道內(nèi)法向載荷大小相等，即Qn=Qs。

(4)

(5)

2 輔助裝配流程設(shè)計(jì)

滾珠絲杠副的選配方式有選配絲杠、選配螺母、選配滾珠三種。一般情況下，絲杠滾道適應(yīng)比與螺母滾道適應(yīng)比相同，因此選配螺母與選配絲杠的計(jì)算結(jié)果相同，故此處給出選配滾珠和選配螺母兩種裝配方案的設(shè)計(jì)流程圖，如圖3所示。

圖3 滾珠絲杠副輔助裝配方案設(shè)計(jì)流程

公稱直徑、導(dǎo)程、額定載荷、滾珠直徑、單螺母滾珠數(shù)等為公稱參數(shù)，實(shí)際接觸角為性能參數(shù)，滾道接觸角、法向變形量和、滾道適應(yīng)比、徑向間隙為選配滾道參數(shù)，這三類參數(shù)為輔助裝配軟件面板設(shè)計(jì)的參數(shù)，精確度不在面板設(shè)計(jì)中顯示，但是可在程序中修改。

3 實(shí)例計(jì)算

以濟(jì)寧絲杠廠的3210雙螺母滾珠絲杠副為例進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，采用已知絲杠選配螺母的裝配方式。設(shè)最優(yōu)實(shí)際接觸角α=45°，鋼球直徑rb=5.953 mm，滾道適應(yīng)比ra=0.535，徑向間隙Sd=0.04 mm，絲杠滾道接觸角αs=39°，法向變形量和δ=0.006 9 mm，單螺母內(nèi)滾珠數(shù)z=68個(gè)。因滾珠絲杠裝配過程中需要使用墊片對(duì)滾珠絲杠施加預(yù)緊力，因此添加公稱直徑(即絲杠外徑)d=32 mm和額定載荷F=2 500 N，作實(shí)際預(yù)緊力、預(yù)緊系數(shù)及墊片厚度的計(jì)算，因其計(jì)算是較為簡單的力的計(jì)算問題，在文中不再解釋。軟件優(yōu)化基本參數(shù)輸入界面如圖4所示，實(shí)例計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖4 基本參數(shù)輸入界面

參數(shù)理論最佳值實(shí)際加工值實(shí)際接觸角(°)4545.069 5墊片厚度(mm)10.063 810.127 4預(yù)緊力(N)5 773.485 773.45預(yù)緊系數(shù)2.309 392.309 38螺母滾道接觸角(°)40.845 641

當(dāng)絲杠滾道接觸角為39°時(shí)，由表1可知，為了使實(shí)際接觸角達(dá)到目標(biāo)接觸角45°，需要選配螺母滾道接觸角為40.854 6°，此時(shí)墊片厚度為10.063 8 mm，預(yù)緊系數(shù)為2.309 39，預(yù)緊力為5 773.48 N。由于加工過程中的精度限制，實(shí)際加工參數(shù)與理論最佳參數(shù)存在誤差，在實(shí)際加工過程中，螺母滾道接觸角為41°，此時(shí)實(shí)際接觸角為45.069 5°，墊片厚度為10.127 4 mm，預(yù)緊系數(shù)為2.309 38，預(yù)緊力為5 773.45 N。設(shè)滾珠絲杠定位精度0.02 mm，導(dǎo)程累積誤差0.008 mm，則理論最優(yōu)剛度為60 332 N/mm，圓整最優(yōu)剛度為60 259 N/mm，差距在0.2%內(nèi)，圓整不會(huì)影響滾珠絲杠副的性能。

4 結(jié)論

(1) 該軟件計(jì)算考慮了導(dǎo)程對(duì)實(shí)際接觸角的影響，計(jì)算結(jié)果具有可靠性，可應(yīng)用于滾珠絲杠副的輔助裝配中。

(2) 針對(duì)絲杠與螺母滾道接觸角不對(duì)等的情況，軟件給出了相應(yīng)的接觸角計(jì)算方法，具有更好的應(yīng)用性與適應(yīng)性，更貼合滾珠絲杠的實(shí)際加工與裝配情況。

(3) 軟件可以幫助設(shè)計(jì)人員在開發(fā)原型以及進(jìn)行實(shí)驗(yàn)之前，找到最優(yōu)選配接觸角或滾珠直徑，能選出裝配墊片厚度，且能夠提供實(shí)際預(yù)緊力及預(yù)緊系數(shù)作為裝配參考，防止預(yù)緊參數(shù)過大。