魏 鵬， 王云峰， 楊 勇， 閆莉佳， 徐龍祥

(1.天津市微低重力環(huán)境模擬技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津航天機(jī)電設(shè)備研究所，天津 300458；2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,南京 210016)

主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)由于具有高速旋轉(zhuǎn)、無(wú)機(jī)械摩擦、能耗低、噪聲小、壽命長(zhǎng)、無(wú)需潤(rùn)滑以及無(wú)污染等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工業(yè)以及航空領(lǐng)域[1]。在主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)中，保護(hù)軸承是不可或缺的一部分，其作用是支撐靜止的轉(zhuǎn)子和防止磁懸浮軸承失效導(dǎo)致轉(zhuǎn)子跌落對(duì)系統(tǒng)造成破壞，從而保證系統(tǒng)的可靠性與安全性。轉(zhuǎn)子跌落時(shí)產(chǎn)生劇烈的振動(dòng)、沖擊和發(fā)熱，會(huì)導(dǎo)致保護(hù)軸承的力學(xué)特性的改變甚至損壞，因此研究轉(zhuǎn)子跌落的碰撞力與保護(hù)軸承之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，對(duì)提升磁懸浮軸承系統(tǒng)的可靠性和安全性具有重要意義。

Schweitzer等[2-3]研究了磁懸浮軸承高速轉(zhuǎn)子跌落的沖擊動(dòng)力學(xué)特性，將轉(zhuǎn)子整個(gè)跌落過(guò)程分為自由落體、沖擊碰撞、滑動(dòng)和純滾動(dòng)四個(gè)階段，并分析了保護(hù)間隙、摩擦因數(shù)和保護(hù)軸承阻尼等對(duì)跌落過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。Hunt等[4]提出了轉(zhuǎn)子與內(nèi)圈的Hunt Crossley碰撞力模型，并給出了兩物體碰撞過(guò)程中的彈性恢復(fù)系數(shù)的確定方法。文獻(xiàn)[5-8]討論了保護(hù)軸承的力學(xué)模型，并就設(shè)計(jì)參數(shù)、跌落初始條件、滑動(dòng)摩擦系數(shù)、保護(hù)間隙大小、不平衡量等因素對(duì)轉(zhuǎn)子跌落后系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響開(kāi)展了研究。Helfert等[9]采用高速攝像技術(shù)從理論和試驗(yàn)兩方面研究了轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的接觸問(wèn)題，通過(guò)建立精確的摩擦力模型和滾動(dòng)軸承模型分析了轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)行為，利用高速攝像技術(shù)捕捉到了轉(zhuǎn)子跌落后保護(hù)軸承的加速過(guò)程，通過(guò)圖像識(shí)別技術(shù)得到了轉(zhuǎn)子、保護(hù)軸承內(nèi)圈和外圈以及滾動(dòng)體各個(gè)時(shí)刻的位移、速度、加速度的分布圖等，進(jìn)而得到了轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承接觸時(shí)摩擦力的大小。Zeng[10]研究表明，當(dāng)轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的振幅達(dá)到了保護(hù)間隙時(shí)，極容易導(dǎo)致保護(hù)軸承的損壞，該文獻(xiàn)提出了幾種可以減小轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上振動(dòng)與沖擊的方法，從而提高了保護(hù)軸承的使用壽命。朱益利等[11]提出在傳統(tǒng)保護(hù)軸承外圈加彈性環(huán)的方式來(lái)提高其在主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)中的工作性能，仿真結(jié)果表明，選用合適的彈性環(huán)有利于降低轉(zhuǎn)子跌落后的振動(dòng)幅值。Fumagalli[12]建立了磁懸浮轉(zhuǎn)子跌落在以石墨環(huán)、鈹青銅環(huán)、銅環(huán)和尼龍環(huán)為固定環(huán)作保護(hù)系統(tǒng)的跌落試驗(yàn)臺(tái)，其中通過(guò)支撐彈簧來(lái)支撐固定環(huán)，試驗(yàn)測(cè)量了跌落過(guò)程中轉(zhuǎn)子軸心軌跡和初次碰撞力的大小，并分析了不同材料對(duì)轉(zhuǎn)子跌落過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

研究表明保護(hù)軸承的損壞主要是由于轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承引起的巨大振動(dòng)與沖擊造成的，但針對(duì)轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的碰撞力大小開(kāi)展的研究較少，本文為了更為準(zhǔn)確的研究轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的動(dòng)力學(xué)行為，建立了轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的非線性碰撞力模型，提出了轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的碰撞力測(cè)量方案，并設(shè)計(jì)了碰撞力測(cè)量裝置，對(duì)不同初始條件下轉(zhuǎn)子跌落試驗(yàn)進(jìn)行了研究，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。以期為新型保護(hù)軸承的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和必要的參考。

1 碰撞力模型

磁懸浮軸承失效后，轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承內(nèi)圈之間的接觸力分為法向碰撞力和切向摩擦力兩部分，其中以法向碰撞力為主。假定轉(zhuǎn)子為剛性，且碰撞過(guò)程中保護(hù)軸承只產(chǎn)生彈性變形。為分析兩者之間的碰撞力，建立轉(zhuǎn)子和保護(hù)軸承內(nèi)圈的力學(xué)模型如圖1所示。其中，F(xiàn)n為法向碰撞力；c為轉(zhuǎn)子與內(nèi)圈之間的接觸阻尼；k為轉(zhuǎn)子與內(nèi)圈之間的接觸剛度；x為轉(zhuǎn)子與內(nèi)圈之間的徑向相對(duì)位移。

圖1 轉(zhuǎn)子和保護(hù)軸承系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 The mechanical model of rotor and the protection of bearing system

圖2 法向碰撞力與位移關(guān)系Fig.2 Relationship between normal contact force and displacement

式中:Fe,Fd為彈性力，阻尼力；α為引入的阻尼系數(shù)。

根據(jù)Hertz接觸理論[13-14]，對(duì)于點(diǎn)接觸，兩物體碰撞的彈性力取Fe=kx3/2；對(duì)于線接觸，兩物體碰撞的彈性力取Fe=kx10/9，轉(zhuǎn)子跌落后與保護(hù)軸承內(nèi)圈的碰撞接觸屬于線接觸，取n=10/9。于是得到轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上與保護(hù)軸承內(nèi)圈發(fā)生碰撞接觸的非線性碰撞力數(shù)學(xué)模型為

(2)

由式(2)可以列出轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的系統(tǒng)等效動(dòng)力學(xué)方程

(3)

式中:me為轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的等效質(zhì)量；ke為轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的等效剛度系數(shù)。

2 試驗(yàn)系統(tǒng)

為研究轉(zhuǎn)子跌落與保護(hù)軸承之間的碰撞力，設(shè)計(jì)碰撞力測(cè)量系統(tǒng)圖如圖3所示，主要包括帶有碰撞力測(cè)量裝置的磁懸浮軸承試驗(yàn)臺(tái)、磁懸浮軸承控制器、變頻器、電荷放大器、動(dòng)態(tài)信號(hào)采集分析儀、Labview數(shù)據(jù)采集儀、控制計(jì)算機(jī)及附屬元件等部分。圖4給出了整個(gè)碰撞力測(cè)量試驗(yàn)過(guò)程中所用到的試驗(yàn)裝置。

圖3 轉(zhuǎn)子跌落試驗(yàn)原理圖Fig.3 The schematic diagram of rotor drop test

圖4 轉(zhuǎn)子跌落整體試驗(yàn)裝置Fig.4 The test device of rotor drop

為測(cè)量碰撞力，設(shè)計(jì)測(cè)量裝置如圖5所示，該裝置是整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的核心，包含有轉(zhuǎn)子、保護(hù)軸承、支撐環(huán)、軸承座、兩個(gè)正交安裝的壓電式加速度傳感器、四個(gè)對(duì)稱安裝的支撐彈簧、調(diào)位螺釘和鎖緊螺母組成。其中保護(hù)軸承型號(hào)為HRB61801；調(diào)位螺釘、鎖緊螺母和支撐彈簧用于保證碰撞力測(cè)量裝置與轉(zhuǎn)子的同軸度，通過(guò)軸承座來(lái)保證測(cè)力保護(hù)軸承的位置；兩個(gè)正交安裝的壓電式加速度傳感器用于測(cè)量轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)；通過(guò)磁懸浮軸承系統(tǒng)內(nèi)置的電渦流位移傳感器測(cè)量轉(zhuǎn)子的徑向位移。轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮時(shí)，轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承之間的徑向間隙為0.125 mm，轉(zhuǎn)子與徑向磁軸承之間的間隙為0.4 mm，根據(jù)支撐彈簧的剛度確定該碰撞力測(cè)量裝置可以測(cè)量最大值不超過(guò)200 N的沖擊力。碰撞力測(cè)量裝置基本參數(shù)，如表1所示。

1. 加速度傳感器 2. 軸承座 3. 保護(hù)軸承 4. 支撐環(huán)5. 支撐彈簧 6. 鎖緊螺母 7. 調(diào)位螺釘

表1 碰撞力測(cè)量裝置參數(shù)表Tab.1 Parameters of contact force measuring device

碰撞力測(cè)量裝置中的加速度傳感器固定在支撐環(huán)底部，轉(zhuǎn)子跌落后與保護(hù)軸承發(fā)生碰撞，進(jìn)而引起支撐環(huán)的振動(dòng)，通過(guò)加速度傳感器測(cè)量轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)。碰撞力測(cè)量裝置中支撐環(huán)由四根尺寸和剛度完全相同的彈簧支撐，其模型可簡(jiǎn)化為圖6的形式，當(dāng)支撐彈簧的剛度k3取的相對(duì)較大(k3>k2)時(shí)，轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)振動(dòng)的加速度信號(hào)只能通過(guò)支撐環(huán)的彈性變形來(lái)測(cè)量，同時(shí)來(lái)自基座的噪聲也引入到加速度信號(hào)中；當(dāng)支撐彈簧的剛度k3取的相對(duì)較小(k3

圖6 支撐剛度模型Fig.6 The model of bracing stiffness

3 轉(zhuǎn)子跌落測(cè)試

轉(zhuǎn)子跌落試驗(yàn)之前，必需對(duì)碰撞力測(cè)量裝置進(jìn)行標(biāo)定，然后利用標(biāo)定好的測(cè)量裝置進(jìn)行碰撞力測(cè)試。

3.1 測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定

由于碰撞力測(cè)量裝置本身的非線性影響，用不同大小的沖擊力對(duì)碰撞力測(cè)量裝置進(jìn)行標(biāo)定時(shí)得到的傳遞關(guān)系會(huì)發(fā)生改變。為了減小非線性影響，將沖擊力劃分為(0,50 N)、(50 N,80 N)、(80 N,110 N)、(110 N,140 N)、(140 N,170 N)、(170 N,200 N)六個(gè)區(qū)間,在每個(gè)沖擊力區(qū)間內(nèi)碰撞力測(cè)量裝置的傳遞關(guān)系近似線性，滿足關(guān)系：

Xi(ω)=Hi(ω)Fi(ω),i=1,2,…,n

(4)

式中:Xi(ω)、Hi(ω)、Fi(ω)分別為頻域內(nèi)區(qū)段i的系統(tǒng)響應(yīng)、傳遞函數(shù)、和頻域力錘敲擊力，n為劃定的區(qū)段數(shù)。

標(biāo)定時(shí)用力錘分別沿垂向和水平方向以不同幅值的力敲擊保護(hù)軸承，然后采集力合加速度信號(hào)以得到其傳遞關(guān)系。

系統(tǒng)帶寬設(shè)置為0～20 kHz，碰撞力測(cè)量裝置在豎直方向不同沖擊力區(qū)間上的傳遞函數(shù)，如圖7所示，不同沖擊力區(qū)間上沖擊力與加速度最大值關(guān)系如圖8所示。

圖7 測(cè)量裝置豎直方向不同沖擊力區(qū)間上的傳遞函數(shù)Fig.7 Transfer function of different impact forces in vertical direction of measuring device

圖8 豎直方向不同力區(qū)間沖擊力與加速度最大值關(guān)系Fig.8 The relationship between different impact forces and the maximum acceleration in vertical direction

測(cè)試轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的碰撞力時(shí)，首先根據(jù)轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度最大值參照?qǐng)D8確定碰撞力區(qū)間，進(jìn)而確定傳遞函數(shù)Hj(ω)，然后根據(jù)式(5)求解得到碰撞力值。

(5)

圖9 水平分力Fx實(shí)測(cè)與標(biāo)定值對(duì)比Fig.9 The comparison of Fx from test results and calibration

圖10 豎向分力Fy實(shí)測(cè)與標(biāo)定值對(duì)比Fig.10 The comparison of Fy from test results and calibration

3.2 跌落碰撞試驗(yàn)

當(dāng)磁懸浮軸承系統(tǒng)正常工作時(shí)，轉(zhuǎn)子不與保護(hù)軸承接觸，通過(guò)變頻器控制電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子在某一轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)。進(jìn)行轉(zhuǎn)子跌落試驗(yàn)時(shí)，同時(shí)切斷變頻器電源和磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制器，轉(zhuǎn)子將以初始轉(zhuǎn)速開(kāi)始跌落，并與保護(hù)軸承發(fā)生碰撞。通過(guò)加速度傳感器測(cè)量轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)，轉(zhuǎn)子軸心位移可以通過(guò)系統(tǒng)中的四個(gè)徑向電渦流位移傳感器測(cè)得，加速度信號(hào)和位移信號(hào)均通過(guò)Labview數(shù)據(jù)采集儀采集。

試驗(yàn)時(shí)，令轉(zhuǎn)子分別以60 Hz、100 Hz、150 Hz和200 Hz的頻率轉(zhuǎn)動(dòng)，并分別進(jìn)行跌落試驗(yàn)，跌落后1.0 s內(nèi)測(cè)得支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)如圖9所示，通過(guò)四個(gè)電渦流位移傳感器合成轉(zhuǎn)子跌落后0.2 s內(nèi)的軸心軌跡，如圖10所示。

由圖11(a)～(d)可見(jiàn)隨著轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)速不斷升高，轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)不斷增大，表明轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)速越高，轉(zhuǎn)子跌落后保護(hù)軸承受到的振動(dòng)沖擊越大。其中轉(zhuǎn)子以初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率200 Hz跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度最大值達(dá)到了655.87 m/s2，峰峰值達(dá)到了1 380.09 m/s2；另一方面，支撐環(huán)振動(dòng)加速度信號(hào)的最大值均出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子開(kāi)始跌落后的0.1 s范圍內(nèi)，結(jié)果表明轉(zhuǎn)子跌落后0.1 s范圍內(nèi)，保護(hù)軸承受到的振動(dòng)和沖擊達(dá)到最大值，但并非出現(xiàn)在初次碰撞時(shí)；在轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率小于100 Hz時(shí)，轉(zhuǎn)子跌落后產(chǎn)生劇烈振動(dòng)的加速度信號(hào)主要在轉(zhuǎn)子開(kāi)始跌落后0.2 s范圍內(nèi)；隨著轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)速不斷升高，轉(zhuǎn)子跌落后劇烈振動(dòng)的加速度信號(hào)持續(xù)時(shí)間不斷延長(zhǎng)。

圖11 轉(zhuǎn)子不同初始轉(zhuǎn)速跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)Fig.11 The vibration acceleration signal of the support ring after different initial rotor speed drop

由圖12可見(jiàn)磁懸浮系統(tǒng)失效后轉(zhuǎn)子并不是馬上就跌落在保護(hù)軸承上，由于轉(zhuǎn)子本身存在一定的不平衡量，在不平衡力的作用下轉(zhuǎn)子首先繞保護(hù)軸承中心旋轉(zhuǎn)，然后與保護(hù)軸承發(fā)生碰撞；隨著轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)速不斷升高，轉(zhuǎn)子跌落后更易于出現(xiàn)渦動(dòng)現(xiàn)象。

圖12 轉(zhuǎn)子不同初始轉(zhuǎn)速跌落后的軸心軌跡Fig.12 Trajectories of rotor with different initial speed drop

以上轉(zhuǎn)子跌落試驗(yàn)在每個(gè)初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率下分別進(jìn)行了三次，轉(zhuǎn)子以低于100 Hz的初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率跌落后主要表現(xiàn)為沖擊彈跳和底部振蕩，未出現(xiàn)渦動(dòng)現(xiàn)象；轉(zhuǎn)子以初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率150 Hz跌落后出現(xiàn)了一次渦動(dòng)現(xiàn)象，且跌落后渦動(dòng)僅持續(xù)了兩圈；以初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率200 Hz跌落后轉(zhuǎn)子三次均出現(xiàn)了渦動(dòng)現(xiàn)象，其中一次還出現(xiàn)了反向渦動(dòng)，如圖12(d)所示，其余產(chǎn)生的渦動(dòng)現(xiàn)象均為正向渦動(dòng)。

為了驗(yàn)證不平衡量對(duì)轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，試驗(yàn)中采用在轉(zhuǎn)子上附加不平衡螺釘?shù)淖龇ㄒ愿淖冝D(zhuǎn)子的動(dòng)平衡等級(jí)，在距離轉(zhuǎn)子軸心15 mm處旋入質(zhì)量為0.8 g的螺釘，相當(dāng)于動(dòng)平衡等級(jí)G6.3。分別對(duì)平衡轉(zhuǎn)子和動(dòng)平衡等級(jí)G6.3的不平衡轉(zhuǎn)子在初始轉(zhuǎn)動(dòng)頻率100 Hz下進(jìn)行跌落試驗(yàn)，測(cè)量轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)和轉(zhuǎn)子軸心軌跡。平衡轉(zhuǎn)子和不平衡轉(zhuǎn)子跌落后1.0 s內(nèi)支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)如圖13所示，跌落后0.2 s內(nèi)兩種轉(zhuǎn)子的軸心軌跡，如圖14所示。

圖13 不同動(dòng)平衡等級(jí)轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的加速度信號(hào)Fig.13 The acceleration signal of the support ring after different dynamic balance rotor

圖14 不同動(dòng)平衡等級(jí)轉(zhuǎn)子跌落后的軸心軌跡Fig.14 Trajectories of rotor after different dynamic balance rotor

由圖13中兩種轉(zhuǎn)子加速素響應(yīng)信號(hào)對(duì)比可見(jiàn)，由于不平衡量的影響，使得轉(zhuǎn)子跌落后支撐環(huán)的振動(dòng)加速度信號(hào)幅值明顯增大，表明不平衡量的引入使得轉(zhuǎn)子跌落后保護(hù)軸承受到的振動(dòng)沖擊增大。由圖14(b)可壓發(fā)現(xiàn)，由于不平衡量的影響，使得轉(zhuǎn)子跌落后迅速實(shí)現(xiàn)了渦動(dòng)。

3.3 碰撞力模型驗(yàn)證

測(cè)得轉(zhuǎn)子跌落產(chǎn)生的加速度信號(hào)后，利用式(5)即可得到碰撞力的值。為得到完整的轉(zhuǎn)子跌落碰撞動(dòng)力學(xué)模型，以深入研究轉(zhuǎn)子跌落過(guò)程的動(dòng)力學(xué)特性，須對(duì)式(3)中參數(shù)me和ke進(jìn)行識(shí)別。

令轉(zhuǎn)子在設(shè)定工作轉(zhuǎn)速4 500 r/min(75 Hz)時(shí)跌落，測(cè)得1 s內(nèi)轉(zhuǎn)子跌落碰撞的加速度響應(yīng)如圖15所示。加速度響應(yīng)最大值為323.25 m/s2，對(duì)應(yīng)圖8中(80 N,110 N)碰撞力區(qū)間，利用式(5)得到碰撞力如圖16所示，可見(jiàn)，轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的初次碰撞力幅值為73 N，最大恢復(fù)力幅值為136 N。

圖15 75 Hz轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子跌落碰撞加速度響應(yīng)Fig.15 The acceleration response of 75 Hz speed rotor under drop impact

圖16 轉(zhuǎn)子跌落碰撞力Fig.16 The contact force after rotor drop

兩個(gè)具有規(guī)則形狀的物體發(fā)生簡(jiǎn)單碰撞時(shí)，滿足關(guān)系：

vo=εvi

(6)

式中：vo表示碰撞后的相對(duì)速度；vi表示碰撞前的相對(duì)速度；ε為彈性恢復(fù)系數(shù)。

通常彈性材料在低速范圍內(nèi)(小于0.5 m/s)滿足線彈性變化，即：

ε=1-αvi

(7)

由加速度傳感器測(cè)得轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承第一次碰撞的接觸時(shí)間為3.8 ms，由電渦流位移傳感器測(cè)得轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移，對(duì)位移進(jìn)行微分處理，得到轉(zhuǎn)子跌落后第一次與保護(hù)軸承碰撞之前的沖擊速度為0.049 5 m/s，碰撞之后的初始反彈速度為0.035 2 m/s，進(jìn)而可得到轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承碰撞過(guò)程的彈性恢復(fù)系數(shù)ε≈0.7，阻尼系數(shù)α≈6。將系數(shù)α代入公式(3)中，得到僅含有待定參數(shù)me和ke的動(dòng)力學(xué)方程。

考慮到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型具有強(qiáng)非線性，直接辨識(shí)的難度較大，為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文采用先辨識(shí)系統(tǒng)的等效剛度ke，然后在此基礎(chǔ)上辨識(shí)等效質(zhì)量me的策略，將被辨識(shí)的模型等效為線性系統(tǒng)，降低了計(jì)算復(fù)雜度，有利于工程實(shí)用。

辨識(shí)等效剛度時(shí)，將式(2)的碰撞力模型改寫(xiě)為：

F=key

(8)

(9)

式中：Fp=[F1F2…Fp],yp=[y1y2…yp]，分別表示由采集得到的前p個(gè)碰撞力和廣義位移信號(hào)組成的向量。辨識(shí)采用NR-LMS算法[16]，求解過(guò)程為：

F′(n)=ke(n)y(n)

(10)

e(n-1)=F(n-1)-F′(n-1)

(11)

e(n-2)=F(n-2)-F′(n-2)

(12)

(13)

式中：F′(n)為第n個(gè)采樣時(shí)間點(diǎn)碰撞力的估計(jì)值；μ為控制步長(zhǎng)參數(shù)；γ1、γ2和γ3用來(lái)控制3個(gè)時(shí)間步的誤差與輸入乘積對(duì)更新參數(shù)的貢獻(xiàn)。

辨識(shí)等效質(zhì)量me與辨識(shí)ke相似，根據(jù)式(3)將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型改寫(xiě)為：

(14)

取p=10，μ=0.5，γ1=0.6，γ2=0.3，γ3=0.1，辨識(shí)ke和me的迭代過(guò)程如圖17和18所示，可見(jiàn)，等效剛度收斂于1.2×106N/m10/9，等效質(zhì)量收斂于0.55 kg，收斂精度不小于95%。

圖17 等效剛度ke迭代情況Fig.17 The iteration of equivalent stiffness ke

圖18 等效質(zhì)量me迭代情況Fig.18 The iteration of equivalent mass me

圖19 模型與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.19 The comparison of model and test results

4 結(jié) 論

本文基于Hertz接觸理論，建立了磁懸浮系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子跌落后與保護(hù)軸承之間的非線性碰撞力模型和系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型；設(shè)計(jì)了碰撞力測(cè)量裝置，對(duì)不同初始條件下轉(zhuǎn)子跌落進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中等效質(zhì)量和等效剛度參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)。

本文試驗(yàn)結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)速和不平衡量的值越高，轉(zhuǎn)子跌落后保護(hù)軸承受到的振動(dòng)沖擊越大，越容易出現(xiàn)渦動(dòng)現(xiàn)象；轉(zhuǎn)子跌落后0.1 s范圍內(nèi)，保護(hù)軸承受到的振動(dòng)和沖擊達(dá)到最大值，但并非出現(xiàn)在初次碰撞時(shí)；利用試驗(yàn)測(cè)得位移數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并將模型得到的碰撞力與實(shí)測(cè)碰撞力對(duì)比，證明了模型的有效性。

考慮到轉(zhuǎn)子跌落在保護(hù)軸承上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是一個(gè)高度非線性的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，該非線性的動(dòng)力學(xué)過(guò)程受多方面因素的影響，須在后續(xù)的工作中進(jìn)一步研究。