蔡敢為， 黃院星， 黃逸哲， 李俊明

(1.廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南寧 530004； 2. 廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，南寧 530004； 3. 廣西大學(xué) 土木工程學(xué)院，南寧 530004)

振動(dòng)時(shí)效是一種消減殘余應(yīng)力的有效方法，已經(jīng)得到廣泛運(yùn)用。不論是低頻的振動(dòng)時(shí)效方式或超聲波高頻振動(dòng)時(shí)效方式，要達(dá)到降低殘余應(yīng)力的效果，就要產(chǎn)生足夠的動(dòng)應(yīng)力。時(shí)效的構(gòu)件在振動(dòng)應(yīng)力和殘余應(yīng)力的共同作用下，產(chǎn)生局部的塑性變形，并釋放殘余應(yīng)力[1]。目前在轉(zhuǎn)軸類零件的振動(dòng)時(shí)效工藝中，采用的是偏心電機(jī)激振法。受到偏心輪機(jī)構(gòu)的限制，一般激振頻率都小于200 Hz[2]。而對于要求結(jié)構(gòu)尺寸穩(wěn)定性較高的精密機(jī)床導(dǎo)軌、冷熱軋鋼機(jī)的輥軸，其低階固有頻率就很高，往往超過偏心電機(jī)的激振頻率范圍，采用傳統(tǒng)偏心電機(jī)法難以使剛度較高的工件共振而產(chǎn)生足夠的動(dòng)應(yīng)力。基于這個(gè)問題，蔡敢為等[3]提出了彎扭耦合共振式振動(dòng)時(shí)效方法，通過彎扭耦合共振產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力來消減具有較高剛度的轉(zhuǎn)軸的殘余應(yīng)力。轉(zhuǎn)軸在軸承的支撐之下由電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)速等于彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率之差時(shí)，轉(zhuǎn)軸處于共振狀態(tài)，當(dāng)轉(zhuǎn)軸受到一個(gè)頻率等于彎曲固有頻率(或扭轉(zhuǎn)固有頻率)的橫向激勵(lì)(或扭矩激勵(lì))，彎曲共振與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相互加強(qiáng)。產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力作為殘余應(yīng)力降低的驅(qū)動(dòng)應(yīng)力，不需要偏心電機(jī)激振方式。袁清平[4]指出，彎扭耦合的共振往往發(fā)生在彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速之和或之差處，然而振動(dòng)信號的最高幅值是極其微小的。也就是說，即使轉(zhuǎn)軸發(fā)生了彎扭耦合共振，振動(dòng)的強(qiáng)度受到實(shí)際情況的影響，如轉(zhuǎn)軸的剛度很大，其振幅是很小的。要產(chǎn)生大的振幅和動(dòng)應(yīng)力，需要在固有頻率處施加激勵(lì)，使得彎曲共振和扭轉(zhuǎn)共振相互加強(qiáng)[5]。Perera[6]建立了基于集中質(zhì)量模型的轉(zhuǎn)子-軸承彎扭耦合動(dòng)力學(xué)方程，并說明方程是耦合的、非線性的，他得出結(jié)論：當(dāng)偏心轉(zhuǎn)子以旋轉(zhuǎn)頻率ωr旋轉(zhuǎn)， 并受到一個(gè)頻率為ωt的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)激勵(lì)， 將產(chǎn)生頻率為|ωr±ωt|的彎扭耦合振動(dòng)，這個(gè)耦合振動(dòng)可在轉(zhuǎn)軸的固有頻率處產(chǎn)生共振。Fujiwara等[7]推導(dǎo)了一個(gè)2自由度系統(tǒng)的彎扭耦合動(dòng)力學(xué)方程，他認(rèn)為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率等于彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率之和或差時(shí)發(fā)生彎扭耦合共振；此時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)軸受到一個(gè)頻率為彎曲固有頻率(或扭轉(zhuǎn)固有頻率)的激勵(lì)，將產(chǎn)生很大的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(或彎曲振動(dòng))。王小立[8]認(rèn)為，彎曲振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之間的相互影響很小，在轉(zhuǎn)速等于彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率之和或差時(shí)，當(dāng)施加的外激勵(lì)力或扭矩等于彎曲或扭轉(zhuǎn)固有頻率時(shí)，將產(chǎn)生強(qiáng)烈的共振。由此可見，采用彎扭耦合共振進(jìn)行振動(dòng)時(shí)效是可行的。

對于彎扭耦合振動(dòng)的分析中，Hsieh等[9-10]采用增量傳遞矩陣法分析彎曲振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合關(guān)系,而傳遞矩陣法僅能得到位移響應(yīng)，不能進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力的分析。傳遞矩陣分析復(fù)雜模型時(shí)，不便于進(jìn)行子系統(tǒng)間的耦合分析[11]。連續(xù)模型才能進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力的分析，有限元法就是一種連續(xù)質(zhì)量模型，已得到廣泛應(yīng)用。張勇等采用了連續(xù)質(zhì)量模型推導(dǎo)出彎扭耦合偏微分方程組，得到了彎扭耦合振動(dòng)的性質(zhì)，而描述連續(xù)彈性體的動(dòng)力學(xué)方程是高階偏微分方程組，求解比較困難。

由于剛度、質(zhì)量和阻尼參數(shù)的周期時(shí)變性，許多機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以采用含周期系數(shù)的二階微分方程(組)描述，這些系統(tǒng)在力學(xué)上被成為參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)[12]。如果在一個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在有不對稱的質(zhì)量分布或者不對稱剛度，通常這些不對稱的參數(shù)將給線性微分方程引入周期性的時(shí)變系數(shù)，這種被稱為參數(shù)激勵(lì)的結(jié)果是，在轉(zhuǎn)子的許多轉(zhuǎn)動(dòng)頻率范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定或欠阻尼的[13]。如果轉(zhuǎn)子承受周期扭矩作用且必須考慮彎扭耦合，均為周期參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，在某些轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)將發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象[14]。彎扭耦合共振式振動(dòng)時(shí)效時(shí)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)正是屬于這種情況，因此有必要對其穩(wěn)定性進(jìn)行分析。郭紅等[15]采用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則對單質(zhì)量彈性對稱系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。Yuan等[16]采用Floque理論分析了基于Jeffcott集中質(zhì)量模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)的穩(wěn)定性，只能進(jìn)行定性分析。對于轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，有必要采用多自由度的連續(xù)模型進(jìn)行定量分析。彎扭耦合共振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中含有時(shí)變系數(shù),因而該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題也屬于參數(shù)振動(dòng)的范疇。參數(shù)振動(dòng)是一種特殊的振動(dòng)形式,它的數(shù)學(xué)模型不一定是非線性微分方程,也可能是線性的,但系數(shù)不是常數(shù),而是時(shí)間的周期函數(shù),因此不屬于線性振動(dòng)理論的研究范圍,也作為非線性的組成部分[17]。雖然參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)不包含自由度的強(qiáng)非線性項(xiàng)，但由于系統(tǒng)中引入了無窮維時(shí)間項(xiàng)，學(xué)術(shù)上常將參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)歸類于非線性系統(tǒng)加以分析和研究[18]。含有參數(shù)激勵(lì)的系統(tǒng)屬于非自治系統(tǒng),進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)就不能簡單地用系統(tǒng)特征值實(shí)部的正負(fù)來判斷了。

本文采用彎扭耦合共振理論進(jìn)行對振動(dòng)時(shí)效的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行研究，采用有限元方法對其進(jìn)行建模，通過模態(tài)分析、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析獲得共振條件、動(dòng)力學(xué)位移響應(yīng)和動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)，在此基礎(chǔ)上對彎扭耦合時(shí)變微分動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。

1 有限元模型

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)包含轉(zhuǎn)軸、軸承、剛性圓盤，如圖1所示。轉(zhuǎn)軸模型采用Timoshenko梁理論，即考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，并包含陀螺力矩效應(yīng)。轉(zhuǎn)軸全長1.3 m，劃分為13個(gè)等長度的梁單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)5個(gè)自由度，忽略軸向自由度，總共70個(gè)自由度。轉(zhuǎn)軸直徑為0.10 m。圓盤1位于節(jié)點(diǎn)3，內(nèi)徑為0.10 m，外徑為0.24 m，厚度為0.05 m；圓盤2位于節(jié)點(diǎn)6，內(nèi)徑為0.10 m，外徑為0.40 m，厚度為0.05 m；圓盤3位于節(jié)點(diǎn)11，內(nèi)徑為0.10 m，外徑為0.40 m，厚度為0.06 m。節(jié)點(diǎn)P 位于節(jié)點(diǎn)8和節(jié)點(diǎn)9之間的中心截面上。轉(zhuǎn)軸和圓盤的材料屬性為：密度為7 800 kg/m3，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3。兩個(gè)軸承分別位于節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)14。軸承的剛度系數(shù)為Kyy=5×107N/m，Kzz=7×107N/m，阻尼系數(shù)為Cyy=500 Ns/m，Czz=700 Ns/m。對于轉(zhuǎn)子-軸承動(dòng)力學(xué)方程，具有5個(gè)自由度的轉(zhuǎn)軸單元、圓盤單元和軸承單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣參見文獻(xiàn)[19]，可以很方便地將它們組集為整體矩陣。

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元單元模型Fig.1 Rotor-bearing system finite element model

然而，由這些矩陣還不能得到轉(zhuǎn)速、彎曲固有頻率、扭轉(zhuǎn)固有頻率三者之間的和差關(guān)系。要得到彎扭特性，需要加入產(chǎn)生耦合的因素，本文加入的耦合因素是偏心質(zhì)量。當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為Ω時(shí)，一個(gè)偏心距離為e、質(zhì)量為mu的偏心質(zhì)量的動(dòng)能方程為[20]

(1)

將偏心質(zhì)量的動(dòng)態(tài)矩陣添加到文獻(xiàn)[19]的動(dòng)力學(xué)方程中，得到偏心轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的彎扭耦合動(dòng)力學(xué)方程

(2)

式中：M、K、C、G、q和分別為無偏心轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、位移向量，F(xiàn)(t)為周期激勵(lì)力向量。 由于Mu(t)、Ku(t)和Cu(t)是時(shí)變矩陣，方程(2)代表的是一個(gè)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)。由有限元法建立的這一動(dòng)力學(xué)方程是多自由度的連續(xù)模型，可以進(jìn)行定量分析。

2 模態(tài)分析

考慮陀螺力矩的整體矩陣不再是對稱矩陣，無法用求解大型稀疏矩陣的方法來進(jìn)行模態(tài)分析，而用QRdamp法來提取模態(tài)參數(shù)。此時(shí)，需要求微分方程(2)的齊次解，即不考慮系統(tǒng)的廣義力，令F(t)=0且無偏心質(zhì)量，方程(2)變?yōu)?/p>

(3)

(4)

文獻(xiàn)[21]對圖1所示的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析，轉(zhuǎn)軸每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅4個(gè)自由度，且未考慮剪切變形。為驗(yàn)證本文模型建立的正確性，求解25 000 r/min轉(zhuǎn)速下的固有頻率并與文獻(xiàn)[21]進(jìn)行對比，如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)軸-軸承系統(tǒng)的固有頻率Tab.1 Natural frequency of the rotor-bearing system Hz

由于文獻(xiàn)[21]未求得一階扭轉(zhuǎn)固有頻率，本文采用ANSYS APDL來求解，得到第一階扭轉(zhuǎn)固有頻率陣型如圖所示。

圖2 第一階扭轉(zhuǎn)陣型Fig.2 The second order torsional mode shape

由圖2可以看到，ANSYS APDL計(jì)算得到的第一階扭轉(zhuǎn)固有頻率為254.5 Hz，與MATLAB有限元計(jì)算結(jié)果254.0 Hz的相對誤差約為0.2%，綜合以上計(jì)算結(jié)果表明本文建立的有限元模型是正確的。

而彎扭耦合共振式振動(dòng)時(shí)效并不需要這么高的轉(zhuǎn)速，根據(jù)殘余應(yīng)力所處的位置，選取合適的陣型，將彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率之和或之差的頻率作為旋轉(zhuǎn)頻率。為了更容易實(shí)現(xiàn)共振，取彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率的差值。

3 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

3.1 位移響應(yīng)

對參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，同樣可以采用Newmark法來進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)求解，得到各節(jié)點(diǎn)的位移時(shí)域響應(yīng)，再進(jìn)行傅里葉變換，得到該節(jié)點(diǎn)的位移頻域響應(yīng)。下面用兩個(gè)非共振情況和兩個(gè)共振情況的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析來說明哪種情況適合用來進(jìn)行振動(dòng)時(shí)效。激振參數(shù)如表2所示。

表2 激振參數(shù)Tab.2 Excite parameters Hz

各種情況下的扭矩幅值均為36 Nm，mu=0.2 kg，e=0.01 m。

3.1.1 非共振情況

對于非共振情況，可以施加任意的扭振頻率和旋轉(zhuǎn)頻率。使用Newmark法計(jì)算得到轉(zhuǎn)軸上節(jié)點(diǎn)8處Y方向的彎曲振動(dòng)響應(yīng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)和軸心軌跡，分別如圖3～5所示。

圖3 非共振情況彎曲振動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)Fig.3 Time and frequency domain response of bending vibration in non-resonant situation

圖4 非共振情況扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)Fig.4 Time and frequency domain response of torsional vibration in non-resonant situation

圖5 非共振情況軸心軌跡Fig.5 Axis obit of non-resonant situation

對于非共振情況1，圖3的70+80=150和80-70≈9.99是產(chǎn)生的耦合彎曲振動(dòng)頻率； 對于非共振情況2， 圖3的137+74=211和137-74≈62.99是產(chǎn)生的耦合彎曲振動(dòng)頻率。耦合頻率的出現(xiàn)說明彎扭耦合振動(dòng)已經(jīng)被激發(fā)，是彎扭耦合振動(dòng)的一個(gè)特有現(xiàn)象。圖5中的軸心軌跡表示轉(zhuǎn)軸上節(jié)點(diǎn)8隨時(shí)間變化走過的路線。圖3的79.99≈80和73.99≈74均為與旋轉(zhuǎn)頻率同步的彎曲振動(dòng)響應(yīng)；圖4的69.99≈70和137均為施加的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率。然而，在圖3的彎曲振動(dòng)響應(yīng)中，具有與施加的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率相等的彎曲振動(dòng)響應(yīng)69.99≈70和137，說明扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對彎曲振動(dòng)產(chǎn)生了影響。實(shí)際上，彎扭耦合共振中彎曲振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是相互影響的，只是在不同的模型里有不同強(qiáng)度的體現(xiàn)。

3.1.2 共振情況

共振情況的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)激勵(lì)的頻率等于第一階扭轉(zhuǎn)固有頻率254.0 Hz。對于共振情況1，根據(jù)矩陣A求得轉(zhuǎn)速為4 090 r/min的第二階彎曲固有頻率為185.9 Hz，第一階扭轉(zhuǎn)固有頻率為254.0 Hz，此時(shí)他們的陣型如圖6所示，將兩個(gè)數(shù)值的差值254.0-185.9=68.1 Hz設(shè)定為轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)頻率。

圖6 轉(zhuǎn)速為4 090 r/min下的彎曲和扭轉(zhuǎn)陣型圖Fig.6 Model shape at 4 090 r/min

對于共振情況2，根據(jù)矩陣A求得轉(zhuǎn)速為11 364 r/min之下的第一階彎曲固有頻率為64.6 Hz，第一階扭轉(zhuǎn)固有頻率為254.0 Hz，此時(shí)他們的陣型如圖7所示，將兩個(gè)數(shù)值的差值254.0-64.6=189.4 Hz設(shè)定為轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)頻率。

圖7 轉(zhuǎn)速為11 364 r/min下的彎曲和扭轉(zhuǎn)陣型圖Fig.7 Model shape under 11 364 r/min

使用Newmark計(jì)算得到轉(zhuǎn)軸上節(jié)點(diǎn)8處Y方向的彎曲振動(dòng)響應(yīng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)和軸心軌跡，分別如圖8～圖10所示。

圖8 共振情況彎曲振動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)Fig.8 Time and frequency domain response of bending vibration in resonant situation

圖8中的254.0+68.17=322.17不在顯示范圍內(nèi)， 254.0-68.17=185.83≈186是產(chǎn)生的耦合彎曲振動(dòng)頻率， 68.32≈68.17是同步彎曲振動(dòng)響應(yīng)。

圖8中的254.0+189.4=443.4不在顯示范圍內(nèi)， 254.0-189.4=64.6≈64.32是產(chǎn)生的耦合彎曲振動(dòng)頻率， 189.3≈189.4是同步彎曲振動(dòng)響應(yīng)。

圖9 共振情況扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)Fig.9 Time and frequency domain response of torsional vibration in resonant situation

圖10 共振情況軸心軌跡Fig.10 Axis obit of resonant situation

這些頻率的出現(xiàn)說明彎扭耦合共振已經(jīng)被激發(fā)?，F(xiàn)在可以觀察到彎扭耦合的現(xiàn)象：在同步激勵(lì)的情況下，4 090 r/min的轉(zhuǎn)速會產(chǎn)生4 090/60=68.167 Hz的同步彎曲振動(dòng)，而不會產(chǎn)生186 Hz的彎曲振動(dòng)。但是由于彎扭耦合，圖8中的186 Hz是在4 090 r/min下由非同步扭振激勵(lì)產(chǎn)生的耦合彎曲振動(dòng)頻率，將激起第二階彎曲共振。在圖9中，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率254.0 Hz將激起第一階扭轉(zhuǎn)共振。在同步激勵(lì)的情況下，11 364 r/min的轉(zhuǎn)速會產(chǎn)生11 364/60=198.4 Hz的同步彎曲振動(dòng)，而不會產(chǎn)生64.32 Hz的彎曲振動(dòng)。但是由于彎扭耦合，圖8中的64.32 Hz是11 364 r/min下由非同步扭振激勵(lì)產(chǎn)生的耦合彎曲振動(dòng)頻率，將激起第一階彎曲共振。在圖9中，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率254.0 Hz將激起第一階扭轉(zhuǎn)共振。彎曲共振和扭轉(zhuǎn)共振相互加強(qiáng)，這種現(xiàn)象即為彎扭耦合共振。拍振現(xiàn)象明顯，也是彎扭耦合共振被激發(fā)的一個(gè)現(xiàn)象。

比較非共振情況和共振情況可知，共振情況的振幅大于非共振情況。如圖10所示，由于軸承兩個(gè)方向的剛度不同，軸心軌跡是橢圓形的，共振情況1的運(yùn)動(dòng)軌跡比較平穩(wěn)，而且采用的轉(zhuǎn)速為彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率的差值，數(shù)值更小，更適合用來進(jìn)行振動(dòng)時(shí)效。

3.2 動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)

由于橫向轉(zhuǎn)角很小，忽略橫向剪切變形，轉(zhuǎn)軸單元的應(yīng)變可以由如下幾何方程求得

(5)

(6)

對于共振情況1，先求解節(jié)點(diǎn)8和節(jié)點(diǎn)9的位移響應(yīng)，通過幾何方程和物理方程就可以求出P點(diǎn)的彎曲和扭轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)力，再由第四強(qiáng)度理論求得Von Mises動(dòng)應(yīng)力，如圖11所示。如果偏心距為零，彎曲和扭轉(zhuǎn)不耦合；如果圓盤1的偏心距為0.002 kg·m，彎曲和扭轉(zhuǎn)弱耦合；如果圓盤1和圓盤2的偏心矩均為0.020 kg·m，彎曲和扭轉(zhuǎn)強(qiáng)耦合。

耦合的程度依賴于偏心矩mu×e的大小，通過調(diào)節(jié)偏心距離的大小和驅(qū)動(dòng)電機(jī)的扭振幅值來產(chǎn)生足夠的動(dòng)應(yīng)力。如圖11中無耦合系統(tǒng)的動(dòng)應(yīng)力很小， 約為0.1 MPa; 如圖11中弱耦合系統(tǒng)的動(dòng)應(yīng)力約為5 MPa; 如圖11中強(qiáng)耦合系統(tǒng)的動(dòng)應(yīng)力約為130 MPa。如果動(dòng)應(yīng)力與殘余應(yīng)力的疊加值超過材料的屈服極限，材料內(nèi)部將產(chǎn)生塑性變形，殘余應(yīng)力將得到降低。彎扭耦合共振產(chǎn)生的復(fù)合正應(yīng)力和切應(yīng)力，使得殘余應(yīng)力的降低更加均勻。

圖11 動(dòng)態(tài)Von Mises應(yīng)力Fig.11 Dynamic Von Mises stress

4 穩(wěn)定性分析

偏心質(zhì)量隨轉(zhuǎn)軸一起旋轉(zhuǎn)，造成偏心激勵(lì)，同時(shí)，轉(zhuǎn)軸承受到外部交變力矩作用，由前言描述可知有必要進(jìn)行穩(wěn)定性分析。對于參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，可以通過Floquet理論[23-24]來求解。周期解的穩(wěn)定性分析關(guān)鍵是求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Mo，文獻(xiàn)[25]列出了幾種求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，包括打靶法、Newmark法和切比雪夫多項(xiàng)式法等，因前文已用Newmark法進(jìn)行位移和應(yīng)力的計(jì)算，為采用Newmark法對方程(2)進(jìn)行穩(wěn)定性分析打下基礎(chǔ)。計(jì)算的流程圖如圖12所示。

圖12 穩(wěn)定性計(jì)算流程圖Fig.12 Flow chart of stability calculation

轉(zhuǎn)軸具有70個(gè)自由度，因此系統(tǒng)整體矩陣的維數(shù)為70×70。 狀態(tài)矩陣的維數(shù)與系統(tǒng)整體矩陣的維數(shù)相同，設(shè)初始位移矩陣Ua為70×70的單位矩陣， 依次求解Mo的1到70列，每次迭代的初始值取單位矩陣Ua的一列。 周期T=2π/Ω，Ω為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角速度，數(shù)值為彎曲固有頻率與扭轉(zhuǎn)固有頻率的差值。時(shí)間步長取T/512， 每個(gè)旋轉(zhuǎn)頻率下，對0到T一個(gè)周期進(jìn)行積分，T時(shí)刻結(jié)束時(shí)的響應(yīng)矩陣就是所求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Mo， 求解其特征值的最大值即為該轉(zhuǎn)速下的Floquet乘子，并由Floquet穩(wěn)定性準(zhǔn)則判定振動(dòng)的穩(wěn)定性。

旋轉(zhuǎn)頻率的計(jì)算范圍為0～80 Hz，求得Floquet乘子如圖13所示。

圖13 Floquet乘子圖Fig.13 Diagram of Floquet multiplier

由圖13，在59～64 Hz的轉(zhuǎn)頻范圍內(nèi)Floquet乘子大于1，說明該范圍內(nèi)轉(zhuǎn)軸受到周期性扭矩激勵(lì)的振動(dòng)是不穩(wěn)定的，其余的旋轉(zhuǎn)頻率下是穩(wěn)定的。本文采用的旋轉(zhuǎn)頻率為68 Hz，該旋轉(zhuǎn)頻率下的Floquet乘子小于1，因此在這個(gè)轉(zhuǎn)速下進(jìn)行激振是穩(wěn)定的。

由Newmark法求得0～80 Hz旋轉(zhuǎn)頻率范圍內(nèi)每隔1Hz的軸心周期軌跡圖和Poincaré圖，分別如圖14和圖15所示。

圖14 節(jié)點(diǎn)P處軸心的周期軌跡Fig.14 Periodic orbit of pint P

圖15 Poincaré映射截面Fig.15 Poincaré Section

圖14的橫坐標(biāo)表示y方向的軸心位移周期軌跡，縱坐標(biāo)表示z方向的軸心位移周期軌跡；圖15的橫坐標(biāo)表示y方向的軸心位移周期軌跡，縱坐標(biāo)表示y方向的軸心速度周期軌跡。每個(gè)旋轉(zhuǎn)頻率下的軸心周期軌跡和Poincaré映射截面都是封閉的圓環(huán)，系統(tǒng)做周期性運(yùn)動(dòng)[26]。由穩(wěn)定性理論可知，轉(zhuǎn)軸在大多數(shù)旋轉(zhuǎn)頻率下的彎扭耦合共振是周期穩(wěn)定的。

5 結(jié) 論

本文研究了彎扭耦合共振式振動(dòng)時(shí)效工藝下偏心轉(zhuǎn)子在受到外部激勵(lì)下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的彎扭耦合性質(zhì)，并通過Floque理論和Poincaré法對時(shí)變微分動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到以下結(jié)論：

(1) 經(jīng)過對比計(jì)算表明，本文基于Timshenko梁理論建立的轉(zhuǎn)子-軸承彎扭耦合動(dòng)力學(xué)方程是正確的。

(2) 位移響應(yīng)中，彎曲振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和轉(zhuǎn)速三者之間具有和差關(guān)系，說明轉(zhuǎn)軸的振動(dòng)具有耦合振動(dòng)性質(zhì)，而響應(yīng)頻率約等于固有頻率，說明轉(zhuǎn)軸處于耦合共振狀態(tài)，且彎曲共振與扭轉(zhuǎn)共振相互加強(qiáng)。

(3) 彎扭耦合共振所產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力是足夠的，由于模型可以定量分析，根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)偏心矩和扭矩幅值的參數(shù)時(shí)具有參考價(jià)值。

(4) 位移和應(yīng)力的瞬態(tài)動(dòng)力分析是穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)，要求在滿足耦合共振性質(zhì)和具有足夠動(dòng)應(yīng)力的情況下獲得彎扭耦合共振的穩(wěn)定性，為采用彎扭耦合共振進(jìn)行振動(dòng)時(shí)效提供了有利的理論基礎(chǔ)。