李曉龍，張順家，李 勇，畢 鵬，尹 航

（上海機(jī)電工程研究所，上海，201109）

0 引 言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)條件下，精確制導(dǎo)的巡航導(dǎo)彈已經(jīng)成為進(jìn)攻和打擊敵方目標(biāo)的重要手段［1］，其具有突防能力強(qiáng)、射程遠(yuǎn)、飛行軌跡靈活和命中精度高的特點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)上述打擊能力，通常采用航跡規(guī)劃的方法，跟蹤預(yù)先制定好的飛行規(guī)律實(shí)現(xiàn)自主式飛行。為了提升導(dǎo)彈攻擊距離，彈道中段往往采用預(yù)設(shè)高度規(guī)律的巡飛彈道飛行；考慮到巡航導(dǎo)彈的突防高度和巡航導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能大小密切相關(guān)［2］，在進(jìn)入敵方防空體系范圍后，為了提高作戰(zhàn)效能，首先采用超低空飛行的彈道方案，充分利用地球曲率帶來(lái)的視距限制減小被敵防空雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的距離，并在彈道末端采用“躍升俯沖”的方式攻擊目標(biāo)。在以上飛行彈道方案中，導(dǎo)彈的飛行高度均需按照高度指令變化。為保證導(dǎo)彈在不同飛行階段均能按照設(shè)定的高度規(guī)律飛行，需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制指令，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈飛行高度的精確控制。改變導(dǎo)彈的飛行軌跡通常通過(guò)控制導(dǎo)彈產(chǎn)生相應(yīng)的過(guò)載來(lái)實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)［3］提出了自抗擾高度控制規(guī)律設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)［4］采用魯棒伺服最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)了基于角速率的高度控制律，文獻(xiàn)［5］采用有限時(shí)間控制方法設(shè)計(jì)了高度控制模型。本文首先建立導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型，在此基礎(chǔ)上分別推導(dǎo)了兩種實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈高度跟蹤的制導(dǎo)律，將期望的飛行高度轉(zhuǎn)換為過(guò)載指令，并利用階躍和正弦兩種形式的高度指令開(kāi)展了數(shù)值仿真對(duì)比分析，結(jié)果表明兩種制導(dǎo)律均具有良好的響應(yīng)快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。目前，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律已得到工程應(yīng)用的驗(yàn)證。

1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

導(dǎo)彈在三維空間的運(yùn)動(dòng)可以用式（1）方程組［6］表示為

為分析方便，只研究導(dǎo)彈在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)彈在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可在彈道坐標(biāo)系中表示為

2 高度控制指令模型

2.1 基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)的制導(dǎo)律

導(dǎo)彈預(yù)定的飛行高度規(guī)律為

導(dǎo)彈實(shí)際飛行高度為H（t），則高度誤差為

對(duì)式（2）中第二、三式及式（3）分別求兩階導(dǎo)數(shù)，可得

則

則可得到關(guān)于高度跟蹤誤差的二階無(wú)靜差系統(tǒng)為

變形后為

通過(guò)選取合適的阻尼比ξ和自然頻率ωn，即可調(diào)節(jié)式（9）所描述二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，使系統(tǒng)具有適度的阻尼特性、較快的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)滿足某一性能要求的飛行高度跟蹤控制［7］。

高度控制指令最終形式為

若導(dǎo)彈等速巡航飛行，則可對(duì)上述制導(dǎo)律進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得

2.2 基于速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律

基于速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律設(shè)計(jì)思路如圖1所示。圖1中M為導(dǎo)彈當(dāng)前時(shí)刻的位置，速度為V，彈道傾角為θ；虛線為導(dǎo)彈期望飛行高度Hf，變化規(guī)律為Hf＝H＊（t）。為控制導(dǎo)彈按照期望高度規(guī)律飛行，首先需要消除高度誤差ΔH，可將高度誤差轉(zhuǎn)化為對(duì)飛行彈道傾角的需求θc1；同時(shí)為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，可將由于期望高度變化率引起的飛行彈道傾角的需求θc2補(bǔ)償至θc1，最終實(shí)現(xiàn)高度誤差的消除和高度的跟蹤。

實(shí)際飛行過(guò)程中，導(dǎo)彈的飛行高度與期望高度會(huì)存在一個(gè)偏差ΔH，可通過(guò)控制此偏差至零或小量實(shí)現(xiàn)高度的跟蹤。高度偏差控制過(guò)程為長(zhǎng)周期過(guò)程，可在tΔH時(shí)間內(nèi)按照線性規(guī)律控制高度偏差ΔH至零，則可得到其平均速度需求為

同時(shí)期望高度Hf為時(shí)間的函數(shù)，將式（3）求導(dǎo)，令

圖1 基于速度補(bǔ)償?shù)母叨雀欀茖?dǎo)律Fig.1 Guidance law based on velocity compensation

平均速度需求Vyc可轉(zhuǎn)化為對(duì)飛行彈道傾角的需求θc，則速度補(bǔ)償后的彈道傾角需求θc為

則導(dǎo)彈實(shí)際飛行彈道傾角與期望彈道傾角的偏差為

令期望彈道傾角變化率與Δθ成比例關(guān)系，則有

式中：kΔθ為比例系數(shù)。

將式（2）中第二式變形，可得指令模型計(jì)算方法為

綜合式（12）～（18），基于速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律可表示為

3 數(shù)字仿真分析

本章對(duì)前文所設(shè)計(jì)的兩種高度跟蹤制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)值仿真，對(duì)比分析在階躍和正弦曲線兩種典型的高度指令作用下，所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的響應(yīng)快速性、穩(wěn)態(tài)誤差、過(guò)載需求等性能。

3.1 階躍高度指令

仿真條件：導(dǎo)彈初始飛行狀態(tài)為保持6 000 m高度平飛，隨后按照階躍高度指令飛行至3 000 m高度并保持，導(dǎo)彈縱向合成過(guò)載限幅值為10 g。

數(shù)值仿真分析結(jié)果見(jiàn)圖2～6所示，其中制導(dǎo)律1為基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)的制導(dǎo)律，表達(dá)式見(jiàn)式（11）。制導(dǎo)律2為基于速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律，表達(dá)式見(jiàn)式（19）。

圖2 導(dǎo)彈高度（階躍高度指令）Fig.2 Missile height（step height instruction）

圖3 導(dǎo)彈高度跟蹤誤差（階躍高度指令）Fig.3 Tracking error of missile height（step height instruction）

圖4 導(dǎo)彈高度變化率（階躍高度指令）Fig.4 Changing ratio of missile height（step height instruction）

圖5 導(dǎo)彈高度變化率跟蹤誤差（階躍高度指令）Fig.5 Changing ratio of missile height tracking error（step height instruction）

圖6 導(dǎo)彈過(guò)載（階躍高度指令）Fig.6 Missile overload（step height instruction）

由圖2～6可知，在階躍高度指令條件下，兩種制導(dǎo)律均能實(shí)現(xiàn)高度的快速調(diào)整并穩(wěn)定跟蹤，高度跟蹤誤差和高度變化率追蹤誤差均能在較快時(shí)間內(nèi)收斂至零值附近；制導(dǎo)律1調(diào)節(jié)時(shí)間ts為13.95 s，制導(dǎo)律2調(diào)節(jié)時(shí)間ts為14.77 s，基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律響應(yīng)更快；在高度調(diào)整過(guò)程中，制導(dǎo)律1需用過(guò)載變化較為劇烈，對(duì)導(dǎo)彈過(guò)載響應(yīng)快速性要求較高。

3.2 正弦高度指令

仿真條件：導(dǎo)彈初始飛行狀態(tài)為保持3 000 m高度平飛，隨后按照正弦高度指令飛行，導(dǎo)彈高度指令為 H＊（t）＝3 000＋1 000×sin（98π／180×t）。

數(shù)值仿真分析結(jié)果見(jiàn)圖7～11所示，其中制導(dǎo)律1為基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)的制導(dǎo)律，制導(dǎo)律2為基于速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律。

由圖7～11可知，在正弦高度指令條件下，兩種制導(dǎo)律均能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，但存在一定的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。制導(dǎo)律1在其調(diào)節(jié)時(shí)間后出現(xiàn)的最大高度跟蹤誤差為0.5 m，最大高度變化率跟蹤誤差為0.2 m／s；制導(dǎo)律2在其調(diào)節(jié)時(shí)間后出現(xiàn)的最大高度跟蹤誤差為106.5 m，最大高度變化率跟蹤誤差為14.5 m／s，基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律穩(wěn)定跟蹤誤差較??；在飛行全過(guò)程中，兩種制導(dǎo)律需用過(guò)載相當(dāng)。

通過(guò)上述對(duì)比分析可以看出，本文所設(shè)計(jì)的兩種高度跟蹤規(guī)律均能夠穩(wěn)定跟蹤階躍和正弦形式高度指令，但兩者在過(guò)載需求、響應(yīng)時(shí)間及穩(wěn)態(tài)誤差控制等方面存在一定的差異。此外，與制導(dǎo)律2相比，制導(dǎo)律1解算過(guò)程中還需要高度指令的二階微分項(xiàng)信息，而在地勢(shì)跟蹤等應(yīng)用場(chǎng)景中上述信息往往難以直接且準(zhǔn)確地獲取。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以結(jié)合導(dǎo)彈自身的特點(diǎn)靈活選擇上述兩種規(guī)律：若導(dǎo)彈響應(yīng)快速性好且對(duì)飛行高度控制的快速性和跟蹤精度要求較高，則優(yōu)先選擇制導(dǎo)律1，否則可以選擇制導(dǎo)律2。

圖7 導(dǎo)彈高度（正弦高度指令）Fig.7 Missile height（sine height instruction）

圖8 導(dǎo)彈高度跟蹤誤差（正弦高度指令）Fig.8 Tracking error of missile height（sine height instruction）

圖9 導(dǎo)彈高度變化率（正弦高度指令）Fig.9 Changing ratio of missile height（sine height instruction）

圖10 導(dǎo)彈高度變化率跟蹤誤差（正弦高度指令）Fig.10 Changing ratio of missile height tracking error（sine height instruction）

圖11 導(dǎo)彈過(guò)載（正弦高度指令）Fig.11 Missile overload（sine height instruction）

4 工程應(yīng)用算例驗(yàn)證

首先分析在階躍和正弦形式的高度指令作用下兩者的性能特點(diǎn)，隨后通過(guò)兩個(gè)型號(hào)工程應(yīng)用算例進(jìn)一步驗(yàn)證其有效性和實(shí)用性。

4.1 算例1－基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)的制導(dǎo)律應(yīng)用

某型導(dǎo)彈為空中發(fā)射對(duì)地攻擊的遠(yuǎn)距巡航導(dǎo)彈，導(dǎo)彈全過(guò)程可用過(guò)載大于20 g，且導(dǎo)彈具備快速過(guò)載響應(yīng)

圖12 導(dǎo)彈飛行高度（算例1）Fig.12 Missile flying height（example 1）

可以看出，基于二階無(wú)靜差系統(tǒng)的制導(dǎo)律能夠快速實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈飛行高度的大范圍調(diào)節(jié)，跟蹤誤差小，全程最大需用過(guò)載不超過(guò)20 g。

4.2 算例2－基于速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律應(yīng)用

假設(shè)某型導(dǎo)彈可用過(guò)載不大于4 g，可用攻角不大于10°，導(dǎo)彈過(guò)載響應(yīng)較慢，按照飛行彈道要求，其需能力。其典型飛行彈道為：導(dǎo)彈發(fā)射后，迅速爬升至最優(yōu)巡航高度，保持巡航飛行；進(jìn)入預(yù)定空域后，快速完成飛行高度下降，保持低空巡航飛行；在接近目標(biāo)后拉起彈道，之后進(jìn)入末制導(dǎo)俯沖攻擊段。仿真中導(dǎo)彈的實(shí)際飛行高度通過(guò)文獻(xiàn)［8］提供的算法進(jìn)行解算。

依據(jù)上述彈道需求可知，導(dǎo)彈飛行過(guò)程中高度調(diào)整范圍大，調(diào)整時(shí)間短，而導(dǎo)彈具備快速過(guò)載響應(yīng)能力，因此采用基于二階無(wú)靜差制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈飛行高度的控制。

圖13 導(dǎo)彈過(guò)載（算例1）Fig.13 Missile overload（example 1）

仿真計(jì)算結(jié)果如圖12～13所示。在完成初始彈道調(diào)整后，以指數(shù)形式高度指令爬升至預(yù)定高度，隨后按照設(shè)定高度巡航飛行，接近巡航段末端后進(jìn)行了一次向下機(jī)動(dòng)，之后繼續(xù)回到巡航高度。

按照上述飛行彈道需求，導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中高度將經(jīng)歷多次變化，考慮到導(dǎo)彈過(guò)載響應(yīng)較慢，故采用基于速度補(bǔ)償?shù)母叨雀欀茖?dǎo)律實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈高度控制。

最終仿真結(jié)果如圖14～15所示。

圖14 導(dǎo)彈飛行高度（算例2）Fig.14 Missile flying height（example 2）

圖15 導(dǎo)彈過(guò)載（算例2）Fig.15 Missile overload（example 2）

可以看出，利用本文設(shè)計(jì)的基于速度補(bǔ)償?shù)母叨雀欀茖?dǎo)律，導(dǎo)彈能夠快速準(zhǔn)確響應(yīng)指數(shù)、階躍等不同形式的組合高度指令，很好地實(shí)現(xiàn)了飛行全過(guò)程的高度控制。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了兩種實(shí)現(xiàn)巡航導(dǎo)彈高度跟蹤控制的制導(dǎo)律，利用數(shù)值仿真對(duì)比分析了兩者對(duì)典型高度指令的響應(yīng)特點(diǎn)，并給出了其在工程研制中的實(shí)際應(yīng)用算例。結(jié)果表明兩種方法均能快速、穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈飛行高度的跟蹤控制，且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

此外，本文所提出的方法可以方便地?cái)U(kuò)展到橫向平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤控制，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈三維飛行軌跡的跟蹤控制。