袁 飛

(常州輕工職業(yè)技術學院 校企合作處,江蘇 常州 213000)

近年來,由于新技術的發(fā)展和整個應用市場的拉動,機器人在各個行業(yè)的應用越來越廣泛,如醫(yī)療、包裝、制造及航天等.單球滾動式機器人作為一種運動靈活、通過性好的機器人,在各行業(yè)均具有巨大發(fā)展?jié)摿1].

單球滾動式機器人的研究基礎起源于獨輪自平衡移動機器人.國內對單球滾動式機器人的研究起步較晚,雖取得了很大進展,但大部分目前仍處于理論研究階段,未推廣運用于實踐中.國外對單球滾動球機器人的研究起步較早,在2005年,卡內基·梅隆大學研制出了一種新型滾動球式機器人“Ballbot”[2-7],但其動力學建模復雜且動態(tài)穩(wěn)定性差.2010年,蘇黎世瑞士聯(lián)邦理工學院機器合作伙伴共同研制了“Rezero”機器人[8-9],“Rezero”機器人能夠在球體上實現(xiàn)動平衡,且具有非常強的運動性,但是“Rezero”機器人與“Ballbot”機器人類似,存在動力學建模復雜且動態(tài)穩(wěn)定性不足的問題.因此，為了提高單球滾動式機器人的運動靈活性及動態(tài)穩(wěn)定性,本文提出利用LQR控制器對機器人的運動傾角控制算法進行設計與研究.

1 單球滾動式機器人結構設計

單球滾動式機器人的結構如圖1所示,主要包括機架、驅動機構、制動抱緊機構、球體4部分組成.機架上安裝有各類型的傳感器、三維慣性測量單元、鋰電池、控制器、伺服驅動器等;驅動機構采用直流無刷伺服電機,3個全向輪對稱安裝在球體上,全向輪軸線與垂直方向成30°,全向輪中心、球體中心以及它們的接觸點共線;3個制動抱緊機構成120°角安裝在球體四周,防止球體脫離機器人主架體的控制.

圖1 滾動球式機器人本體結構Fig.1 Body structure of the rolling ball robot

由于驅動機構、制動抱緊機構、鋰電池、控制器等都是固接在機架上,為了簡化模型的計算,在建立模型前把固接在機架上的物體和機架當作一個整體稱為主架體,故整個滾動球式機器人就可以看成是由主架體和球體兩部分組成.

2 傾角控制算法設計與仿真

2.1 單球機器人動力學模型建立

單球滾動式機器人模型可以等效為x向和y向兩個單級倒立擺模型.由于兩個方向的等效單級倒立擺模型的理論基礎、建模方法以及相應的控制策略均是相同的.因此,只需對單球滾動式機器人兩個等效單級倒立擺模型中的一個進行動力學建模分析即可.以單球滾動式機器人x向的等效單級倒立擺模型為例,運用Euler-Lagrange方程對其進行動力學建模.

假設機器人底部的運動球體與地面和全向輪之間均做無滑動的純滾運動,則運用Euler-Lagrange方程,對x向的等效單級倒立擺模型進行動力學建模[10-13]:

(1)

式中:

脂肪酸酯也可發(fā)生此類反應生成a-單磺酸化脂肪酸酯[18]，此反應常被用來制備類似結構的表面活性劑，產品易降解且對環(huán)境近無危害。

綜合以上各式,得出等效x向單級倒立擺模型的動力學方程如下:

(2)

據式(2)再結合單球滾動式機器人的相關設計參數,便可求出單球滾動式機器人x向的等效單級倒立擺模型的動力學模型.

2.2 基于LQR機器人運動控制器設計

LQR控制器又稱為線性二次型調節(jié)器,在現(xiàn)代控制理論中,LQR是發(fā)展較早且相對比較成熟的一種狀態(tài)線性反饋控制算法,易于構建閉環(huán)最優(yōu)控制.LQR運動控制器的控制對象主要是以狀態(tài)空間形式所表示的線性系統(tǒng),其目標函數為控制輸入和對象狀態(tài)的二次型函數.LQR最優(yōu)控制原理是利用所設計的狀態(tài)反饋控制器K,使二次型目標函數J取得最小值,其中K值是由權矩陣Q和R決定的.因此,權矩陣Q和R的選擇則顯得尤為重要[14-15].

假定n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間(r個輸入變量、l個輸出變量)的表達形式如下:

(3)

式中:x為n階狀態(tài)向量;y為l維輸出向量;u為r維輸入向量;A為系統(tǒng)矩陣;B為控制矩陣;C為輸出矩陣;D為傳遞矩陣.

機器人的LQR運動控制器的系統(tǒng)性能指標:

二次型目標函數

(4)

控制器的控制參數

式中:Q與R為加權矩陣;K為最優(yōu)控制器的控制參數;P為Riccati方程的正定對稱解.

根據上文所述的單球滾動式機器人等效x向單級倒立擺系統(tǒng)的動力學模型及其相應狀態(tài)空間表達形式,利用Matlab/Simulink軟件設計了單球滾動式機器人的LQR運動狀態(tài)反饋控制器,如圖2所示.利用LQR控制器對單球滾動式機器人等效x向和y向單級倒立擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)變量進行實時控制,實現(xiàn)x向、y向等效單級倒立擺運動傾角與傾角角速度的有效控制.

圖2 LQR控制器結構圖Fig.2 LQR controller structure diagram

為了獲得LQR運動控制器的最優(yōu)控制效果,利用Matlab/Simulink對其進行了大量的調試及仿真分析,最終確定了LQR運動控制器的加權矩陣Q和R值,即

(8)

利用Matlab調用相應lqr函數對LQR控制器的控制參數K進行求解,求解過程及求解結果如下:

K=k1k2k3k4=lqr(A,B,Q,R)

(9)

K=[-870.43 -289.97 -140.41 -240.88]

(10)

2.3 LQR控制器仿真分析

結合上文所求的加權矩陣Q,R以及控制參數矩陣K,利用Matlab/Simulink對單球滾動式機器人控制系統(tǒng)的LQR控制器進行仿真分析.單球滾動式機器人等效x向單級倒立擺系統(tǒng)動力學模型的主要狀態(tài)變量的初始值可假定為

(11)

式中：θ為球體沿x，y方向的傾角；ε為x，y方向的角速度.

通過上述狀態(tài)變量初始值,單球滾動式機器人的等效單級倒立擺系統(tǒng)x向和y向的角速度、角加速度等狀態(tài)變量在LQR控制器的控制下,其運動狀態(tài)變化情況如圖3所示.

由圖3(a)和圖3(c)可以看出,單球滾動式機器人的運動傾角θx與θy,在相應設定的擾動下,通過LQR運動控制器的調節(jié),能夠使整個機器人運動系統(tǒng)在2 s左右快速恢復到平衡狀態(tài).圖3(b)和圖3(d)分別是單球滾動式機器人等效x向單級倒立擺和等效y向單級倒立擺的運動傾角角速度在相應干擾下的運動情況，由圖可知,機器人的傾角角速度在2 s左右能夠重新恢復到平衡狀態(tài).由圖3(e)可知,整個控制系統(tǒng)的u曲線的超調量大約為60%,穩(wěn)定時間在0.8～1.0 s之間,該指標系數符合系統(tǒng)狀態(tài)控制的規(guī)定,達到了運動系統(tǒng)狀態(tài)控制的要求.

圖3 狀態(tài)變量仿真分析曲線圖Fig.3 Simulation analysis curve of state variables

根據上述仿真結果分析可知,以單球滾動式機器人的動力學模型為基礎,設計相應的LQR運動狀態(tài)控制器能夠很好地實現(xiàn)等效x向、等效y向單級倒立擺的傾角與傾角角速度等狀態(tài)變量的運動控制,從而實現(xiàn)整個單球滾動式機器人的運動控制.

3 測試分析

單球滾動式機器人的試驗樣機如圖4所示,為了驗證上文所設計的LQR運動控制器對單球滾動式機器人的控制效果,設定了一個從(0,0)到(5,5)的實驗路徑,并利用DSP控制器、IMU(慣性導航模塊)及示波器等實時觀測機器人的運動情況.首先,將單球滾動式機器人利用外設輔助機架吊起來;然后,打開機器人的運動控制開關,并進行調試實驗,當機器人運動穩(wěn)定后解除輔助機架,使其沿固定軌跡運行,機器人傾角θx,θy的變化情況及運動軌跡分別如圖5～圖7所示.

由圖5可知:單球滾動式機器人在0～2 m時,運動抖動較為明顯,無法保持一個較為平衡的狀態(tài);在2 m之后,機器人在LQR運動傾角控制器的調節(jié)下,運動趨于平衡穩(wěn)定,并具備了一定的自平衡調節(jié)功能.由圖6和圖7可知:機器人在整個運動過程中傾角θx,θy基本在5°之內且變化不大,符合前文所述的機器人運動傾角的變化規(guī)律.根據上述實驗結果可知,利用LQR所設計的運動狀態(tài)控制器以及相對應的控制算法對單球滾動式機器人的運動穩(wěn)定性控制是有效、合理以及正確的.

圖4 試驗樣機圖Fig.4 Test machine diagram

圖5 試驗曲線圖Fig.5 Test curve

圖6 傾角沿x方向的變化情況Fig.6 Variation of pitch angle along x direction

圖7 傾角y方向的變化情況Fig.7 Variation of pitch angle along y direction

4 結論

(1) 針對當前單球滾動式機器人運動不靈活、動態(tài)穩(wěn)定性差等問題,提出了利用LQR對滾動式機器人的運動傾角進行控制,并利用Solidworks建立了機器人的三維模型.

(2) 將單球滾動式機器人模型可以等效為x向和y向的單級倒立擺模型,并運用Euler-Lagrange方程建立了機器人x向等效單級倒立擺的動力學模型.

(3) 利用Matlab/Simulink軟件并結合所求的動力學模型,設計了單球滾動式機器人的LQR運動狀態(tài)控制器,通過分針分析得到了相應狀態(tài)變量的變化曲線圖.

(4) 利用物理樣機進行實驗驗證,結果表明,LQR運動控制器及其控制算法對單球滾動式機器人的運動控制是有效和合理的,為后續(xù)的系統(tǒng)優(yōu)化提供了有力依據,具有較大實際意義.