周桂蘭，朱 寧，農(nóng)以寧

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

離散型分布中最為重要的一種分布是幾何分布，該分布不僅在可靠性和應(yīng)用概率模型中占據(jù)很重要的地位，而且在信息工程、控制論以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中也得到了很大的重視和應(yīng)用。文獻(xiàn)[1，2]討論了熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布可靠度的Bayes估計(jì)；文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別在Q-對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失函數(shù)和復(fù)合Linex對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下得到了幾何分布的可靠度Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)，并討論了他們的可容許性；文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]則分別是在一類(lèi)非對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)和一類(lèi)新的加權(quán)平方損失函數(shù)下研究幾何分布可靠度的先驗(yàn)分布分為無(wú)信息和共軛先驗(yàn)分布兩種情況下的Bayes估計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]在熵?fù)p失函數(shù)、最小預(yù)期損失函數(shù)、Linex損失函數(shù)下，得到了定時(shí)截尾情形兩參數(shù)幾何分布的可靠性Bayes估計(jì)。

在貝努里試驗(yàn)中,設(shè) p為每次試驗(yàn)成功的概率（可靠度），若進(jìn)行了x+1次試驗(yàn)，前x次試驗(yàn)成功但第x+1次試驗(yàn)不成功的概率為：

則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從幾何分布,其中參數(shù) p(0＜p＜1)稱(chēng)為可靠度。

本文將在Mlinex損失函數(shù)下研究幾何分布（1）可靠度的Bayes估計(jì)、E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)問(wèn)題。

1 可靠度p的Bayes估計(jì)

定義1[8]：Mlinex損失函數(shù)的表達(dá)式為：

其中δ是未知參數(shù)p的判別空間的一個(gè)估計(jì)。如當(dāng)c＞0時(shí)，它可以很好地刻畫(huà)正的偏差引起的損失高于負(fù)的偏差引起的損失。結(jié)合本文所討論的分布，下文假設(shè)c＞0。

定理1[8]：設(shè) x=(x1，x2，…，xn)來(lái)自分布（1）的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若在空間中存在參數(shù) p的估計(jì)量δ，其Bayes風(fēng)險(xiǎn)r(δ)＜+∞，則對(duì) p的任何先驗(yàn)分布π(p)，在損失函數(shù)（2）和模型（1）下，參數(shù) p有唯一的Bayes估計(jì)：

考慮幾何分布可靠度p的先驗(yàn)分布為其共軛分布—Beta分布的情況，其密度函數(shù)為：

當(dāng)b=1和a＞0時(shí)，π(p|a，b)仍然是 p的單調(diào)函數(shù)，此時(shí)的分布稱(chēng)為冪分布，其密度函數(shù)為：

其中0＜p＜1，a為超參數(shù)，且a＞1。

定理2：若幾何分布的先驗(yàn)分布具有超參數(shù)a和b的Beta分布（4），則它的Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)幾何分布，在無(wú)失效數(shù)據(jù)情形下樣本的似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)=px(1-p)，若其先驗(yàn)分為Beta分布，則后驗(yàn)密度函數(shù)為：

由定理1可知，它的唯一的Bayes估計(jì)為：

證畢。

引理1[9]：在給定的Bayes決策問(wèn)題中，假如對(duì)給定的先驗(yàn)分布π(p)的Bayes估計(jì)是唯一的，則是可容許的。

推論1：在給定先驗(yàn)分布（4）和損失函數(shù)（2）下，參數(shù) p的Bayes估計(jì)是可容許的。

證明：取w=1,c=2,c=3,c=4,Mlinex損失函數(shù)的圖像如圖1所示：

圖1 Mlinex損失函數(shù)圖

由圖1可知在Mlinex損失函數(shù)中，δ關(guān)于參數(shù)p是嚴(yán)格凸函數(shù)，因此其Bayes估計(jì)必是唯一的，又由引理1可得，Bayes估計(jì)δ^B1是可容許的。

定理3：若幾何分布的先驗(yàn)分布為式（5）中的冪分布，則它的Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)幾何分布（1），由于它的似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)=px(1-p)，因此p的后驗(yàn)密度函數(shù)為：

故其后驗(yàn)分布服從Beta分布，即：

h(p|x)~B(a+x，2)

由定理1可得，在損失函數(shù)（2）下的Bayes估計(jì)為：

其中：

證畢。

推論2：在損失函數(shù)（2）和幾何分布的先驗(yàn)分布為（5）的情況下，其Bayes估計(jì)δ^B2是可容許的。

證明過(guò)程如推論1。

2 可靠度p的E-Bayes估計(jì)

引 理 2[10]：設(shè) (a，b)∈D ，(a，b) 是 連 續(xù) 的 ，稱(chēng)為參數(shù) p 的E-Bayes估計(jì)，其中 是存在的，D={(a，b):0＜b＜1，1＜a＜m，b∈?}，m＞1為常數(shù)，π(a，b)是a和b在區(qū)域 D 上的密度函數(shù)，(a，b)為 p的Bayes估計(jì)（用超參數(shù)a和b表示）。

定理4：對(duì)幾何分布，參數(shù) p的先驗(yàn)分布為Beta分布，若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度分別為：

則相應(yīng)的參數(shù)p的E-Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)幾何分布（1），參數(shù) p的先驗(yàn)分布為Beta分布，若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度為式（6），則 p的E-Bayes估計(jì)為：

同理，若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度為式（7），則 p的E-Bayes估計(jì)為：

類(lèi)似地，若超參數(shù)a和b的先驗(yàn)密度為式（8），則 p的E-Bayes估計(jì)為：

引理3[9]：設(shè) a∈D ，(a)是連續(xù)的，稱(chēng)(a)da為參數(shù) p的E-Bayes估計(jì)。其中在的，D={a|1＜a＜0，a∈?}，m＞1為常數(shù)，π(a)是a在區(qū)間參數(shù) p上的密度函數(shù)為參數(shù) p的Bayes估計(jì)。

定理5：對(duì)幾何分布，參數(shù)p的先驗(yàn)分布式（5）的冪分布，若a在區(qū)間D的先驗(yàn)密度分為均勻分布，其密度函數(shù)為π(a)=1,1＜a＜m，參數(shù) p的E-Bayes估計(jì)為：

m-1

3 可靠度p的多層Bayes估計(jì)

若參數(shù)p的先驗(yàn)密度函數(shù)π(p|a，b)由式（4）給出，a和b的先驗(yàn)密度函數(shù) π1(a，b)， π2(a，b)， π3(a，b)分別由式（6）、式（7）和式（8）給出，則參數(shù)p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)分別為：

定理6：對(duì)幾何分布（1），若參數(shù)p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為 π4(p)，π5(p)，π6(p)，則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p 的多層Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)幾何分布，參數(shù) p的似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)=px(1-p)。

（1）若 p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為π4(p)，則 p的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計(jì)為：

（2）同理，若 p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為π5(p)，則 p的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計(jì)為：

（3）類(lèi)似地，若 p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為π6(p)，則 p的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計(jì)為：

證畢。

引理4：若參數(shù) p的密度函數(shù)由π(p|a)=apa-1給出，取超參數(shù)a的先驗(yàn)分布為U(1，m)上的均勻分布，則 p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為：

定理7：對(duì)幾何分布（1），若 p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)π(p)由式（9）給出，則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計(jì)為：

證明：對(duì)幾何分布，無(wú)損失數(shù)據(jù)樣本的似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)=px(1-p)，若 p的多層先驗(yàn)密度函數(shù)π(p)由式（9）給出，則參數(shù) p的多層后驗(yàn)密度函數(shù)為：

其中，0＜p＜1，則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計(jì)為：

證畢。

4 可靠度p的Bayes估計(jì)的性質(zhì)

性質(zhì)1：對(duì)幾何分布，在Mlinex損失函數(shù)下，當(dāng)可靠度p的先驗(yàn)分布為Beta分布時(shí)，若a，b，c的值為一個(gè)定值，則對(duì)任意m有：

證明：對(duì)幾何分布，當(dāng)可靠度 p的先驗(yàn)分布為Beta分布時(shí)，在Mlinex損失函數(shù)中，若a，b，c的值為一個(gè)定值，則是一個(gè)數(shù)值。同理若在幾何分布中，實(shí)驗(yàn)的次數(shù)x、Mlinex損失函數(shù)的參數(shù)c取定時(shí)，B(a+x，b+1)，B(a+x-c，b+1)也是一個(gè)數(shù)值。

（1）在幾何分布中，在相同的實(shí)驗(yàn)次數(shù)x下，若a，b，c的值為一個(gè)固定的數(shù)值，記Δ1=B(a+x，b+1),Δ2=B(a+x，則由定理4可知：

即：

（2）同理在幾何分布中，若a，b，c的值為一個(gè)固定的數(shù)值，記 Δ1=B(a+x，b+1),Δ2=B(a+x-c，b+1),Δ3=B(a，b)，則結(jié)合定理6可得：

同理，

（3）由式（1）和式（2），結(jié)合定理2可知：

證畢。

性質(zhì)2：對(duì)幾何分布，在Mlinex損失函數(shù)下，當(dāng)可靠度p的先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)，若a，c的值為一個(gè)定值，則對(duì)任意m有：

證明：對(duì)幾何分布，在Mlinex損失函數(shù)下，若a，c的值值。設(shè)Φ=，由定理5可知，當(dāng)可靠度 p的先驗(yàn)分布為冪分布時(shí)，參數(shù)p的E-Bayes估計(jì)為：

證畢。

5 實(shí)例

利用蒙特卡洛方法模擬容量為n的服從幾何分布(1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本N=1000次，以損失函數(shù)中c=2，3，4，5，6為例。對(duì)每種情形，p的先驗(yàn)分布都取B(1.5，0.5)，樣本容量分別取10,50,100,1000，由定理2、定理3和定理5計(jì)算可靠度先驗(yàn)為貝塔分布和冪分布下的Bayes估計(jì)、多層Bayes估計(jì)，結(jié)果如表1所示。其中在Mlinex損失函數(shù)下，B1為可靠度先驗(yàn)為貝塔分布的Bayes估計(jì)，B2和HB為可靠度先驗(yàn)為冪分布的Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)，B-為不同先驗(yàn)的Bayes估計(jì)的差。

表1 可靠度Bayes估計(jì)

從表1可以看出隨著樣本容量n的增大，不同先驗(yàn)分布估計(jì)下的Bayes估計(jì)的極差在逐漸減小，c的取值對(duì)估計(jì)的影響變小，可靠度越穩(wěn)??；對(duì)Mlinex損失函數(shù)下的不同參數(shù)的c，幾何分布的先驗(yàn)分布為貝塔分布或冪分布下的估計(jì)值都是穩(wěn)健的；對(duì)于損失函數(shù)中相同的參數(shù)c，可靠度p的bayes估計(jì)、E-beyes估計(jì)、多層bayes估計(jì)的值都比較接近，當(dāng)樣本容量較小時(shí)可靠度p的bayes估計(jì)和多層bayes估計(jì)的值相差較大，但隨著n的增大，幾個(gè)估計(jì)的差值在逐漸減少，當(dāng)樣本n足夠大時(shí)，兩者的差距可以忽略不計(jì)。

為了判斷先驗(yàn)分布的參數(shù)對(duì)估計(jì)的影響，本文計(jì)算出N=100，c=3，a=0.5~2.5,b=0.1~0.9下的先驗(yàn)分布為Beta分布Bayes估計(jì)，結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出,當(dāng)Mlinex損失函數(shù)的參數(shù)c=3時(shí)，若參數(shù)a不變,改變參數(shù)b的值，此時(shí)幾何分布的Bayes估計(jì)的極差較小，偏差區(qū)間在[0.005152，0.005254],說(shuō)明先驗(yàn)分布的參數(shù)b對(duì)幾何分布可靠度的Bayes估計(jì)有一些影響，但是影響不大；當(dāng)參數(shù)b的值不變時(shí)，改變參數(shù)a的值，從幾何分布的Bayes的估計(jì)上看，參數(shù)a對(duì)Bayes估計(jì)的影響很小，幾乎可以忽略不計(jì)。綜上可知，幾何分布可靠度p的Bayes估計(jì)比較穩(wěn)健。

表2 先驗(yàn)分布為Beta分布的Bayes估計(jì)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文在Mlinex損失函數(shù)下推算出了幾何分布可靠度的Bayes估計(jì)，驗(yàn)證了它的容許性和唯一性，根據(jù)定義推算其E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)，并討論了幾何分布的先驗(yàn)分布為貝塔分布和冪分布下Bayes估計(jì)、E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的性質(zhì)。由實(shí)證分析可以看出，從具體數(shù)值演算結(jié)果可看出，隨著樣本容量的增大，幾何分布的先驗(yàn)分布為貝塔分布和冪分布下的Bayes估計(jì)值的差距逐漸減少。當(dāng)樣本N足夠大時(shí)，兩者的差距可以忽略不計(jì)，參數(shù)a，b對(duì)估計(jì)的影響較小，并且估計(jì)的值具有較好的穩(wěn)健性。