王相怡，陳桂芬，王義君

（1.長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長春 130022；2.長春中國光學(xué)科學(xué)技術(shù)館，長春 130117）

在動平衡系統(tǒng)應(yīng)用中，轉(zhuǎn)子不平衡量引起的噪聲嚴(yán)重影響設(shè)備安全、可靠運行，因此實時準(zhǔn)確的進(jìn)行動平衡信號檢測是校正不平衡轉(zhuǎn)子的基礎(chǔ)[1]。但是動平衡信號是非線性和非平穩(wěn)的，隨機(jī)性和噪聲等不理想成分給動平衡信號的提取造成很大的困難。當(dāng)不平衡轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時，其不平衡量相對中心軸線會產(chǎn)生離心力，從而引起轉(zhuǎn)子的振動，振動產(chǎn)生的信號即為動平衡信號，它的頻率與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率是一致的。

目前，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷主要通過對故障信號做FFT處理，通過頻譜圖獲取幅度、頻率和相位值來分析診斷結(jié)果，因此FFT算法在動平衡振動信號處理中處于重要地位。FFT算法采用的是時域截斷——周期拓展的方法，要求整周期采樣，抗干擾能力低，會引起頻譜泄漏及柵欄現(xiàn)象，比較適合于含有單一頻率的簡單情況。而實際中，動平衡振動信號往往含有亞倍頻、基頻、高倍頻成分以及其它干擾。動平衡測試時，由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率往往不是恒定的，會有小范圍的跳動，振動信號的頻率會有波動，所以采樣一般不是整周期的同步采樣。

本文首先簡單介紹了積分法、Gabor變換、STFT算法，并各自闡述了它們的優(yōu)缺點。最后，提出了改進(jìn)的ApFFT算法，通過仿真得到，相比于傳統(tǒng)的算法，改進(jìn)的ApFFT方法能精高精度提取頻率、幅值及相位信息，并具有很好的抗高斯白噪聲的性能。

1 動平衡信號提取算法

1.1 積分法

積分法的數(shù)學(xué)原理是，在(0～T/2) 和(T/2～3T/4)這兩個區(qū)間內(nèi)對動平衡信號進(jìn)行積分，可以得到式（1）數(shù)學(xué)表達(dá)式：

由式（1）可以得到信號的幅值與相角，如下式（2）所示：

積分法的運算最為簡單，但是它并沒有充分利用全周期的數(shù)據(jù)，且通過積分法很容易造成噪聲的疊加，因此積分法僅僅用于初步信號預(yù)估，在實際中較少使用。

1.2 Gabor變換

Gabor變換是用二維的時頻平面上離散柵格上的點來表示一個一維的信號，并以高斯型函數(shù)作為展開函數(shù)對信號進(jìn)行分解，提出了著名的Gabor展開[2]：

式中，由高斯窗函數(shù)g(t)=e-t2通過移位和調(diào)制就可以得到基函數(shù)（Gabor基），即gn,k(t)=g(t-nT)ej2πkΩt；x(t)∈L2(R)的一維展開Gabor系數(shù)，即Cn,k=x(t)?gn,k(t)[3]。為一維信號的展開系數(shù)（Gabor系數(shù)），其值可以通過將和做內(nèi)積求得。Gabor變換在一定程度上解決了局部分析的問題，但對于突變信號和非平穩(wěn)信號仍難以得到滿意結(jié)果。

1.3 短時傅里葉變換算法（STFT）

在進(jìn)行頻譜分析時，短時傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）是對傳統(tǒng)傅里葉變換（FFT）的改進(jìn)。動平衡信號提取時，STFT是先將窗函數(shù)加入信號，進(jìn)而再做FFT。由于加窗使得變換為很小時間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)t的位置變化在整個時間域上左右平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時間段頻譜實現(xiàn)時間局域化[4]。通過選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)來抑制頻譜泄露，減少了短范圍泄漏產(chǎn)生的誤差。窗的適當(dāng)選擇能夠有效減少頻譜泄露對頻譜分析的影響，通常選擇具有主瓣窄、旁瓣低、旁瓣跌落速度快的窗函數(shù)[5]。短時傅里葉變換（STFT）在一定程度上彌補(bǔ)了FFT頻譜泄露的問題，但測量精度不夠高。

1.4 全相位傅里葉變換（APFFT）

全相位快速傅里葉變換（All-phase FFT，ApFFT）算法是一種新型譜分析方法。相比于傳統(tǒng)的FFT，ApFFT具有優(yōu)良的抑制頻譜泄漏和抗噪聲干擾的性能[6]，且各條譜線的相位值與頻率偏離值無關(guān)，即“相位不變性”[7]。

動平衡信號檢測很難實現(xiàn)采樣同步與采樣序列的整周期截斷[8]。由于傳統(tǒng)傅里葉變換及其快速算法把信號截斷后做周期展延，因此在首尾連接處會出現(xiàn)跳變，產(chǎn)生嚴(yán)重的“頻譜泄露”與“柵欄效應(yīng)”使檢測出來的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)。而ApFFT法適用于多個頻率成分的頻譜分析，能夠防止柵欄效應(yīng)與頻譜泄露，且相位具有不變性。ApFFT處理過程包括數(shù)據(jù)預(yù)處理和FFT算法兩部分，其數(shù)據(jù)預(yù)處理則相對復(fù)雜。ApFFT信號提取分析流程如圖1，具體步驟如下[9]：

（1）用長為（2N-1）的卷積窗Wc對中心采樣點x（0）前后的（2N-1）個數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)；

（2）將間隔為N的數(shù)據(jù)兩兩進(jìn)行重疊相加，從而形成長度為N的全相位數(shù)據(jù)預(yù)處理新序列；

（3）對新序列進(jìn)行FFT。

圖1 N為4的APFFT譜分析基本框圖

全相位序列x(n)長為2N-1，-(N-1) ≤n≤(N-1)，可以認(rèn)為對于時間序列中的一點x(0)，存在且只存在N個包含該點的N維向量：

將（4）式中每個向量進(jìn)行循環(huán)移位，把樣本點x(0)前移，得到另外N×N維向量：

將（5）中數(shù)據(jù)相加并求均值，即得到全相位數(shù)據(jù)向量：

根據(jù)DFT的移位性質(zhì)，式（5）中x′i(n)的離散傅里葉變換X′i(k)和式（4）的xi(n)的離散傅里葉變換Xi(k)之間有很明確的關(guān)系：

對式（7）對i求和再平均即為全相位FFT的輸出：

由（8）式可知，φ0即為ApFFT譜的相位值，也是x(0)的理論相位值，無論頻率偏移量β-k為多少都不影響它的理論值。

2 多頻信號仿真

假設(shè)一個有三個不同頻率與初相位的復(fù)合信號，如式（9）：

采取非整周期不同步采樣，這三個頻率均有一定的頻偏。下面取N=128進(jìn)行實驗，比較基于FFT、STFT（加漢寧窗FFT）和ApFFT方法在頻譜提取的性能。

圖2 做FFT、STFT和ApFFT處理的截斷波形圖

圖2分別是基于FFT、STFT和ApFFT方法（下文簡稱方法1、方法2、方法3）所截取的一小段波形圖。可見方法1截斷的波形首尾相差很大，而方法2和方法3處理過后的波形首尾相接。

在非整周期不同步采樣時，經(jīng)方法1截斷后信號的首尾跳變，幅值差別很大，如圖2（a）所示，在此基礎(chǔ)上做周期延拓必會產(chǎn)生嚴(yán)重的頻譜泄露，若接著分析信號的頻譜特征，會有很大的誤差，如圖3（a1）所示，幾乎每條譜線上都存在一定的分量。為了解決這個問題，如圖2（b）是方法2對信號進(jìn)行了加漢寧窗的處理?？梢钥闯?，加了窗的信號頭尾相接，使之后的信號展延變得連續(xù)，減少了頻譜的泄露，如圖3（b1）所示頻譜泄露減少，只分布在極少數(shù)靠近主譜線的旁線上。接下來從圖2（c）和圖3（c1）可以看出，經(jīng)方法3處理過后的波形圖首尾連續(xù)，周期延拓后做FFT的頻譜方法2更加優(yōu)秀，減少了更多的頻譜泄露，表現(xiàn)在又少了幾根旁瓣譜線，能量分布更集中，但仍然沒有完全消除泄露。

圖3（a2）（b2）分別是方法1、方法2測得的相位譜圖，相值遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了理論值，主譜線處還發(fā)生了突變現(xiàn)象。雖然方法2比方法1減少了能量泄漏，但對相位的測量并沒有絲毫幫助。而方法3測得的相位具有相位不變的優(yōu)點，如圖3（c2）所示相位譜線呈現(xiàn)階梯狀，不但主譜線位置的相位值準(zhǔn)確，就連周圍旁線位置的相位值也幾乎等于初相值。表1是在能量集中的第20，30，40根譜線上用三種方法測得的數(shù)據(jù)。

圖3 非整周期采樣時，多頻信號分別基于FFT、STFT、ApFFT的頻譜圖

表1 三種方法的主譜線所讀數(shù)據(jù)

由表1可得方法1與方法2幅值受旁瓣譜線影響，主譜線能量泄漏，幅值平均誤差分別為13.74%和11.8%，相位測量值誤差很大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離實際值。方法3的幅值誤差為6.1%，相位誤差幾乎為0，達(dá)到10-4度。

雖然從ApFFT的頻譜圖上能夠大概判定頻率成分位置與能量的分布強(qiáng)弱，但它仍類似于傳統(tǒng)FFT和STFT，依然是離散的線譜，而頻率的偏移程度不得而知。因此直接從ApFFT頻譜上讀取的幅值與頻率是不精確的。為了高精度的獲取動平衡信號的特征信息，幅值與頻率的提取需要進(jìn)一步的修正。

3 改進(jìn)的ApFFT算法

ApFFT譜分析具有優(yōu)良的抑制頻譜泄露和“相位不變性”的性質(zhì)[10]。其相位不變的性質(zhì)使得動平衡信號的分析不需要任何校正就能精確的估計相位信息。但是幅值與頻率成分從ApFFT譜上直接讀取會有些粗糙。因此要進(jìn)一步對幅值與頻率做校正。

若輸入為單頻復(fù)指數(shù)信號：

其中，信號的數(shù)字頻率ω0表示為β倍頻率2π/N的形式（β可以是小數(shù)），則{x（n）}的不加窗的傳統(tǒng)FFT譜（除以N進(jìn)行歸一化）為：

其中，k∈[0,N-1。]

而ApFFT的公式為式（8）：

因此，本文運用FFT與ApFFT聯(lián)合的相位差校正法校正幅值與頻率。這種方法需要2N-1個點作ApFFT。在k=k0點做FFT得到的振幅譜為a1=|X(k0)|，相位譜為p1=ang|X(k0)|；做ApFFT得到的振幅譜為a2= |Xap(k0)|，相位譜為p2=ang|Xap(k0)|，則可得：

頻率校正值為：

振幅校正值為：

如圖4表示了FFT與ApFFT聯(lián)合的相位差幅值相位校正的框圖：

圖4 FFT與ApFFT聯(lián)合的相位差幅值相位校正流程

由圖4可以看出，F(xiàn)FT與ApFFT聯(lián)合的相位差幅值相位校正方法需要對序列做兩次FFT變換，一次的傳統(tǒng)的STFT，還有一次是漢寧雙窗ApFFT，經(jīng)兩次FFT后，只需要訪問主譜線就可以精確的得到精確的糾正過后的幅值與頻率信息。用不變的相位信息進(jìn)行校正，會取得較高的精度，并且此方法簡單又巧妙。

4 仿真驗證與結(jié)論

在動平衡測量中，信號波形一般來說不是純粹的單頻余弦波，而是一個包括基頻、高頻以及白噪聲信號的復(fù)雜信號。

假設(shè)在噪聲環(huán)境下包含4個頻率的模擬振動信號表達(dá)式為：

其中，f0=39.5Hz是和轉(zhuǎn)子同頻的振動頻率。n(t)是均值為0，方差為1的高斯白噪聲，采樣頻率為1024Hz，采樣點N=256。當(dāng)信噪比SNR分別為10db，20db…50db時，用改進(jìn)的ApFFT算法提取動平衡信號的幅值，頻率與相位如表2。

表2 不同信噪比所測得的基頻信號幅值、頻率與相位

如表2所示，在非同步采樣且有高斯白噪聲的情況下，本文所用算法仍然有較高的可靠性。在SNR=50時，相位誤差達(dá)到10-5級別，幅值與頻率的校正誤差分別為0.11%和0.48‰。隨著噪聲的增強(qiáng)，信噪比逐漸降低到10db，相位誤差逐漸增大，但最大誤差僅為1.1%，與理論值相差0.3度，相位測量值依然保持較高精度；幅值與頻率校正精確也有所下降，但誤差仍然很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于1%。

圖5 信號時域波形

圖6 測量信號波形圖

圖5是原始振動信號時域圖，波形十分復(fù)雜，很難看出基頻信號的時頻特征。圖6是用本文方法還原的動平衡信號，與實際基頻信號很接近。因此可得結(jié)論：ApFFT有相位不變的特性，經(jīng)過FFT與ApFFT聯(lián)合相位差法修正的幅值與頻率也有較高的精度，并且具有很好的抗高斯白噪聲的性能。

本文提供的方法適用于受多頻信號干擾的動平衡信號提取，能夠校正因非整周期同步采樣和頻譜泄露所造成的誤差，并且還能抵抗高斯白噪聲的干擾。相比于傳統(tǒng)的FFT和短時傅里葉變換更有效的減少了頻譜泄露，達(dá)到了較高的識別要求，且此方法也可以應(yīng)用于其他多頻冗和的信號提取領(lǐng)域，有很大的應(yīng)用前景。