郭懷攀, 李 昊, 陳衛(wèi)東, 周徐斌

(1. 南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室, 南京 210016；2. 上海衛(wèi)星工程研究所, 上海 200240)

雙穩(wěn)定層板是一種具有兩種穩(wěn)定構(gòu)型的非對稱鋪設(shè)復(fù)合材料層板結(jié)構(gòu)[9-11]，因其在構(gòu)型轉(zhuǎn)變過程中顯示出非線性及負(fù)剛度特性，有學(xué)者開始研究用其作為負(fù)剛度機構(gòu)，構(gòu)建準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，Shaw等[12]發(fā)現(xiàn)使用雙穩(wěn)定層板可以減小隔振結(jié)構(gòu)的固有頻率而不降低結(jié)構(gòu)的承載能力。陸澤琦[13]系統(tǒng)的研究了雙穩(wěn)定層板的負(fù)剛度特性，并將其引入雙層隔振系統(tǒng)進行試驗研究，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中加入雙穩(wěn)定層板后能改善系統(tǒng)的隔振性能。

本文利用理論和有限元方法研究了正交鋪設(shè)復(fù)合材料層板的非線性特性。通過分析及設(shè)計，使得正交非對稱層板具有準(zhǔn)零剛度特性。采用準(zhǔn)零剛度正交非對稱層板作為隔振器進行隔振研究，預(yù)測其隔振效率，并與線性隔振系統(tǒng)進行比較。探究將其運用于衛(wèi)星微振動控制的可行性。

1 理論模型

雙穩(wěn)定層板為非對稱鋪層，層板在制造溫度時板為平板構(gòu)型，由于預(yù)浸料在垂直纖維方向的熱膨脹系數(shù)與沿纖維方向熱膨脹系數(shù)的不同，在層板冷卻至室溫過程中，垂直纖維方向與沿纖維方向均產(chǎn)生殘余熱應(yīng)力，層板在殘余熱應(yīng)力作用下產(chǎn)生固化變形。圖1所示為正交鋪設(shè)層板中殘余熱應(yīng)力在垂直纖維方向與沿纖維方向的單位長度的截面內(nèi)的合力與合彎矩。

圖1 正交層板中殘余熱應(yīng)力的合力與合彎矩示意圖Fig.1 Sketch map of resultant force and resultant moment of residual thermal stress in cross-ply laminates

假設(shè)層板中心固定限制其平動及轉(zhuǎn)動。利用Hamilton法則Lagrangian方程的一階變分在時間上的積分為零建立層合板動力學(xué)模型。

(1)

式中：T為板的動能；∏為板的總勢能；WF為外力對板做的功。

1.1 層合板總勢能

正交鋪設(shè)雙穩(wěn)定層板的坐標(biāo)系如圖2所示，坐標(biāo)系的原點為層板中心點，坐標(biāo)主軸與層板邊緣平行。層板鋪設(shè)以中心面(即坐標(biāo)軸xoy面)為分界中心面以下為0°鋪層，以上為90°鋪層，0°鋪層與90°鋪層厚度相等，文中所描述層合板厚度均為層合板總厚度。

(a)非穩(wěn)定構(gòu)型 (b)穩(wěn)定構(gòu)型1 (c)穩(wěn)定構(gòu)型2圖2 正交鋪設(shè)雙穩(wěn)定層板坐標(biāo)示意圖Fig.2 Cartesian coordinate system for cross-ply bistable laminate

根據(jù)Kirchhoff假設(shè)，可得到雙穩(wěn)定層板面內(nèi)應(yīng)變表達式為

(2)

(3)

因為雙穩(wěn)定層板的大變形，在計算其中心面應(yīng)變時需引入von Karman幾何非線性假設(shè)，得到雙穩(wěn)定層板的中心面應(yīng)變表達式為

(4)

考慮殘余熱應(yīng)力影響，層板每一各向異性層(如第k層)的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系在層合板坐標(biāo)系下的表達式為

(5)

聯(lián)立式(2)、(4)并在層合板厚度方向上積分，可以得到層合板單位長度上的合力與合力矩。

(6)

(7)

式(6)、(7)可以改寫為：

(8)

式中:A、B、D矩陣分別為層板的拉伸剛度矩陣、拉彎耦合剛度矩陣以及彎曲剛度矩陣：

(9)

Nt和Mt分別為層合板的殘余熱應(yīng)力在層合板厚度方向上積分得到的合力和合彎矩:

(10)

最后，層合板的總勢能可寫為：

(11)

式中:Lx和Ly分別為層合板的平面尺寸。

因為層合板為非對稱鋪層，層合板內(nèi)部存在拉彎耦合，因此,層合板中心面上的應(yīng)變包含薄膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變。由式(9)可知，層合板的拉伸剛度矩陣與層合板厚度方向上坐標(biāo)零點的位置無關(guān)，可得層合板在截面上的合力與薄膜應(yīng)變的關(guān)系為：

N=Aεm

(12)

式中:εm為層合板的薄膜應(yīng)變，聯(lián)立式(12)與式(8)，可以得到層合板的薄膜應(yīng)變與中心面應(yīng)變之間的關(guān)系式為

ε0=εm-A-1BK+A-1Nt

(13)

對于正交鋪設(shè)層合板，其彎曲方向與坐標(biāo)軸平行，結(jié)合邊界條件以及層合板變形的對稱性特點，可假設(shè)正交鋪設(shè)層合板的面外位移函數(shù)為：

w=ax2+by2+a1x4+b1y4+
a2x6+b2y6+ex2y2

(14)

式中:ai，bi，e為未知參數(shù)，則可求得層合板彎曲曲率為：

(15)

假設(shè)層合板的薄膜應(yīng)變形式為：

(16)

式中:ci，di為未知參數(shù)。將式(16)代入式(13)可得到層合板的中心面應(yīng)變，對層合板中心面應(yīng)變積分可得到層合板中心面面內(nèi)位移函數(shù)，聯(lián)立式(14)可求得層合板的中心面剪切應(yīng)變。

1.2 外力做功

為了驅(qū)動雙穩(wěn)定層合板從一種穩(wěn)態(tài)跳變到另一種穩(wěn)態(tài)，需要雙穩(wěn)定對層合板施加驅(qū)動力，學(xué)者們研究了利用形態(tài)記憶合金[14]，壓電智能材料[15]以及施加集中載荷[16]等方法驅(qū)動雙穩(wěn)定層合板跳變。本文中在雙穩(wěn)定層合板四個角點施加集中載荷驅(qū)動雙穩(wěn)定層合板跳變。在這種驅(qū)動方式下外力做功為：

(17)

式中:f為每個角點作用的集中力。

1.3 層合板總動能

層合板中心固定，忽略面外轉(zhuǎn)動，可得到正交鋪設(shè)層合板總動能表達式為：

(18)

層合板的總動能的一階變分在時間上的積分為：

(19)

化簡式(19)可得，

(20)

1.4 構(gòu)型預(yù)測

根據(jù)最小能量原理，可以預(yù)測雙穩(wěn)定層合板在殘余熱應(yīng)力以及驅(qū)動載荷作用下的靜態(tài)構(gòu)型，雙穩(wěn)定層合板靜態(tài)構(gòu)型預(yù)測表達式為：

δWF-δ=0

(21)

聯(lián)立式(2)、式(17)代入式(21)可得到，

(22)

當(dāng)式(22)中每一項都等于0時，將得到一組關(guān)于未知參數(shù)ai，bi，ci，di，e的非線性方程組(23)：

(23)

因為fci，fdi為關(guān)于未知參數(shù)ci，di的線性方程，則ci，di可以用關(guān)于未知參數(shù)ai，bi，e的方程表示，則方程組(23)可簡化為7個非線性方程,得到方程組(24)：

K(X)-F(X)=0

(24)

式中：

(25)

方程組(24)的解對應(yīng)雙穩(wěn)定層板的平衡構(gòu)型，通常方程組(24)存在多組解，對于雙穩(wěn)定層板的穩(wěn)定構(gòu)型，Jacobian矩陣(26)必須為正定矩陣：

(26)

1.5 動力學(xué)方程

將雙穩(wěn)定層合板的總勢能、總動能以及外力做功代入方程(1)化簡，可得到雙穩(wěn)定層合板運動的動力學(xué)方程。

(27)

式中:M為雙穩(wěn)定層合板的質(zhì)量矩陣，可通過式(20)求得。F(X,t)表示式(17)中的角點集中力隨時間變化。在理論模型中為了考慮阻尼影響，假設(shè)了Rayleigh阻尼，由于本文主要研究層板在較低頻率下的振動響應(yīng)，可假設(shè)層合板的剛度阻尼系數(shù)為0，則層合板的阻尼形式為：

(28)

式中:α為層合板的質(zhì)量阻尼系數(shù)。

2 靜力分析

層板所用材料體系為CCF300/5428，0°和90°鋪層厚度相同，材料參數(shù)見表格1。層板的固化溫度為140℃，假設(shè)室溫為20℃，則層板從固化溫度到室溫的溫度差為ΔT=-120℃。

表1 CCF300/5428材料參數(shù)Tab.1 Material properities of the CCF300/5428

2.1 構(gòu)型預(yù)測

利用ABAQUS中殼單元建立100 mm×100 mm正方形正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)定層板的有限元模型，約束層板中心的位移和轉(zhuǎn)動。在第一個靜態(tài)分析步內(nèi)將溫度場從層板固化溫度冷卻到室溫，結(jié)果顯示層合板構(gòu)型為非穩(wěn)定的馬鞍面構(gòu)型。為了得到層合板的穩(wěn)定構(gòu)型，重啟靜態(tài)分析步在層合板四個角點施加沿z軸方向的微小集中載荷，第二靜態(tài)分析步結(jié)束后，再次進行靜力學(xué)分析去除在層合板角點施加的載荷，即可得到無外載荷作用下雙穩(wěn)定層合板的穩(wěn)定構(gòu)型，改變載荷沿z軸的正負(fù)方向，可得到兩種不同的穩(wěn)定構(gòu)型。改變層合板的厚度，有限元分析及理論計算得到的無外載荷作用下層合板穩(wěn)定狀態(tài)的角點面外位移與層合板厚度關(guān)系曲線如圖3所示。

圖3 正交鋪設(shè)層板厚度參數(shù)分析Fig.3 Parametric analysis of laminate thickness for cross-ply laminate

圖3所示理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合的很好，當(dāng)層合板厚度達到一定尺寸時會失去雙穩(wěn)定特性，此時層合板的穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型。有限元分析得到的層合板失去雙穩(wěn)定性的臨界厚度約為1.028～1.032 mm,理論計算得到的臨界厚度約為1.022～1.026 mm。原因是理論模型中共有17個未知參數(shù)，即模型具有17個自由度，而在有限自由度的限制下理論模型無法精確表征層合板的局部變形；相比之下，有限元模型中由于節(jié)點數(shù)較多，其自由度遠(yuǎn)大于理論模型。因此，理論模型與有限元模型所預(yù)測的雙穩(wěn)態(tài)臨界厚度存在一定誤差。

為研究層正方形正交鋪設(shè)合板層合板幾何尺寸以及材料屬性對其失去雙穩(wěn)定特性臨界厚度的影響，利用理論計算方法得到了不同材料層合板邊長與臨界厚度的關(guān)系，如圖4所示。預(yù)測結(jié)果顯示，當(dāng)材料確定時，層合板失去雙穩(wěn)定特性的臨界厚度與其邊長呈線性關(guān)系。

2.2 剛度分析

利用有限元分析，在層合板四個角點施加位移驅(qū)動，得到不同厚度情況下層合板角點力位移關(guān)系曲線如圖5所示，由圖5中(a)、(b)、(c)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)層合板具有雙穩(wěn)定性時，層合板在角點面外位移為0附近的一定位移區(qū)間內(nèi)具有負(fù)剛度特性，并且隨著層合板厚度增加具有負(fù)剛度特性的位移區(qū)間逐漸變窄，當(dāng)層合板厚度增加到1.032 mm時，層合板失去雙穩(wěn)定構(gòu)型。此時層合板無外載荷作用下的穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型，角點力位移關(guān)系曲線如圖5(d)所示，在其平衡位置附近的位移區(qū)間內(nèi)，層合板剛度趨近于零，隨著角點偏離平衡位置的位移增大，層合板剛度非線性增大，此種狀態(tài)層合板具有準(zhǔn)零剛度特性。

圖4 不同材料層合板長度與臨界厚度關(guān)系Fig.4 Length-critical thickness curve of different materials

(a)層合板厚0.7 mm (b)層合板厚1 mm (c)層合板厚1.028 mm

(d)層合板厚1.032 mm (e)層合板厚1.032 mm局部圖圖5 層合板角點力位移關(guān)系Fig.5 Corner node force-displacement curve

對比圖5(c)、圖5(d)有限元分析結(jié)果顯示在層合板臨界厚度附近，層合板厚度發(fā)生微小變化會引起其剛度發(fā)生顯著變化。理論模型計算顯示層合板的臨界厚度約為1.026 mm，表格2中對比了層合板在微小載荷作用下的角點面外位移，圖6中對比了層合板力位移關(guān)系曲線有限元分析結(jié)果與理論計算結(jié)果。結(jié)果顯示層合板厚為1.032 mm時，理論模型與有限元模型結(jié)果存在較大誤差。理論模型層合板厚度為1.026 mm時與有限元模型層合板厚度為1.032 mm時層合板剛度特性基本吻合。即理論模型中當(dāng)層合板厚度為1.026 mm時具有準(zhǔn)零剛度特性。

表2 不同載荷作用下角點面外位移對比Tab.2 Out-of-plane displacement of corner node with different load

圖6 層合板角點力位移關(guān)系對比Fig.6 Contrast of corner node force-displacement curve

3 隔振研究

已有的利用雙穩(wěn)定層合板進行振動控制的研究中，雙穩(wěn)定層合板作為負(fù)剛度機構(gòu)與其他正剛度機構(gòu)組合構(gòu)造準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進行隔振[12-13]，其中正剛度機構(gòu)用于承載被隔振設(shè)備自重。有限元分析結(jié)果圖5顯示當(dāng)層合板厚度為1.032 mm時，層合板具有準(zhǔn)零剛度特性，此狀態(tài)下層合板在靜平衡位置附近剛度接近于零。在外太空環(huán)境中可以忽略被隔振設(shè)備自重，所以可以考慮單獨利用此狀態(tài)的層合板作為準(zhǔn)零剛度機構(gòu)進行衛(wèi)星微振動低頻隔振，此時層合板穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型，靜平衡狀態(tài)角點面外位移為零。從力位移關(guān)系曲線圖還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡位置達到一定位移后，系統(tǒng)承載能力顯著增加，具體數(shù)據(jù)見表格3，可以在衛(wèi)星發(fā)射階段承受過載，保護系統(tǒng)在衛(wèi)星發(fā)射階段不被損壞。傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)顯然無法同時起到在太空中低頻隔振，以及發(fā)射階段承受過載的作用。

表3 不同位移下系統(tǒng)反作用力對比Tab.3 Refraction force of different displacement

3.1 隔振效果研究

首先利用理論和有限元方法研究層合板無阻尼自由振動頻率，層合板中心固定，四個角點各固定一個重量為50 g的質(zhì)量塊，在四個角點施加集中載荷，撤去載荷后層合板無阻尼振動頻率與預(yù)作用力的關(guān)系曲線如圖7所示。從圖7可發(fā)現(xiàn)層合板無阻尼自由振動頻率隨角點預(yù)作用載荷增大非線性的增大，即層合板剛度隨著角點偏離平衡位置的位移增大而非線性增大，與圖5(d)所示結(jié)果相符。

圖7 層合板無阻尼自由振動頻率Fig.7 Nature frequency of laminate

在厚度為1.032 mm的復(fù)合材料層合板四個角點各固定一個質(zhì)量塊，構(gòu)成簡單隔振系統(tǒng)。在層合板中心施加正弦加速度激勵如式(29)所示。激勵加速度幅值為a1=50 mg,層合板質(zhì)量阻尼系數(shù)取100。觀測角點加速度響應(yīng)，角點加速度響應(yīng)幅值記為a2，將得到的結(jié)果與相同材料的由無殘余熱應(yīng)力的正交鋪設(shè)平板構(gòu)成的線性隔振系統(tǒng)的隔振效果進行比較，結(jié)果如圖8所示。

a=a1sin(2πft)

(29)

(a)角點質(zhì)量4×25 g

(b)角點質(zhì)量4×50 g圖8 激勵頻率對加速度傳遞幅值的影響Fig.8 Excitation frequency effect

由圖8可以發(fā)現(xiàn)隨著被隔振設(shè)備質(zhì)量的增加，系統(tǒng)固有頻率降低，本文研究的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果在一定頻帶范圍內(nèi)兩者存在較大誤差，但總的隔振效果隨激勵頻率的變化趨勢一致。與線性隔振系統(tǒng)相比，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的固有頻率低于線性隔振系統(tǒng)，振動加速度傳遞峰值小于線性隔振系統(tǒng)，隔振有效區(qū)域?qū)捰诰€性隔振系統(tǒng)，且在隔振有效頻帶內(nèi)隔振效果明顯優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)。

3.2 誤差分析及討論

由圖8發(fā)現(xiàn)理論模型計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果存在一定誤差，產(chǎn)生誤差的主要原因是理論模型中取層合板的厚度為1.032 mm，由圖6中力位移關(guān)系曲線可以發(fā)現(xiàn)此時理論模型在平衡位置附近剛度遠(yuǎn)大于有限元模型，圖9中給出了理論模型利用厚度為1.026 mm層合板的隔振效果。角點質(zhì)量為4×25 g。

圖9中結(jié)果顯示當(dāng)理論計算模型中層合板厚度取1.026 mm時，其隔振效果與有限元模型吻合較好，與圖6結(jié)果相符。圖9中結(jié)果顯示被隔振設(shè)備質(zhì)量確定時，加速度激勵幅值增加會導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率增加，如本研究中對于重100 g的被隔振設(shè)備，激勵加速度幅值有10 mg增加到50 mg時，系統(tǒng)固有頻率有5.2 Hz增加到8 Hz。原因是系統(tǒng)剛度隨系統(tǒng)偏離平衡位置位移增大而增大。

(a)激勵幅值10 mg

(b)激勵幅值10 mg局部圖

(c)激勵幅值50 mg

(d)激勵幅值50 mg局部圖圖9 隔振效果對比Fig.9 Contrast of isolation effect

通過與文獻[7-8]中研究結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，本文研究的隔振器與傳統(tǒng)準(zhǔn)零剛度隔振器隔振效果類似，但具有結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)勢，有利于衛(wèi)星減重設(shè)計。

4 結(jié) 論

本文建立了正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的理論模型，研究了其雙穩(wěn)定特性以及剛度特性層板厚度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著層合板厚度增加其負(fù)剛度變形區(qū)間逐漸變窄，當(dāng)層合板厚度達到失去雙穩(wěn)定特性臨界厚度時，層合板具有準(zhǔn)零剛度特性。研究了以該厚度層合板作為準(zhǔn)零剛度機構(gòu)進行隔振的效果，通過與線性隔振系統(tǒng)的隔振效果進行比較發(fā)現(xiàn)，該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)具有固有頻率低、隔振頻帶寬、在隔振頻帶范圍內(nèi)隔振效果好等優(yōu)點。且與傳統(tǒng)準(zhǔn)零剛度隔振機構(gòu)相比，本文研究的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，占用空間小，無需復(fù)雜的機構(gòu)便可以實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，對于衛(wèi)星微振動隔離具有潛在應(yīng)用價值。