趙勇志，曹玉巖，韓西達，李玉霞

（中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033）

對于大口徑透鏡（直徑或長度大于300mm），傳統(tǒng)剛性支撐因溫度適應性差已無法滿足要求，越來越多的大口徑透鏡采用基于quasi-kinematic原理的柔性支撐結構，如圖1所示，具有支撐剛度高、溫度適應性強、結構簡單、無摩擦和滯后效應等優(yōu)點。從經典三點柔性支撐結構出發(fā)，支撐結構可演化為多種形式，如圖1（a）～（i）所示，其中（a）為詹姆斯韋伯望遠鏡中氟化鋰透鏡的柔性支撐結構[1]，（b）為Subaru望遠鏡近紅外光譜儀UK-FMOS中透鏡的柔性支撐結構[2]，（c）為MMT望遠鏡Binospec光譜儀透鏡的柔性支撐結構[3]，（d）為火星紅外光譜儀中橢圓分色鏡的柔性支撐結構[4]，（e）為GOES-R中先進成像儀分光平面鏡的柔性支撐結構[5]，（f）為韓國空間光學中心研制的bipod型支撐結構[6]，（g）為LMSSC公司空間近紅外相機的六點柔性結構[7]，（h）和（i）為長春光機所研制的分別用于空間光學遙感器大口徑主反射鏡的Cartwheel型柔性支撐結構[8]和光刻物鏡中透鏡軸向支撐的多點柔性支撐結構[9-11]。盡管柔性支撐結構形式不同，但其本質特征與經典三點柔性支撐結構類似，即由多個柔性環(huán)節(jié)并聯或串聯而成，利用結構的柔度特性來適應環(huán)境溫度變化引起的溫度應力，利用結構的剛度特性來約束光學元件的位置。與金屬材料相比，很多光學材料如氟化鋰和硒化鋅等雖具有優(yōu)異的光學性能，但力學性能差且熱脹系數高[12]，當溫度變化范圍較大時，將會發(fā)生較大的熱變形，大口徑透鏡的變形將更為顯著，這些熱變形會給支撐結構設計帶來巨大的挑戰(zhàn)。

圖1 典型柔性結構

透鏡支撐結構設計目標包括[13]：（1）減小或消除可能造成鏡面變形的局部應力；（2）補償由支撐結構和鏡體的不同熱變形引起熱應變或應力；（3）定位精度高，即在不同方位下因透鏡重力引起剛體位移盡可能小。理想的支撐方式是含有三個正交軸的運動學支撐，能夠約束鏡體的三個位置和三個轉動自由度[14]。然而，由于點接觸會造成較大的局部應力，很難應用在實際支撐結構中。在實際中，通常采用含有有限接觸面積的準運動學（Semi-kinematic）支撐方式，能夠有效的分散局部應力。柔性結構以其重復精度高、無摩擦、加工制造容易且成本低等優(yōu)點，作為一種準運動學支撐方式廣泛應用于支撐結構中[15-17]。與傳統(tǒng)柔性機構不同，透鏡支撐結構中采用的柔性結構主要用于減小鏡面變形且保持光軸位置，而并非產生線性或精密運動。

盡管柔性支撐結構具有以上優(yōu)點，但其力學模型非常復雜，尤其是多個柔性單元同時作用。趙磊等[9]設計了光刻投影物鏡透鏡的軸向多點柔性支撐結構，將彈性片簡化為懸臂梁模型，但對彈性片的數目與面形精度的關系未作深入分析。李宗軒等[8]針對空間遙感器大口徑主反射鏡提出了Cartwheel型雙軸柔鉸支撐結構，采用無量綱設計方法確定結構參數，盡管滿足了設計要求，但無法確定此參數為最佳。Chin David等[13]和曹玉巖等[18，19]已對反射鏡支撐結構的設計目標作了明確的描述，其要求是相互矛盾的，即將反射鏡牢固的支撐在固定位置需要支撐應力來平衡反射鏡重力，但支撐應力又將導致鏡面變形。這兩方面要求給支撐結構設計帶來困難，尤其是柔性支撐結構的設計。

為解決上支撐結構設計問題，需根據使用要求對各個參數進行優(yōu)化，進而得到合理的結構方案，而實現以上目的的關鍵是柔性支撐結構的力學模型。為此，本文針對一種圓弧形柔性支撐結構的建模方法進行了深入研究。

1 柔性支撐結構原理及簡化

柔性支撐結構概念由 Yolder[20，21]提出，如圖 1所示，由多個均勻分布的相同柔性單元構成。通常，透鏡與支撐結構材料的熱變形系數不一致，環(huán)境溫度變化會引起不一致的結構變形或應力，進而影響鏡面面形精度。柔性支撐結構在熱變形方向上（徑向）具有較大柔度，因此可有效減小由不一致的熱變形引起的溫度應力。此外，在其他方向上（如切向），具有較大剛度，能夠保證支撐結構的定位精度。

如圖1所示，為滿足不同的需求，柔性支撐結構可設計為多種形式，本文僅研究如圖2所示的圓弧形柔性支撐結構，所提出的分析方法可推廣應用于其它類型柔性支撐結構的分析與設計。柔性支撐結構總體結構如圖2（a）所示，主要包括外框架、柔性環(huán)節(jié)和透鏡，透鏡與柔性環(huán)節(jié)在連接點處粘接在一起，三維結構如圖2（c）所示。

為研究圖2（b）所示柔性環(huán)節(jié)在x-y平面內的力學特性，即面內剛度或柔度特性，對結構模型作如下簡化：（1）與結構變形相比，透鏡變形非常小可忽略，即結構中除柔性單元外其余部分視為剛體；（2）圓弧形柔性單元簡化為兩端固支的超靜定曲梁，中點作用集中載荷。

圖2 透鏡柔性支撐結構

2 力學建模

2.1 柔性單元建模

圖2所示的柔性支撐結構，關鍵部分為對稱分布的圓弧形柔性單元，其簡化模型為如圖3所示的超靜定結構。由于透鏡可視為剛體，且柔性支撐結構與透鏡粘接在一起，因此在每個粘接點（Pi）處存在轉動約束（Rotz=0）。圖3所示柔性單元的力學特性由曲率半徑R，厚度t，面外寬度b及中心角2θ決定，其中θ由切口數目確定。

圖3 柔性單元模型

柔性單元的面內（x-y）應變[22]為：

式中，y為厚度方向坐標。

中面應變ε0和曲率變化κ0分別為：

式中，u和w分別為中面切向和徑向位移，s=Rφ為曲線坐標。

由（1）-（3）式并利用虛功原理[19]可得柔性單元的徑向位移和切向位移分別為：

式中，Cij(i=1,2,…,6;j=1,2)為與集中載荷有關的常數。

令φ=0即可得到柔性單元的徑向及切向剛度分別為：

由式（6）和式（7）可知，徑向載荷僅引起柔性單元的徑向位移，切向載荷僅引起切向位移。

2.2 結構整體建模

圖2所示柔性環(huán)節(jié)的力和位移分析如圖4所示，其中β為初始角度。圖中Fi表示連接點Pi處的外力，可將其分解為徑向力和切向力Fir和Fit，Fiy和Fix為Fi的豎向分力和水平分力，δir和δit表示連接點Pi處的徑向位移和切向位移，δiy和δix表示豎向位移和水平位移，n為切口數目。

將Fiy和Fix用徑向力和切向力Fir和Fit表達為

圖4 柔性環(huán)節(jié)力與位移分析

若外力F施加在y軸方向，對各點分力求和可得：

將δiy和δix用徑向和切向位移δir和δit表示，且利用透鏡剛體假設，即則各連接點Pi處的位移一致，則由式（8）-（11）可得：

若n＞2，則求和表達式和與初始角β無關，且均等于n/2。柔性環(huán)節(jié)的剛度為：

至此，推導出了柔性支撐結構的整體剛度表達式（13），為徑向剛度和切向剛度的線性組合，與初始角度β無關。

3 數值仿真與實驗

考慮如圖2所示的透鏡柔性支撐結構，支撐結構設計需要考慮多方面因素，如材料選擇、工作環(huán)境、結構參數等。為了驗證本文提出的圓弧形柔性支撐結構及推導的力學模型，進行了相應關仿真分析及實驗驗證，具體內容如下。

3.1 柔性支撐結構力學模型驗證

為了本文推導的柔性支撐結構力學模型，建立如圖5所示的實驗測試裝置，包括力傳感器（load-cell）、位移平臺、光柵位移傳感器、PC計算機。位移傳感器和力傳感器測量的數據通過計算機串口（RS232）同時采集到計算機中。力傳感器精度為0.01N，光柵位移傳感器的精度為0.1μm。這里需要說明，本部分主要測試力學模型，而對包含透鏡的支撐結構進行測試容易破壞透鏡，因此本部分采用模擬結構進行測試，與實際支撐結構有所區(qū)別。

圖5 柔性環(huán)節(jié)實驗測試裝置

對柔性支撐結構施加一個的作用力，測量施力點的位移，采用有限元軟件對該過程進行線性和非線性仿真，然后比較理論、實驗及仿真結果。實驗件模型如圖6所示，材料選擇鈦合金TC4，其材料參數如表4所示，實驗件的幾何參數如表1所示。

表1 幾何參數

圖6 環(huán)形柔性結構實驗件

為了驗證支撐結構整體力學模型，針對圖6所示的圓弧形柔性結構，考慮到圓周方向上的對稱性，測試方向如圖7所示。對結構不同方向上的剛度進行實驗測試及有限元仿真計算，結果如圖8所示。

圖7 環(huán)形柔性結構剛度測試方向

圖8 環(huán)形柔性結構剛度測試與仿真結果

通過比較理論、仿真及實驗結果可得出如下結論：（1）1#實驗件理論、實驗及有限元仿真結果吻合非常好。（2）4#實驗件結果間存在一定的偏差，但理論與線性和非線性有限元仿真結果一致，表明了誤差主要來源于加工。（3）在各個測試方向上，3#和4#實驗件的實測位移數據基本一致，表明在各測試方向上具有相同的整體剛度，與理論分析一致。

3.2 支撐結構整體熱變形仿真分析

透鏡圓弧形柔性支撐結構如圖2所示，各組成部分材料參數如表2所示。為了匹配透鏡材料與結構材料之間熱脹系數的差異性，在柔性支撐結構與透鏡連接處增加了粘接墊，其材料為4J32，粘接墊的熱脹系數可調節(jié)為與透鏡材料一致，進而減少因熱脹系數差異性引起的熱應力，粘接墊與透鏡及柔性環(huán)節(jié)之間通過環(huán)氧膠粘接。結構幾何及材料參數如表3和表4所示。

表2 材料及單元類型

表3 幾何參數

表4 材料參數

透鏡柔性支撐結構設計的目標是盡可能提高透鏡位置精度和面形精度。透鏡位置偏差主要由柔性支撐結構的整體剛度及透鏡重力決定，光軸水平時位置誤差達到最大值。為了提高位置精度，柔性支撐結構要求具有較高的剛度。面形精度主要由柔性支撐結構中各個柔性單元徑向支撐剛度決定，徑向支撐剛度越大，相同熱變形產生的熱應力將會越大，進而導致面形誤差越大。為了提高面形精度，柔性單元應具有較大的柔度。為解決上述相互矛盾的設計目標，需要根據使用要求，對各設計參數進行匹配，進而得到合理的方案。

柔性支撐結構參數設計包括確定柔性環(huán)節(jié)切口數目n、柔性片厚度t、面內寬度b。針對表3給出的透鏡參數對不同設計參數進行仿真分析，透鏡光軸位移及柔性環(huán)節(jié)徑向剛度如圖9和圖10所示，其中圖9所示曲線從下至上寬度b依次取值為6、8、10、12、14、16mm，圖10所示曲面從下至上切口數目n依次取值為6、8、10、12。從圖9中可以看出，透鏡光軸位移隨著柔性片厚度t、寬度b及切口數目n的增大而減小，厚度t對位移的影響顯著，在t≥0.4mm且n≥8時，光軸位移均小于0.05mm（位置公差要求）。此外，由圖10可以看出，隨著柔性片厚度t、寬度b及切口數目n的增大，徑向支撐剛度Kr增大，而徑向支撐剛度會直接影響透鏡面形精度，因此徑向支撐結構不宜過大。綜合以上兩方面因素，柔性支撐結構寬度應盡可能大，厚度t應盡可能薄，最終確定柔性支撐結構切口數目為8，寬度b為16mm。

圖9 透鏡光軸位移變化

圖10 柔性單元徑向剛度

為了驗證柔性支撐結構的溫度適應性，對8切口圓弧形柔性支撐結構，按表2-表4所示參數建立結構有限元模型如圖11所示，環(huán)境溫度-40℃～+40℃，柔性片厚度為0.2mm～0.5mm情況下，分析透鏡柔性支撐結構整體性能。透鏡的面形RMS和鏡面PV值如圖12和圖13所示。

圖11 支撐結構有限元模型

圖12 鏡面RMS值

從圖12和圖13中可以看出，由于支撐結構與透鏡材料熱脹系數存在偏差，環(huán)境溫度變化時鏡面與支撐結構間會產生熱應力進而影響鏡面面形精度。在除20℃外的任意溫度下，隨著徑向剛度的增大，鏡面RMS值和PV值隨之變大。綜合比較透鏡的位置精度及面形精度，即圖9和圖12，可發(fā)現柔性片厚度為0.4mm情況下透鏡的面形精度及光軸位移均比較理想，因此最終設計參數確定為：n=8，b=16mm，t=0.4mm。環(huán)境溫度-40℃條件下，透鏡的應力分布如圖14所示，從圖中可看出，溫度應力主要集中在柔性環(huán)節(jié)與透鏡的粘接區(qū)域，表明柔性支撐結構能夠有效緩解透鏡與支撐結構間的熱應力，使透鏡的溫度應力均集中在連接點附近的小區(qū)域內，進而改善透鏡面形精度。

圖14 透鏡的應力分布

4 結論

本文針對光學元件支撐結構中廣泛采用的圓弧形柔性結構進行了理論分析，并進行了有限元仿真及實驗。首先，圓弧形柔性支撐結構由圓周對稱分布的柔性單元組成，將柔性單元簡化為超靜定圓弧梁，推導了柔性單元的徑向及切向剛度。然后，假設透鏡為剛體，根據力平衡條件及變形協(xié)調條件，推導了環(huán)形柔性結構的整體剛度。最后，對推導的力學模型進行了有限元仿真和實驗驗證。

有限元仿真及實驗測試結果表明：推導圓弧形柔性支撐結構整體剛度與有限元及實驗測試結果相吻合，誤差小于3%，表明本文推導的理論模型能夠用于柔性支撐結構的設計與分析。此外，通過對300mm透鏡仿真分析，表明柔性支撐結構能夠有效的降低透鏡與支撐結構間的溫度應力，進而提高支撐性能。