劉 洋，凌 力，伍元忠，張 寧，王 健

（1.中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司 通信信號設(shè)計研究處，湖北 武漢 430063；2.東南大學(xué) 智能運輸系統(tǒng)研究中心軌道交通研究所，江蘇 南京 210096；3.南京地下鐵道有限責(zé)任公司 建設(shè)分公司，江蘇 南京 210024）

0 引言

隨著軌道交通線網(wǎng)規(guī)模的不斷擴大，客流需求分布呈現(xiàn)出動態(tài)化、多樣化、復(fù)雜化的特點，加大了運輸組織策略制訂的難度。目前，通過自動售檢票系統(tǒng)(AFC)記錄的乘客進出站站點和時間信息，能夠獲取任意統(tǒng)計時間間隔下的線網(wǎng)客流OD信息[1]，但此信息的獲取相當(dāng)于歷史客流OD信息的統(tǒng)計。為提高軌道交通動態(tài)化運營管理與控制水平，需要建立合適的OD實時估計模型來估計較短時間范圍內(nèi)的線網(wǎng)客流OD需求。因此，基于線網(wǎng)客流數(shù)據(jù)的OD實時估計具有重要的實際意義。

從20世紀(jì)80年代起，國內(nèi)外學(xué)者針對OD實時估計問題開展了大量的研究，通過對研究成果的歸納總結(jié)，主要可分為以下3個方面。其一，既有OD流與采集交通流之間的流量關(guān)系大都是在斷面流量容易獲取的基礎(chǔ)上建立的，但軌道交通中斷面客流信息卻很難獲取[2]。其二，既有OD實時估計模型的研究主要集中于道路交通領(lǐng)域，而軌道交通領(lǐng)域研究相對較少，且既有OD實時估計模型中未考慮到軌道交通線網(wǎng)結(jié)構(gòu)及乘客出行特征等[3]。其三，軌道交通線網(wǎng)通常包含上萬個OD對，既有OD實時估計模型中，最小二乘法、極大熵法等方法在運算效率方面存在著不足，可能難以滿足線網(wǎng)應(yīng)用的時效性要求，相比而言，卡爾曼濾波方法的運算效率較高、估計精度良好[4]。綜上所述，城市軌道交通線網(wǎng)客流OD實時估計需要結(jié)合客流數(shù)據(jù)信息、乘客運輸過程及運營管理時效性需求。據(jù)此，在國內(nèi)外OD實時估計研究基礎(chǔ)上，利用線網(wǎng)客流數(shù)據(jù)，建立基于卡爾曼濾波的線網(wǎng)客流OD實時估計模型來估計線網(wǎng)客流OD需求，為城市軌道交通運營管理部門提供決策參考。

1 城市軌道交通線網(wǎng)客流 OD實時估計分析

1.1 線網(wǎng)客流 OD 實時估計過程

城市軌道交通線網(wǎng)客流OD實時估計是以歷史客流數(shù)據(jù)及實時進出站客流數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過分析客流動態(tài)傳播過程，構(gòu)建動態(tài)流量關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)，建立模型來估計較短時間間隔內(nèi)的線網(wǎng)客流OD需求。由于城市軌道交通AFC系統(tǒng)能夠?qū)崟r采集進出站客流數(shù)據(jù)，因而實時進出站客流及歷史客流數(shù)據(jù)容易獲取。通過歷史乘客出行信息，能夠獲取乘客行程時間分布情況，用于輔助構(gòu)建OD流與進出站客流間的動態(tài)流量關(guān)系。結(jié)合以上輸入數(shù)據(jù)信息及基礎(chǔ)流量關(guān)系，可以建立線網(wǎng)客流OD實時估計狀態(tài)空間模型，利用卡爾曼濾波方法進行求解，以獲得實時的OD估計值，并對其進行有效性檢驗?；诳柭鼮V波方法的線網(wǎng)客流OD實時估計過程如圖1所示。

圖1 基于卡爾曼濾波方法的線網(wǎng)客流OD實時估計過程Fig.1 Real-time OD estimation process of line network passenger flow based on Kalman filter method

1.2 線網(wǎng)客流 OD 實時估計關(guān)鍵問題

城市軌道交通具有線網(wǎng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、OD對數(shù)目龐大、歷史客流數(shù)據(jù)資源豐富、列車準(zhǔn)點率高等特點，因而在OD實時估計過程中，需要結(jié)合城市軌道交通特征，對關(guān)鍵問題進行梳理，為構(gòu)建線網(wǎng)客流OD實時估計模型奠定基礎(chǔ)。參考道路交通領(lǐng)域OD實時估計關(guān)鍵問題[5]，城市軌道交通線網(wǎng)客流OD實時估計的關(guān)鍵問題主要包含以下方面。

（1）歷史OD信息的利用。對于某一特定的估計時段，根據(jù)進出站客流信息所建立的等式約束方程一般不大于2n (n表示站點總數(shù))，其遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于未知的待估計OD對總數(shù)目n (n + 1)個，因而OD估計存在不唯一解，需要引入其他信息輔助設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)來保證解的唯一性。AFC系統(tǒng)中有著豐富的乘客出行數(shù)據(jù)資源，如何利用乘客出行信息來輔助OD實時估計尤為重要。

（2）狀態(tài)變量的選取。狀態(tài)變量的選取通?？煞譃?類：OD流量、OD轉(zhuǎn)移比例、路段斷面流量、偏差變量。OD流量能夠清晰地反映出交通網(wǎng)絡(luò)中OD對間的實際需求量，既有模型中很多均采用OD流量作為模型狀態(tài)變量，但OD流量表示方式可能造成計算復(fù)雜，影響運算效率。OD轉(zhuǎn)移比例雖然不能夠直接反映出OD間的具體需求，卻能夠較為直觀地反映出節(jié)點流入交通量的去向比例結(jié)構(gòu)，因而其在OD實時估計模型狀態(tài)變量的選取中應(yīng)用較為廣泛。路段斷面流量作為狀態(tài)變量來建立OD實時估計模型，可以提高OD實時估計精度。然而，城市軌道交通中難以采集斷面流量，通常不將斷面流量作為狀態(tài)變量。偏差變量指當(dāng)前時段OD流量與歷史同期OD流量的偏差所組成的變量。偏差變量作為狀態(tài)變量可能使得建立模型時產(chǎn)生的隨機誤差難以服從高斯白噪聲，影響OD估計精度。綜上所述，在進行OD實時估計時，將OD轉(zhuǎn)移比例作為模型的狀態(tài)變量。

（3）基礎(chǔ)流量關(guān)系的構(gòu)建。對于某一估計時段t的站點i來說，站點i的進站客流量不一定在當(dāng)前時段內(nèi)出站。此外，站點i的出站客流量并不僅僅包括當(dāng)前時段到達(dá)站點i的客流，還包括在時段 t之前出發(fā)在當(dāng)前時段t到達(dá)站點i的客流。綜上分析，對于當(dāng)前時段的線網(wǎng)客流OD實時估計需要考慮到先前多個時段客流信息的影響，即線網(wǎng)OD客流信息的采集存在著時滯性特征，線網(wǎng)客流OD信息的時滯性特征如圖2所示。

（4）估計時間間隔的確定?？紤]客流信息采集特點及客流OD信息應(yīng)用需求，給出OD實時估計時間間隔的確定原則，主要包含以下2個方面：①滿足應(yīng)用需求，反映客流動態(tài)變化特征。如果估計時間間隔較短，線網(wǎng)客流特征不夠明顯，其穩(wěn)定性特征較差，導(dǎo)致難以描述客流在線網(wǎng)中的動態(tài)傳播過程；如果估計時間間隔較長，線網(wǎng)客流變化規(guī)律雖然較為明顯，但卻難以為動態(tài)化運輸組織策略的制訂提供有效的參考。②考慮模型運算能力。當(dāng)估計時間間隔較短時，乘客完成一次出行過程需要跨越更多的估計時間段個數(shù)，這使得動態(tài)流量分配參數(shù)的計算顯得更加復(fù)雜?？紤]以上2個原則，決定對估計時間間隔為10 min與15 min條件下的OD實時估計問題進行深入研究。

圖2 線網(wǎng)客流OD信息的時滯性特征Fig.2 Time-delay characteristics of OD information in line network passenger flow

2 城市軌道交通線網(wǎng)客流OD實時估計模型

2.1 基本流量關(guān)系構(gòu)建

考慮線網(wǎng)客流信息采集的時滯性特征來構(gòu)建基礎(chǔ)流量關(guān)系是建立OD實時估計模型的首要步驟。結(jié)合封閉網(wǎng)絡(luò)中的客流量守恒關(guān)系，可以得到進站量的關(guān)系表達(dá)式如公式 ⑴ 所示。

式中：li(k)為車站i在時段k內(nèi)的進站量；qij(k)為在第k個時段內(nèi)由站點i進站且從站點j出站的客流量；S為車站節(jié)點集合，S ={1，2，…，i，j，…，n}(包含站點1，站點2，…，站點i，站點j，…，站點n)，n為站點的個數(shù)；T為估計時間段集合，T ={1，2，…，k，t，…}(包含時段1，時段2，…，時段k，時段t，…)。

客流量的關(guān)系表達(dá)式如公式 ⑵ 所示。

式中：bij(k)為OD對[i，j]間的OD轉(zhuǎn)移比例，表示第k個時段內(nèi)由i站進站的乘客中去往j站的客流占i站總進站客流的比例。

出站量的關(guān)系表達(dá)式如公式 ⑶—⑹ 所示。

式中：Oj(t)為車站j在時段t內(nèi)的出站量；M為線網(wǎng)中任意OD對間的乘客行程時間最大跨越時間段數(shù)，M = 0，1，…，m；Ii(t - m)為車站i在t - m時段的進站量；bij(t - m)為t - m時段內(nèi)由i站進站的乘客中去往j站的客流占i站總進站客流的比例；t)為客流出站到達(dá)系數(shù)，表示OD流在時段k 從車站i出發(fā)且在時段t內(nèi)到達(dá)目的車站j的比例，t≥k；x為乘客行程時間；Fij(x)為OD對[i，j]間的乘客行程時間為x的乘客數(shù)量；[t-，t+]為任意OD對[i，j]間在第k個時段內(nèi)由站點i進站的客流出發(fā)去往目的站點j的客流中在第t個時段內(nèi)到達(dá)站點j的行程時間范圍，且t-= (t - k)·τ，t+=(t - k + 1)·τ，τ表示OD實時估計時間間隔；Δtmin和Δtmax分別表示在第k個時段內(nèi)由站點i進站以站點j為目的車站的客流在第t個時段內(nèi)到達(dá)站點j的最小行程時間和最大行程時間。

特別的是，研究以AFC系統(tǒng)中大量歷史乘客出行數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將任意OD對間統(tǒng)計以1 min為時間間隔的乘客行程時間分布，根據(jù)公式 ⑹ 計算出某一行程時間出現(xiàn)的統(tǒng)計概率，并將此概率作為實際乘客行程時間為此時間的比例。

2.2 狀態(tài)空間模型建立及求解

狀態(tài)空間模型的核心在于建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程，以下將OD轉(zhuǎn)移比例作為狀態(tài)變量，闡述狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程與觀測方程的構(gòu)建過程。

（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。由于同期客流的線網(wǎng)客流OD分布具有一定的相似性特征，因而結(jié)合狀態(tài)空間模型的基本形式，可以建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下。

式中：B (t)，B (t - 1)分別為第t，t - 1個時段的系統(tǒng)狀態(tài)向量，B (t)是由bij(t)所組成的Rod×1維矩陣，且B (t) = [bij(t)]Rod×1；Rod為線網(wǎng)客流OD對的總數(shù)目；F (t)，G (t)均表示系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并且隨著時間段變化而變化；B*(t)為第t個時段的歷史狀態(tài)向量，是由(t)組成的Rod×1維矩陣，并且B*(t) =(t)]；W(t)為高斯白噪聲矩陣。Rod×1

（2）觀測方程。借鑒Lin[6]提出的方法，利用OD轉(zhuǎn)移比例均值來代替約束方程中涉及的前向多個時段內(nèi)的OD轉(zhuǎn)移比例，將公式⑶轉(zhuǎn)化為

式中：O (t)為系統(tǒng)第t個時段的出站觀測向量，是由[Oj(t)]組成的n×1維矩陣；H (t)為系統(tǒng)第t個時段的觀測矩陣，是由時變n×Rod維矩陣；(t)是由第t個時段的OD轉(zhuǎn)移比例均值(t)構(gòu)成的Rod×1維矩陣；V (t)為高斯白噪聲矩陣，一般稱之為觀測噪聲，表示構(gòu)建觀測方程時所產(chǎn)生的誤差矩陣。

在以上狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上，可以采用卡爾曼濾波方法來進行求解，得出系統(tǒng)狀態(tài)估計值。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法是以最小均方差為目標(biāo)，通過迭代遞推方法，實現(xiàn)OD矩陣的實時更新，其主要包含5步基本迭代遞推步驟[7]，算法公式如下。

由公式 ⑼ 可以看出，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法通常假設(shè)第t個時段內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)變量存在先驗估計值(t)及后驗估計值(t)，其中，后驗估計值即為標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法估計值，因而估計系統(tǒng)存在著先驗估計誤差方差(t)及后驗估計誤差方差(t)。第t個時段內(nèi)的后驗估計值是通過觀測變量O (t)來對當(dāng)前時段的先驗估計值進行修正而獲得的，即標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法是以“估計—觀測—更新”的方式對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行迭代遞推估計。

2.3 考慮約束條件的卡爾曼濾波估計結(jié)果修正

相關(guān)研究指出，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法沒有考慮到系統(tǒng)狀態(tài)變量所應(yīng)滿足的約束條件。當(dāng)系統(tǒng)的OD需求分布結(jié)構(gòu)發(fā)生較大的波動時，可能會由于狀態(tài)變量未滿足約束條件導(dǎo)致OD估計誤差難以控制。因此，如何設(shè)計相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，使得系統(tǒng)狀態(tài)變量估計值同時滿足等式約束和不等式約束，是提高卡爾曼濾波方法估計精度的關(guān)鍵。為保證OD估計精度，建立基于約束卡爾曼濾波方法的估計修正模型如下。

由公式 ⑽ 可以看出，約束卡爾曼濾波估計值是以修正估計值與實際值的均方誤差最小為優(yōu)化目標(biāo)，且使模型狀態(tài)變量估計值滿足約束條件的解。

為以上約束修正問題構(gòu)建拉格朗日乘子函數(shù)，可得

式中：λ和μ表示拉格朗日乘子向量。

由卡爾曼濾波的性質(zhì)可以將公式 ⑽ 轉(zhuǎn)化為

通過求解不等式約束庫恩—塔克條件[8]，可得

式 中：I表 示 Rod×n維 的 單 位 矩 陣；(t) 為(t)的第l個元素；μk為向量μ的第l個元素。令Z =(I - XT(XXT)-1X )，則拉格朗日乘子向量μ的迭代搜索計算方法如下

3 案例分析

以南京地鐵線網(wǎng)（共包含6條線路，113個車站，12 656個OD對）2016年4月19日的實際客流數(shù)據(jù)為例，估計時段為6 ∶ 00—23 ∶ 00，估計時間間隔為10 min和15 min。選取OD轉(zhuǎn)移比例作為狀態(tài)變量，構(gòu)建線網(wǎng)客流OD間的基本流量關(guān)系，建立狀態(tài)空間模型以及基于約束卡爾曼濾波方法的估計修正模型，選取OD估計精度檢驗指標(biāo)，利用Matlab軟件進行計算，對基于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法和基于約束卡爾曼濾波方法的線網(wǎng)客流OD估計模型進行OD估計精度檢驗分析。

3.1 OD 估計精度檢驗指標(biāo)

在OD估計精度檢驗方面選取平均相對誤差(MRE)和均方根誤差(RMSE)作為評價指標(biāo)，其計算方法如下。

式中：Avg (MRE)和Avg (RMSE)表示全天總體平均相對誤差和均方根誤差的平均值；MRE (t)和RMSE (t)分別表示第t個時段的分時段平均相對誤差和均方根誤差。

3.2 OD估計精度分析

基于線網(wǎng)客流OD實時估計模型，對比標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法和約束卡爾曼濾波方法在不同時間間隔下線網(wǎng)客流OD實時估計狀態(tài)空間模型的總體估計精度如表1所示。

表1 線網(wǎng)客流OD實時估計狀態(tài)空間模型的總體估計精度Tab.1 Overall accuracy of real-time estimation of state space model of line network passenger flow OD

從表1可以看出：①在10 min和15 min估計時間間隔下，約束卡爾曼濾波方法的估計精度比標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法均提高10%左右；②15 min時間間隔的總體估計誤差均小于10 min時間間隔的總體估計誤差；③約束卡爾曼濾波方法的總體估計誤差在20%以內(nèi)。

通過進一步對比10 min和15 min估計時間間隔條件下的分時段平均相對誤差發(fā)現(xiàn)：①在不同時段，約束卡爾曼濾波方法均比標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法的平均相對誤差有所降低；②工作日早晚高峰時段的線網(wǎng)客流OD估計誤差明顯小于平峰時段估計誤差；③15 min和10 min估計時間間隔下的早晚高峰線網(wǎng)客流OD估計相對誤差基本在10%以內(nèi)；④約束卡爾曼濾波方法在不同估計時間間隔條件下的MRE值基本在20%以內(nèi)。

綜上，通過考慮約束條件對卡爾曼濾波方法進行修正，能夠提高OD估計精度，并且約束卡爾曼濾波方法的總體估計效果和分時段估計效果較為良好。

4 結(jié)束語

城市軌道交通線網(wǎng)客流OD實時估計結(jié)果能夠反映線網(wǎng)客流OD需求的動態(tài)分布結(jié)構(gòu)，是運營管理部門制訂動態(tài)運輸組織策略的重要依據(jù)。該研究成果表明，基于約束卡爾曼濾波方法的城市軌道交通線網(wǎng)客流OD動態(tài)估計狀態(tài)空間模型的估計效果良好，能為線網(wǎng)客流實時分布預(yù)測及列車實時調(diào)度策略提供關(guān)鍵的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，以及為運營管理部門提供決策支持。由于城市軌道交通線網(wǎng)中實際采集的客流數(shù)據(jù)信息有限，OD實時估計精度有待進一步提高，如何融合利用更多的檢測信息，比如換乘客流信息、乘客手機信令數(shù)據(jù)等來提高OD估計精度，還有待進一步深化研究。