鐘珍玖

圓是初中最為重要的基本圖形之一，圓中的弧、弦、圓心角、圓周角有很多常用的性質(zhì)，是解決圓中有關(guān)計算和推理的基礎(chǔ)，所以構(gòu)造輔助圓，運用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題是學習圓的重點和難點.下文對構(gòu)造輔助圓的方法和解題的技巧進行歸納.

一、運用圓的定義構(gòu)造輔助圓

教材上關(guān)于圓的定義有兩種.一種是從運動的角度定義圓：把線段OP繞點O旋轉(zhuǎn)一周，點P運動所形成的圖形；另一種是集合定義：圓是到定點的距離等于定長的點的集合.根據(jù)圓的集合定義，當問題中有若干個點到某一點距離相等時，可以考慮構(gòu)造輔助圓解決問題.

例1（1）如圖1，將△ABC繞著A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得△ADE，連接BD、CE，則△ABD與△ACE相似嗎？請證明你的結(jié)論.

圖1

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，將矩形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到矩形AEFG，使矩形AEFG的邊EF恰好經(jīng)過點D，連接BE，則BE的長為______.

圖2

圖3

【解析】解：（1）△ABD與△ACE相似.由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△ADE，

∠BAD=∠CAE，

∴AB=AD，AC=AE，

∴△ABD∽△ACE.

圖4

（2）如圖4，連接GD.∵∠BAE=∠DAG，BA=EA，GA=DA，

又∵在Rt△AED中，

AE=3，AD=5，

∴ED=4，∴DF=1，

∴在Rt△GFD中，

（3）點E在邊BC上的運動過程中，∠ACF的大小總保持不變.

圖5

∵四邊形AEFG是矩形，

∴OA=OF，OE=OG，AF=EG，

∴OA=OF=OE=OG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ECG=90°，

∴OC=OE，

∴OA=OF=OE=OG=OC，

∴點C、E、F、G、A在以O(shè)為圓心的圓上，

∴AF為圓O的直徑，

∴∠ACF=90°，

即∠ACF的大小保持不變.

【點評】本題的第三題可以用第一題的思路，證明△ABE∽△ACF，運用相似三角形的對應(yīng)角得到∠ACF為定角90°，對推理能力要求較高.由到定點的距離等于定長構(gòu)造輔助圓，運用圓的性質(zhì)“直徑所對的圓周角為90°”解決問題，簡潔明了，體現(xiàn)了思維的靈活性.

例2 如圖6，在△ABC中，AB=AC=5，

圖6

（1）如圖7，當點B1在線段BA的延長線上時，求證：BB1‖CA1.

圖7

（2）如圖8，E是BC的中點，F(xiàn)為線段AB上的動點，在△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F對應(yīng)的點為F1，求線段EF1的長度的最大值與最小值的差.

圖8

【解析】解：（1）由旋轉(zhuǎn)得BC=B1C，∠ACB=∠A1CB1，

∴∠B=∠BB1C，

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB，

∴∠A1CB1=∠BB1C，

∴BB1‖CA1.

（2）如圖9，連接AE，作CF⊥AB于點F.以點C為圓心，CF為半徑畫圓交BC于點F2，此時EF1最小，即為EF2；以點C為圓心，BC為半徑畫圓交BC的延長線于F3，此時EF1最大，即為EF3.

圖9

∵AB=AC，E為BC的中點，

∴BE=CE=AB·cos∠ABC=3，

∴AE=4，

∵BC·AE=AB·CF，

∴CF=4.8，

∴EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，

EF3=CF3+CE=6+3=9，

∵EF3-EF2=7.2，

故線段EF1長度最大值與最小值的差為7.2.

【點評】在很多的動態(tài)問題中，特別是翻折和旋轉(zhuǎn)的圖形運動中，都存在到定點的距離等于定長的情形.構(gòu)造輔助圓是解決這類問題的有效方法，解題的策略仍然是運用圓的性質(zhì).

本題利用了圓外或圓內(nèi)的點與圓心的連線跟圓相交，所得線段有最大值和最小值的結(jié)論.這也是圓中求單線段最值的常用方法.

二、運用定線段對定角構(gòu)造輔助圓

在很多問題中，如果一條定線段的張角是定值，那么這個角的頂點在以定線段為直徑或者為弦的圓上，此時構(gòu)造輔助圓解題較為方便.

例3已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為O（0，0），A（5，0），B（m，2），C（m-5，2）.

（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.

【分析】（1）如圖10，由四邊形四個點的坐標易得OA=BC=5，BC‖OA，構(gòu)造以O(shè)A為直徑的⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°.作DG⊥EF于G，連接DE，則DE=OD=2.5，DG=2.根據(jù)垂徑定理得 EG=GF.接著利用勾股定理可計算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F(xiàn)（4，2），即點P在E點和F點時，滿足條件.此時，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA=90°.

圖10

（2）如圖11，先判斷四邊形OABC是平行四邊形，由題意易得∠AQO=90°.以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，于是得到點Q只能是點E或點F.當Q在F點時，證明F是BC的中點，而F點為（4，2），得到m的值為6.5；當Q在E點時，同理可求得m的值為3.5.

圖11

解：（1）存在.

∵有O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2），

∴OA=BC=5，BC‖OA，

以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，

則∠OEA=∠OFA=90°，

如圖10，作DG⊥EF于G，連接DE，則DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，

∴E（1，2），F(xiàn)（4，2），

∴點P在E點和F點時，有∠OPA=90°，

（2）如圖11，

∵BC=OA=5，BC‖OA，

∴四邊形OABC是平行四邊形，

∴OC‖AB，

∴∠AOC+∠OAB=180°，

∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，

∴∠AOQ+∠OAQ=90°，

∴∠AQO=90°，

以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，

∴點Q只能是點E或點F.

當Q在F點時，

∵OF、AF分別是∠AOC與∠OAB的平分線，BC‖OA，

∴∠CFO=∠FOA=∠FOC ，∠BFA=∠FAO=∠FAB，

∴CF=OC，BF=AB，而OC=AB，

∴CF=BF，即F是BC的中點.

∵F點為（4，2），

∴此時m的值為6.5.

當Q在E點時，同理可得m的值為3.5，

∴綜上所述，m=3.5，6.5.

【點評】這是一道有一定難度的綜合題.引入輔助圓以后，運用圓的性質(zhì)解題，問題就得到簡化.所以構(gòu)造輔助圓解題可以簡化運算，優(yōu)化方法.

輔助圓通常是隱含在題目中的，所以很多老師也稱之為“隱圓”，其構(gòu)造的策略就是運用圓的集合定義和定弦對定角，解題的方法就是運用圓豐富的性質(zhì).