許啟發(fā)，丁曉涵，蔣翠俠

(1. 合肥工業(yè)大學管理學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

1 引言

現(xiàn)代組合投資主要通過定量化的模型與算法來確定最佳組合投資權(quán)重，實現(xiàn)期望收益既定條件下投資風險最小化。無疑，風險測度方法與組合投資模型等因素將關(guān)系到組合投資決策結(jié)果，對投資者、金融機構(gòu)和監(jiān)管當局的科學決策都將產(chǎn)生重大影響。為此，如何選擇恰當?shù)娘L險測度指標、構(gòu)建相應(yīng)的組合投資決策模型、采用合理的求解方法、改善組合投資績效，是值得研究的重要課題。

在風險測度指標研究方面，經(jīng)歷了從矩風險測度到分布(尾部)風險測度的變化。Markowitz等[1]最早提出方差作為風險測度工具，使用了統(tǒng)計學中的二階矩，開創(chuàng)了矩風險測度的先河。隨后，文獻中相繼發(fā)展了半方差、下半方差等風險測度方法，克服了方差風險測度中將收益上升也視為風險的局限。然而，方差風險測度的理論基礎(chǔ)是較為嚴格的正態(tài)分布假定，現(xiàn)實中往往難以滿足(如：尖峰厚尾)，需要考慮更高階的矩作為風險測度指標，如：Jondeau等[2]提出的偏度與峰度風險。與此不同，另外一些學者從損失分布特征的角度給出風險測度方法，代表性的當屬Basel協(xié)議主推的VaR風險測度，參見Jorion[3]。Engle等[4]直接對VaR進行自回歸，提出了CAViaR模型，用于動態(tài)VaR風險測度；劉曉倩等[5]使用加權(quán)復合分位數(shù)回歸方法，估計動態(tài)VaR風險值；王璇等[6]基于二元模型，提出一種新的VaR風險度量模型，對組合投資風險進行分風險估計和總風險集成。但是，VaR方法不滿足“一致性風險測度”標準中的次可加性等要求，并且無法衡量超過VaR部分的損失大小。為彌補VaR的不足，Artzner等[7]提出了ES(Expected Shortfall，也有文獻稱為CVaR)，并證明了ES較之VaR具有更優(yōu)良的統(tǒng)計性質(zhì)，可以很好地分散尾部風險。Taylor[8]提出使用Expectile估計ES，得到了更為準確的結(jié)果；Kuan等[9]提出了一個與CAViaR模型相對應(yīng)的條件自回歸Expectile(CARE)模型，用于估計動態(tài)ES；王鵬等[10]運用后驗分析法，對比不同風險測度模型對ES風險指標估計的精確度差異；謝尚宇等[11]則在CARE模型中引入ARCH效應(yīng)，建立了ARCH-Expectile模型；劉曉倩等[12]建立自回歸加權(quán)復合Expectile模型，來評估ES風險大小；黃金波等[13]利用非參數(shù)核估計方法得到ES的兩步核估計公式，建立均值-ES模型，同時實現(xiàn)對風險估計與組合投資優(yōu)化。張冀等[14]將風險依賴、一致性風險度量與組合投資納入到一個分析框架中，運用Copula函數(shù)預測組合投資ES風險。

在組合投資決策方法研究方面，可以概括為優(yōu)化與回歸兩個方面。第一，基于優(yōu)化算法的組合投資決策。Markowitz等[1]的均值-方差模型，主要通過二次規(guī)劃方法結(jié)合KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件進行模型求解。而在高階矩組合投資中，考慮到最大化期望收益(M)與偏度(S)、最小化方差(V)與峰度(K)，通過多目標規(guī)劃方法求解M-V-S-K組合投資模型，詳見Lai[15]、Sun Qian等[16]、蔣翠俠等[17]等的研究工作。對于均值-VaR與均值-ES(CVaR)模型，Rockafellar等[18-19]通過引入一個輔助函數(shù)，將其求解過程轉(zhuǎn)化為一個線性規(guī)劃問題，但涉及多維數(shù)學期望計算，存在“維數(shù)災(zāi)難”問題。第二，基于回歸分析(包括：均值回歸、分位數(shù)回歸和Expectile回歸)的組合投資決策。Fan Jianqing等[20]將均值-方差模型的求解過程轉(zhuǎn)化為一個均值回歸問題，不但避免了方差-協(xié)方差矩陣估計中的誤差，而且得到更加穩(wěn)健的組合投資效果。此外，該模型可以進一步擴展，通過引入LASSO懲罰實現(xiàn)金融資產(chǎn)選擇，解決了基于方差風險的大規(guī)模組合投資決策問題。Bassett等[21]將均值-(C)VaR模型的求解過程轉(zhuǎn)化為一個分位數(shù)回歸問題；He Yaoyao等[22]引入權(quán)重約束，通過SCAD分位數(shù)回歸，解決了基于(C)VaR風險的大規(guī)模組合投資決策問題。與組合投資決策的優(yōu)化類求解方法相比，回歸類求解方法一方面能夠避免優(yōu)化類求解方法出現(xiàn)的“維數(shù)災(zāi)難”問題，可以適應(yīng)大規(guī)模組合投資決策需要；另一方面，能夠更加準確地估計風險指標，得到更為穩(wěn)健的組合投資效果。

迄今，尚無文獻討論使用Expectile回歸進行組合投資決策分析。本文研究基于Expectile回歸的均值-ES風險組合投資決策問題，主要在以下三個方面開展了創(chuàng)新性研究：第一，對均值-ES風險組合投資模型，利用ES與Expectile之間對應(yīng)關(guān)系，將其求解過程轉(zhuǎn)化為一個Expectile回歸問題；第二，給出了均值-ES組合投資模型的Expectile回歸求解新算法，提高了模型求解效率；第三，通過實證研究，從投資風險、投資績效以及有效前沿等方面，對比了基于Expectile回歸的均值-ES模型與均值-方差投資模型、均值-VaR模型的實證表現(xiàn)。選取滬深300指數(shù)中的5支行業(yè)代表性股票為研究對象，使用其2010年1月1日到2017年6月26日間日收益數(shù)據(jù)進行組合投資分析，實證結(jié)果表明：本文提出的組合投資決策方法，能夠很好地分散極端情況下投資組合尾部風險大小，顯著提高組合投資績效。

2 傳統(tǒng)組合投資決策與回歸分析

2.1 均值-方差模型與均值回歸

組合投資決策過程，旨在實現(xiàn)期望收益盡可能大、面臨風險盡可能小，Markowitz等[1]通過均值-方差模型來實現(xiàn)這一思想?？紤]收益為R=(R1,R2,…,RN)′的N個金融資產(chǎn)，組合投資權(quán)重向量為w=(w1,w2,…,wN)′，得到組合投資收益Rp=w′R，則經(jīng)典的均值-方差模型可以表示為：

(1)

式中，∑=cov(R)為方差協(xié)方差矩陣，反映金融資產(chǎn)收益之間關(guān)系；約束條件w′1=1表示組合投資權(quán)重之和為1，1為由1組成的列向量；E(Rp)=r0表示給定組合投資期望收益為r0。

對于均值-方差模型，通常采用二次規(guī)劃傳統(tǒng)方法求解。但當金融資產(chǎn)數(shù)目過多時，不僅求解過程十分復雜，而且∑的估計存在較大誤差。為了提高模型求解效率，F(xiàn)an Jianqing等[20]將均值-方差模型轉(zhuǎn)化為一個均值回歸問題，不僅可以簡化計算過程，而且能夠降低計算誤差。

(2)

式(2)是實現(xiàn)將均值-方差模型的求解轉(zhuǎn)化成一個均值回歸問題的關(guān)鍵。對于約束條件w′1=1，可以進行展開、移項等操作，得到：w1=1-w2-w3-…-wN，將其代入式(2)并化簡，可得：

s.t.E(Rp)=r0

(3)

2.2 均值-VaR模型與分位數(shù)回歸

VaR是指在某一置信水平100×(1-α)%下，投資者持有某項資產(chǎn)可能遭受的最大損失。記L=(L1,L2,…,LN)′為N個金融資產(chǎn)的損失，可以視為收益序列的相反數(shù)。Lp為組合投資資產(chǎn)損失，且有Lp=w′L=-Rp。這樣，基于損失分布的VaR與基于收益分布的分位數(shù)之間存在關(guān)系：

VaR1-α(Lp)=-inf{x|Pr(Rp≤x)≥α}=-QRp(α)

(4)

式中，α∈(0,1)為與置信水平對應(yīng)的分位點，inf{·}為下確界，Pr(·)表示概率。由式(4)可知，在給定置信水平下，VaR為收益序列α分位數(shù)的相反數(shù)。

對于損失L，其(1-α)分位數(shù)為下述優(yōu)化問題的極小值點：

(5)

式中，損失函數(shù)ρ1-α(u)=u((1-α)-I(u<0))為分段線性函數(shù)，I(·)為指示函數(shù)。

考慮以VaR作為風險測度指標，依據(jù)組合投資決策思想，建立均值-VaR組合投資模型：

(6)

根據(jù)VaR與分位數(shù)之前關(guān)系，再結(jié)合式(5)與式(6)，可以將均值-VaR模型轉(zhuǎn)化為：

(7)

依據(jù)組合投資權(quán)重約束條件w′1=1，有w1=1-w2-w3-…-wN，將其代入組合投資損失Lp，得到：Lp=w1L1+w2L2+…+wNLN，式(7)簡化為：

s.t.E(Lp)=l0

(8)

3 均值-ES組合投資模型與方法

3.1 ES風險測度

ES定義為損失超過某一閾值(VaR)的條件期望。對于組合投資資產(chǎn)損失Lp，在某一置信水平100×(1-α)%下，ES可以表示為：

ES1-α(Lp)=E[Lp|Lp≥VaR1-α(Lp)]

(9)

進一步，在給定組合投資損失Lp分布F下，可以計算出ES如下：

(10)

式中，F(xiàn)-1(·)為資產(chǎn)組合損失變量分布函數(shù)F的逆函數(shù)?？梢钥闯?，ES是由超出閾值VaR1-α的一組VaR進行加權(quán)平均所得。

3.2 均值-ES風險組合投資模型

對于N個金融資產(chǎn)，組合投資權(quán)重向量為w=(w1,w2,…,wN)′且滿足w′1=1，在給定期望損失l0下，則均值-ES組合投資模型表示如下：

(11)

過去，對于均值-ES模型求解，通常使用拉格朗日方法，將有條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題后，進而使用二次規(guī)劃方法進行求解。為解決均值-ES組合投資模型求解過程中的麻煩，Quaranta等[23]和Rockafellar等[18]提出了一個線性規(guī)劃算法。他們研究了一般分布條件下的ES風險大小，通過引入輔助函數(shù)，將以給定期望收益作為約束條件的組合投資決策模型，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解。不過，該方法涉及多維數(shù)學期望問題，往往存在“維數(shù)災(zāi)難”問題，并且計算結(jié)果不夠精確。

為此，本文嘗試使用Expectile回歸，研究均值-ES組合投資模型求解方法，將其求解過程轉(zhuǎn)化為一個Expectile回歸問題，不但簡化了計算的復雜程度，而且有利于均值-ES模型向大規(guī)模組合投資決策方面推廣。

3.3 均值-ES模型求解

本節(jié)通過理論分析，論證了均值-ES模型求解問題可以轉(zhuǎn)化為Expectile回歸問題。通過優(yōu)化Expectile回歸目標函數(shù)得到Expectile，利用Expectile與ES之間對應(yīng)關(guān)系，能夠準確地得到最優(yōu)投資組合的ES風險值。

3.3.1 理論分析

第一，在給定θ分位點處，Newey等[24]提出的Expectile分位數(shù)v(θ)為下述優(yōu)化問題的極小值點：

(12)

式中，ρ1-θ(L-ξ)2=|θ-1|(L-ξ)2，θ∈(0,1)。式(12)表明，Expectile分位數(shù)為優(yōu)化非對稱平方損失函數(shù)的產(chǎn)物，這一結(jié)果與數(shù)學期望、quantile分位數(shù)相類似。實際上，數(shù)學期望為優(yōu)化對稱平方損失函數(shù)的產(chǎn)物，而quantile分位數(shù)為優(yōu)化非對稱絕對損失函數(shù)的產(chǎn)物。Expectile分位數(shù)具有與quantile分位數(shù)類似的性質(zhì)，它可以完整刻畫條件分布，而不局限于條件分布的均值。就統(tǒng)計屬性而言，quantile僅考慮數(shù)據(jù)之間位置(或順序)關(guān)系不考慮數(shù)據(jù)之間距離，而Expectile能夠同時兼顧兩個方面的信息。此外，二次損失函數(shù)為Expectile帶來了計算上的優(yōu)勢、估計的有效性以及協(xié)方差矩陣的估計無需估計一個條件密度函數(shù)。因而，Expectile較quantile更具有優(yōu)良性質(zhì)。

第二，通過引理1與引理2，由Expectile分位數(shù)可以間接計算出VaR與ES(CVaR)。

引理1：對于給定的α∈(0,1)，記滿足v(θ)=q(α)的θ為θ(α)，Yao Qiwei等[25]建立了θ(α)和q(α)的對應(yīng)關(guān)系式如下：

(13)

式中，q(α)為α-分位數(shù)，可以看出，θ與α之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

引理2：對于組合投資損失隨機變量Lp，具有數(shù)學期望E(Lp)，1-α分位點處的ES值ES1-α與θ分位點處Expectile值v(θ)存在關(guān)系：

(14)

式中，α∈(0,1)、θ∈(0,1)，且滿足：F(v(θ))=1-α，本文使用的1-α與θ之間的對應(yīng)關(guān)系詳見Kuan等[9]在263頁中給出的表1與圖1；F(·)為Lp的累積分布函數(shù)。

(15)

類似于前面的討論，根據(jù)約束條件w′1=1，容易得到：w1=1-w2-w3-…-wN，進而可以將式(15)轉(zhuǎn)化為：

s.t.E(Lp)=l0

(16)

3.3.2 求解方案

上述理論分析的意義在于，將均值-ES組合投資決策轉(zhuǎn)化為一個Expectile回歸問題。本節(jié)基于Expectile回歸，給出其求解方案。

(17)

因此，基于Expectile回歸的均值-ES模型求解可以概括為三個步驟：

4 實證研究

4.1 數(shù)據(jù)選取與統(tǒng)計分析

綜合考慮樣本股票的行業(yè)代表性以及股票價格的持續(xù)可獲得性，盡量保證股票分散于不同的行業(yè)，且在選定區(qū)間內(nèi)不存在長期停牌甚至摘牌。故本文選取滬深300指數(shù)中的5支股票，分別為東阿阿膠、科大訊飛、五糧液、吉林敖東、中集集團，以其日收率為研究對象，同時將數(shù)據(jù)分為兩個部分：樣本內(nèi)數(shù)據(jù)集和樣本外數(shù)據(jù)集。其中，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)區(qū)間為2010年1月1日到2015年1月5日，剔除非同步交易日和節(jié)假日，樣本容量為N=1212，樣本外數(shù)據(jù)區(qū)間為2015年1月6日到2017年6月26日，樣本容量N=602。股票日收益率計算公式如下：

rt=100×(lnpt-lnpt-1)

(18)

式中，rt表示t期股票收益率，pt表示t期收盤價。本文數(shù)據(jù)來源于巨靈財經(jīng)金融服務(wù)平臺，所有運算均在R3.3.3軟件中編程實現(xiàn)。

表1報告了樣本內(nèi)五支樣本股票收益率的描述性統(tǒng)計，可以得到如下初步結(jié)論。第一，在樣本內(nèi)，除科大訊飛和吉林敖東外，其他三支股票的收益均為正值，分別為東阿阿膠0.00034、五糧液0.00023和中集集團0.00043。第二，所有股票收益的偏度均為負值，具有有偏性；峰度均大于3，說明5支股票收益分布具有比正態(tài)分布更肥的尾部，存在極端收益狀態(tài)，這一結(jié)果由J-B檢驗得到了加強。為此，方差風險測度存在明顯不足，需要考慮VaR、ES類尾部風險。第三，根據(jù)VaR和ES的定義，分別求得單支股票的風險值，發(fā)現(xiàn)五支股票的ES值均大于VaR值，表明：ES風險測度更為保守且能夠較全面地衡量股票尾部風險。

表1 股票收益率的描述性統(tǒng)計

4.2 組合投資分析

本文對均值-ES風險組合投資模型，使用Expectile回歸方法進行求解，在給定期望收益約束條件下，計算損失序列尾部分布風險，并與均值-VaR組合投資模型、均值-方差組合投資模型進行比較，主要包括組合投資尾部風險、投資績效以及有效前沿等三個方面的比較。

在進行Expectile回歸時，為保證期望損失約束條件成立，對虛擬觀測中的放大系數(shù)取足夠大的值：κ=10000。在使用估計的Expectile計算ES和VaR時，需要考慮到θ與α之間的對應(yīng)關(guān)系。引理1為此提供了一個基本關(guān)系，Kuan等[9]進一步通過Monte Carlo計算得到了特定分布(主要有：均勻分布、標準正態(tài)分布、t(30)、t(10)、t(5)、t(3))兩者之間對應(yīng)關(guān)系。本文采用Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗判斷組合投資收益是否服從某一特定分布，檢驗結(jié)果表明：由Expectile回歸得到的組合投資收益分布與自由度為3的t分布相比較時，P值大于0.05，不能拒絕其分布一致的原假設(shè)。因此，認為其分布特征與t(3)分布沒有顯著性差異，本文關(guān)于θ與α之間的對應(yīng)關(guān)系，可以使用Kuan等[9]第263頁表1中最后一列(t(3)(%))的對應(yīng)結(jié)果。

4.2.1 組合投資風險與績效評價

為檢驗組合投資效果，需要考察其風險與績效。以等權(quán)組合投資方案為基準模型，得到樣本內(nèi)組合投資收益均值為0.0004，同時設(shè)置VaR與ES風險的置信度為95%。利用前文給定的方法，得到基于均值回歸的均值-方差模型(模型I)、基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型(模型II)和基于Expectile回歸的均值-ES模型(模型III)的樣本內(nèi)與樣本外組合投資風險與績效，結(jié)果如表2和表3所示。其中，表2中報告的模型I、模型II、模型III所得結(jié)果，都是以基準模型(等權(quán)組合投資方案)所得組合投資收益均值為給定期望收益。

表2 樣本內(nèi)組合投資風險與績效評價

表3 樣本外組合投資風險與績效評價

就風險而言，樣本內(nèi)結(jié)果可以概括為以下結(jié)論。第一，以標準差(或方差)作為風險測度指標時，模型I、模型II和模型III所得投資組合的標準差分別為0.0175、0.0176和0.0176，均小于等權(quán)組合標準差0.0185，說明采用模型I、模型II和模型III可以達到分散組合投資風險目的。第二，以VaR和ES作為風險測度指標時，模型III的VaR和ES分別為0.0199和0.0123，均明顯小于模型II、模型I以及等權(quán)組合投資方法，可見模型III用于分散組合投資尾部風險效果更優(yōu)。

就績效而言，本文考慮風險調(diào)整收益，采用Keating等[27]提出的Omega比率。由于Omega比率能夠考慮到收益完整分布信息，從而比建立在收益矩(一階矩、二階矩)信息基礎(chǔ)上的Sharpe比率、Sortino比率等績效指標更為可靠。Omega比率是一個望大指標，數(shù)值越高意味著投資績效越好，計算公式為：

(19)

式中，F(xiàn)(r)為收益率r的累積分布函數(shù)，r0為基準收益率。這里，將r0取值為0，意味著當收益率r大于0時，資產(chǎn)就會盈利；當收益率r小于0時，資產(chǎn)發(fā)生損失。從表 2可以看出，相比于等權(quán)組合、模型I和模型II，模型III所得組合投資的Omega比率最大，績效更優(yōu)。

結(jié)合樣本外結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：第一，本文基于Expectile回歸的均值-ES模型(模型III)的樣本外組合投資的風險與績效表現(xiàn)良好，樣本內(nèi)風險與績效的主體結(jié)論同時適用于樣本外。第二，將模型I、模型II和模型III的樣本內(nèi)與樣本外效果進行對比，可以看出，樣本外的標準差、VaR和ES均大于樣本內(nèi)的結(jié)果，說明對于所有模型其樣本內(nèi)效果優(yōu)于樣本外表現(xiàn)，符合相應(yīng)邏輯。

4.2.2 組合投資有效前沿

為進一步比較基于Expectile回歸的均值-ES模型(模型III)與基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型(模型II)、基于均值回歸的均值-方差模型(模型I)的組合投資效果，研究其所得投資組合的有效前沿以及最小風險點。給定組合投資收益區(qū)間(-0.001，0.002)，將其等分為100個收益點，分別計算在每個收益點下對應(yīng)風險值。在不同的給定期望收益條件下，能夠得到一個最優(yōu)組合投資以及相應(yīng)的一組最優(yōu)標準差、VaR與ES風險，從而得到三種不同的有效前沿表示方式，分別見圖 1、圖 2和圖 3。在三個圖中，分別報告了樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的期望收益與標準差(方差)風險、期望收益與VaR風險、期望收益與ES風險之間最佳組合。樣本外數(shù)據(jù)的結(jié)果與樣本內(nèi)相似，這里不作贅述。

圖1 組合投資有效前沿：收益-標準差

在圖 1中，以標準差(方差)作為橫坐標，可以發(fā)現(xiàn)：第一，模型I、模型II和模型III的有效邊界存在差異，三種模型的有效前沿存在子集關(guān)系。其中，模型III是模型II的子集，模型II是模型I的子集。當選擇置信度為95%時，模型I、模型II與模型III的有效前沿幾乎重合。第二，以標準差(方差)作為風險測度指標時，在相同的期望收益下，模型I面臨風險最小，這得益于模型I優(yōu)化的對象為標準差(方差)?，F(xiàn)實中，由于收益序列存在尖峰厚尾特征，不滿足正態(tài)分布，使用均值-方差模型處理組合投資問題時，容易出現(xiàn)模型設(shè)定誤差，低估組合投資風險。第三，就標準差(方差)最小風險點而言，三種模型的最小風險點恰好在期望收益率為0.0003時取得，得到最小標準差(方差)分別為0.0176(模型I)、0.0177(模型II)和0.0178(模型III)，驗證了三種模型有效邊界存在的子集關(guān)系。這一結(jié)果表明，期望收益率取0.0003時，三種模型均達到最優(yōu)組合投資的臨界點，過了該點即使再降低對期望收益率的要求，風險(標準差)也不會再降低。這一結(jié)論為投資者在風險可容忍范圍內(nèi)，權(quán)衡最佳期望收益提供了科學的參考依據(jù)。

圖2 組合投資有效前沿：收益-VaR

從圖 2可以看出：第一，三種模型有效前沿存在子集關(guān)系，分別為模型I是模型II的子集，模型II是模型III的子集。第二，以VaR作為風險測度指標時，在相同的期望收益率條件下，模型III所得的組合投資的VaR值低于模型I和模型II，即前者所得組合投資風險更小，反映出模型III風險組合投資模型在分散尾部風險方面具有顯著的優(yōu)勢，表明模型III比其他兩個模型更為有效。第三，就VaR風險而言，三個模型的最小風險點有所不同。模型I在期望收益為0.0003時，取得最小風險點，最小VaR為0.0290；模型II在期望收益為0.0002，最小VaR為0.0299；模型III在期望收益為0.0002，最小VaR為0.0210?？梢?，當期望收益為0.0002時，模型III最小VaR小于模型II，且風險減小幅度達到29.76%，說明模型III在分散組合投資風險方面具有明顯效果，有利于投資者改善最優(yōu)組合投資效果。

圖3 組合投資有效前沿：收益-ES

由圖 3可知：第一，以ES為風險測度指標時，三種模型有效前沿依然存在子集關(guān)系，模型I是模型II的子集，模型II是模型III的子集，意味著模型III所得有效組合投資范圍更廣。第二，模型III有效前沿位于最左邊，面臨ES風險最小，說明模型III可以很好的分散組合投資ES風險。第三，就ES最小風險點來看，當期望收益取0.0003時，三種模型均得到最優(yōu)組合投資臨界點，最小ES分別為0.0380(模型I)、0.0381(模型II)和0.0119(模型III)。此外，將圖 2和圖 3放在同一坐標系下，VaR有效前沿位于ES有效前沿的左側(cè)，意味著在給定同一期望收益水平下組合投資的ES風險值大于VaR風險值。這一結(jié)果表明，ES風險測度在實踐中相對保守，更合適作為組合投資風險測度指標。

5 結(jié)語

本文從回歸分析的角度重新審視了均值-ES模型，將均值-ES模型的求解轉(zhuǎn)化為一個Expectile回歸問題并給出其求解算法。本文算法的主要優(yōu)勢在于能夠避免傳統(tǒng)方法在求解均值-ES模型時的復雜計算過程，而且便于在實際中進一步擴展與應(yīng)用：監(jiān)測和管理大規(guī)模組合投資。許啟發(fā)等[28]使用Lasso分位數(shù)回歸給出帶有范數(shù)約束的高維組合投資模型求解算法，為從回歸分析角度解決大規(guī)模組合投資決策問題提供了思路。為了實現(xiàn)從眾多的金融資產(chǎn)中篩選出優(yōu)質(zhì)金融資產(chǎn)進行組合投資，未來可以將Lasso等變量選擇方法引入Expectile回歸，建立Lasso Expectile等回歸方法，求解帶有范數(shù)約束的均值-ES模型，完成大規(guī)模組合投資決策。

本文從組合投資的風險、績效、有效前沿等三個方面，實證檢驗了基于Expectile回歸的均值-ES組合投資模型(模型III)與均值-VaR模型(模型II)、均值-方差模型(模型I)的實證表現(xiàn)。實證結(jié)果表明：第一，就組合投資風險而言，模型III能夠更好地分散風險，適合對尾部風險管理有高精準要求的市場參與者；第二，就組合投資績效而言，通過Omega比率之間的對比，發(fā)現(xiàn)模型III績效最優(yōu)，處理組合投資決策問題更為恰當；第三，就組合投資有效前沿而言，在以VaR和ES作為風險測度指標時，模型III比模型I與模型II更為有效。