張杭嫣

圓，是幾何圖形中最完美的圖形，也是初中幾何中不多見(jiàn)的曲線圖形.在這一章中，知識(shí)點(diǎn)眾多，很多同學(xué)學(xué)得較為吃力.本文通過(guò)一組例題來(lái)為大家梳理本章知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

知識(shí)點(diǎn)一：圓中的角——圓周角和圓心角

圓周角和圓心角是圓中兩類特殊的角，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半”這條定理，可以將這兩類角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換.

例1△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（ ）.

A.80° B.160°

C.100° D.80°或100°

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形.如圖1，畫(huà)圖時(shí)要特別注意，△ABC可能為銳角三角形，也可能為鈍角三角形，因此要對(duì)點(diǎn)B在優(yōu)弧和劣弧上兩種情況加以分析，由圓周角定理即可求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠AB′C的度數(shù).

解：如圖1，∵∠AOC=160°，

圖1

∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°.

∴∠ABC的度數(shù)是：80°或100°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】看到圓中的角，我們往往要根據(jù)圖形先分析：這是圓周角，還是圓心角？利用哪條弧可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化？同時(shí)在沒(méi)有圖形或點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們也要進(jìn)一步思考：答案是不是唯一的？有沒(méi)有不同于此時(shí)的情況？要注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用，注意別漏解.

例2 如圖2，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，分別連接AC，BC，CD，OD.若∠DOB=140°，則∠ACD=（ ）.

圖2

A.20° B.30° C.40° D.70°

【分析】根據(jù)條件“AB是⊙O的直徑”，我們能輕松得到∠ACB=90°，再根據(jù)圓周角定理，由∠DOB求出∠DCB的度數(shù)，從而求解.

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠DOB=140°，

∴∠DCB=70°，

∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=20°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】圓中我們可以常見(jiàn)到兩類特殊三角形：當(dāng)出現(xiàn)兩條相等的半徑時(shí)，我們就找到了等腰三角形；當(dāng)出現(xiàn)直徑時(shí)，我們利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，就可以找到直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)二：圓中的弦——垂徑定理

例3如圖3，AD是⊙O的直徑，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，則OC= .

圖3

【分析】根據(jù)條件弦BC⊥AD，我們找到了垂徑定理的條件，求得BC=6，進(jìn)一步在Rt△ABE中，求出特殊角度30°，再將30°角轉(zhuǎn)化到Rt△COE中，從而求解OC的長(zhǎng)度.

∵AB=12，

∴Rt△ABE中，∠A=30°，

∴∠COE=2∠A=60°，

∴Rt△COE中，OE=2 3 ，OC=4 3.

【點(diǎn)評(píng)】垂徑定理結(jié)論中的“平分”既能產(chǎn)生邊的結(jié)論，又能通過(guò)弧產(chǎn)生角的結(jié)論，結(jié)合垂徑定理中的直角，是一個(gè)很好的基礎(chǔ)模型.

例4如圖4，⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD的長(zhǎng).

圖4

【分析】過(guò)O作OF垂直于CD，連接OD，利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn)，由AE+EB求出直徑AB的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出半徑OA與OD的長(zhǎng)，由OA-AE求出OE的長(zhǎng)，在直角三角形OEF中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長(zhǎng)，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的長(zhǎng)，由CD=2DF即可求出CD的長(zhǎng).

解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，OF交CD于點(diǎn)F，連接OD，如圖5.

圖5

在Rt△OFD中，OF=1，OD=4，

根據(jù)勾股定理得：

【點(diǎn)評(píng)】圓中已知弦，要求弦長(zhǎng)的問(wèn)題，我們可以嘗試用構(gòu)造垂徑定理的直角三角形來(lái)解決，而本題中的30°角又提供了一個(gè)更特殊的直角三角形，進(jìn)而可以綜合解題.

知識(shí)點(diǎn)三：圓中的線——切線

例5如圖6，AC是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且∠DAB=∠B.

∴F為CD的中點(diǎn)，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，

∴AB=AE+EB=2+6=8，

∴OA=4，∴OE=OA-AE=4-2=2，

在Rt△OEF中，∠DEB=30°，

圖6

（1）求∠B的度數(shù)；

（2）若BD=9，求BC的長(zhǎng).

【分析】由PB為圓的切線，利用切線性質(zhì)，得到PB與OD垂直，在△ODB中，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù)，進(jìn)一步可求出線段BC的長(zhǎng).

解：（1）連接OD.

∵PB切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥PB

∵OA=OD，

∴∠COD=2∠A，而∠A=∠B，

∴∠COD=2∠B，

∴在Rt△BOD中，∠B=30°.

（2）∵在Rt△BOD中，BD=9，

【點(diǎn)評(píng)】切線是圓中過(guò)圓上一點(diǎn)的一條特殊的線，“見(jiàn)切線，找半徑，得垂直”，因此，利用切線，我們可以輕松地找到直角三角形，進(jìn)一步結(jié)合勾股定理等綜合解題.

例6如圖7，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心作⊙O，⊙O經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交線段EO于點(diǎn)F，若AB=BF.

圖7

（1）求證：AB是⊙O的切線；

【分析】求證圓的切線，在直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)即轉(zhuǎn)化為求證直角，從而產(chǎn)生輔助線AO；證出的直角又為求解（2）中的sinB提供了條件，（2）中突破點(diǎn)為“點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)”，從而產(chǎn)生Rt△DOF.

證明：（1）連接OA，OD.

∵點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，

∴OD⊥BC，∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠OFD=90°，

即∠OAB=90°，∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切線.

解：（2）OF=CF-OC=4-r，OD=r，DF=，

在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，

解得r1=3，r2=1（舍去），∴半徑r=3，

∴ OA=3，OF=CF-OC=4-3=1，BO=BF+FO=AB+1.

在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，

∴AB2+32=（AB+1）2，

【點(diǎn)評(píng)】求證切線時(shí)，我們要判斷這條直線與圓有無(wú)公共點(diǎn)，有公共點(diǎn)時(shí)，我們“找半徑，證垂直”，無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，我們“作垂直，證半徑”.要學(xué)會(huì)運(yùn)用切線產(chǎn)生的直角三角形進(jìn)行綜合解題.

知識(shí)點(diǎn)四：內(nèi)切圓與外接圓

例7在△ABC中，∠A=50°，

（1）若點(diǎn)O是△ABC的外心，則∠BOC=__.

（2）若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則∠BOC=__.

【分析】從定義入手，我們可以得到，外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理求解；而內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，從而根據(jù)角平分線及三角形內(nèi)角和定理綜合解題.

解：（1）∵點(diǎn)O是△ABC的外心，

∴∠BOC=2∠A=100°.

圖8

（2）∵△ABC中，∠A=50°.

∴∠BOC=180°-65°=115°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了內(nèi)心、外心兩個(gè)基本定義，我們要根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的草圖，抓住定義，綜合運(yùn)用圓周角、三角形內(nèi)角和等知識(shí)解題.

例8如圖10，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn).

圖9

∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，

∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，

∴OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，

圖10

（1）求證：BE=CE；

（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半徑.

【分析】（1）根據(jù)條件“⊙O是△ABC的內(nèi)切圓”，我們可以利用切線長(zhǎng)定理，證得BE=CE；（2）若∠A=90°，再加上切線產(chǎn)生的兩個(gè)直角，我們可以證得四邊形ODAF是矩形，進(jìn)一步證得四邊形ODAF是正方形，從而求解.

證明：（1）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn)，見(jiàn)圖11.

圖11

∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，

∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，

即BD=CF，∴BE=CE.

解：（2）連接OD，OF.

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn)，

∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，

∴四邊形ODAF是矩形，

又∵OD=OF，∴四邊形ODAF是正方形.

設(shè)OD=AD=AF=r，則BE=BD=CF=CE=2-r.

在△ABC中，∠A=90°，

又∵BC=BE+CE，

【點(diǎn)評(píng)】在出現(xiàn)內(nèi)切圓條件時(shí)，我們既可以直接使用切線的性質(zhì)，又可以組合兩條切線，使用切線長(zhǎng)定理，還可以使用內(nèi)心等結(jié)論，因此，要根據(jù)題目要求靈活運(yùn)用.

例9圖12是一塊△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，現(xiàn)將余料裁剪成一個(gè)圓形材料，則該圓的最大面積是_________.

圖12

【分析】當(dāng)該圓為三角形內(nèi)切圓時(shí)面積最大.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則該三角形面積可表示為：·r·（AB+BC+AC）=21r.若作BC邊上的高AD，三角形的面積公式可表示為·BC·AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面積，從而可得r，求得圓的面積.

解：如圖13所示，

圖13

圖14

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖 14，設(shè) CD=x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：

AD2=AB2-BD2=400-（7+x）2，

在Rt△ACD中，AD2=AC2-x2=225-x2，

∴400-（7+x）2=225-x2，

解得：x=9，∴AD=12，

∴21r=42，∴r=2.

∴該圓的最大面積為：

S=πr2=π·22=4π（cm2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題中我們把內(nèi)切圓與面積進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)內(nèi)切圓構(gòu)造出3個(gè)垂直，進(jìn)一步構(gòu)造高線，用面積法列出了基本算式.用面積來(lái)求內(nèi)切圓半徑也是一個(gè)基本方法.

知識(shí)點(diǎn)五：弧長(zhǎng)與扇形面積

例10 現(xiàn)有一張圓心角為108°，半徑為40cm的扇形紙片，小紅剪去圓心角為θ的部分扇形紙片后，將剩下的紙片制作成一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），則剪去的扇形紙片的圓心角θ為

圖15

【分析】已知圓錐形紙帽底面半徑是10cm，則展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)是20πcm.根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=nπr÷180，就可以知道剪后的扇形圓心角度數(shù)，從而求出θ.

解得：n=90°.

∵原始扇形彩紙片的圓心角是108°，

∴剪去的扇形紙片的圓心角為108°-90°=18°.故答案為：18°.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.解題思路：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng).正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系進(jìn)行記憶是解題的關(guān)鍵.

例11如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置……以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是（ ）.

圖16

A.2015π B.3019.5π

C.3018π D.3024π

【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)每4次一循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可.

解：轉(zhuǎn)動(dòng)一次，A的路線長(zhǎng)是：2π；轉(zhuǎn)動(dòng)第二次，A的路線長(zhǎng)是：轉(zhuǎn)動(dòng)第三次，A的路線長(zhǎng)是：；轉(zhuǎn)動(dòng)第四次，A的路線長(zhǎng)是：0；轉(zhuǎn)動(dòng)第五次，A的路線長(zhǎng)是：

以此類推，每4次一循環(huán)，故頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)4次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：4=503余3，頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)2015次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：6π×504=3024π.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用和探索規(guī)律問(wèn)題.第一步，列舉出前面若干次的計(jì)算結(jié)果；第二步，尋找出循環(huán)的周期或前n次呈現(xiàn)的規(guī)律；第三步，歸納，根據(jù)周期或規(guī)律尋找題目答案.其中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.