熊洋 田金松 王遠(yuǎn)宇

摘 要：本文通過對高速收費(fèi)站收費(fèi)后車輛的合并進(jìn)行研究，建立了高速公路上汽車到達(dá)收費(fèi)站的排隊(duì)模型，根據(jù)來自新澤西州高速公路管理局的數(shù)據(jù)，我們模擬了真實(shí)的條件，對高速公路收費(fèi)站收費(fèi)進(jìn)行分析。本文從排隊(duì)論的基本理論出發(fā)，探討高速公路收費(fèi)站收費(fèi)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題。

關(guān)鍵詞：排隊(duì)論 收費(fèi)站數(shù)目 汽車排隊(duì)

1 背景

高速收費(fèi)站收費(fèi)后車輛的合并需要考慮的是收費(fèi)站的站臺數(shù)目，由收費(fèi)站的站臺數(shù)目就可以推出收費(fèi)站能容納的車輛數(shù)，通過容納車輛數(shù)及平均車輛長度就能確定跟隨收費(fèi)障礙區(qū)域的形狀和尺寸。由此就可以得出其合并模式。在排隊(duì)論模型中對車流量大小的更改就可以得出在不同車流量情況下的收費(fèi)站擁堵情況從而比較出收費(fèi)站的性能，隨著更多自駕車輛的加入交通組合我們只需要增加一些自動收費(fèi)站和電子收費(fèi)站以此來增加收費(fèi)站的車輛通過效率。

2 收費(fèi)站數(shù)目的確定

2.1 M/M/1模型

通過對排隊(duì)論模型的理解，以及對matlab的運(yùn)用，根據(jù)初始化車輛數(shù)、總通行時(shí)間（T）、車輛隊(duì)列的最大長度（N）以及車輛的到達(dá)率（lambda）與收費(fèi)站對車輛通行的服務(wù)率（mu），計(jì)算出車輛平均到達(dá)時(shí)距（at）與收費(fèi)站對車輛通行的平均服務(wù)時(shí)間（st），利用Round函數(shù)計(jì)算出車道上在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)。

①當(dāng)B

2.2 M/M/N多服務(wù)臺模型

在M/M/N多服務(wù)臺模型中，N個(gè)服務(wù)臺就代表了N個(gè)收費(fèi)站，收費(fèi)站的個(gè)數(shù)不僅來自車輛數(shù)，服務(wù)水平的限制，還有建設(shè)每一個(gè)收費(fèi)站的實(shí)際費(fèi)用成本的帶來的約束，單一條件不足以達(dá)到服務(wù)水平的制約。最大的車輛等待數(shù)（K），單位時(shí)間（T），到達(dá)時(shí)間間隔（lambda）與服務(wù)時(shí)間（mu）均服從指數(shù)分布，在車輛的到達(dá)時(shí)間與車輛的離開時(shí)間，以及在整個(gè)時(shí)間序列中的當(dāng)前時(shí)間，隊(duì)長與時(shí)間序列對收費(fèi)也進(jìn)行著約束，在到達(dá)時(shí)間中，如該系統(tǒng)中的車輛序列已經(jīng)出現(xiàn)了棧滿狀態(tài)，還應(yīng)計(jì)算出實(shí)際的車輛服務(wù)數(shù)以及未參加到的車輛服務(wù)數(shù)，還有總的車輛到達(dá)數(shù)，計(jì)算出所占比例。

當(dāng)車輛到達(dá)收費(fèi)站，我們將記錄車輛的到達(dá)時(shí)間，分析車輛的到達(dá)過程，在此過程中不斷刷新車輛的到達(dá)時(shí)間，使之服從指數(shù)分布，與我們的假設(shè)條件相符合，當(dāng)車來到收費(fèi)站，車輛的到達(dá)數(shù)，累計(jì)形成的的隊(duì)列長度（L）小于實(shí)際的收費(fèi)站數(shù)目（B），則說明有空閑的收費(fèi)站存在，現(xiàn)在推導(dǎo)出該車的離開時(shí)間就等于到達(dá)時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和。此時(shí)就需要重新更新隊(duì)列長度，累加到達(dá)車輛數(shù)與服務(wù)車輛數(shù)目，并記錄該車輛的到達(dá)時(shí)間序列以及該車輛的服務(wù)時(shí)間開始序列，由此就會產(chǎn)生新的車輛離開時(shí)間，并對新的時(shí)間表進(jìn)行排序。

如果當(dāng)車輛的最大等待數(shù)趨于無窮的時(shí)候，將隊(duì)長序列（LL）與到達(dá)車輛數(shù)相比較，車輛數(shù)最大超過實(shí)際的收費(fèi)站數(shù)目（B）與最大車輛等待數(shù)（k）之和，并求出時(shí)間終止點(diǎn)（T）與時(shí)間序列（tt）的差分函數(shù)，進(jìn)而確定隊(duì)長數(shù)為容忍范圍內(nèi)的的任一值的概率，最終得到在不同的收費(fèi)站數(shù)目下，車輛不能車輛不能馬上得到服務(wù)的概率，由此確定高速路上的不同車道數(shù)條件下，應(yīng)該擁有的最佳收費(fèi)站數(shù)目。

當(dāng)我們根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到準(zhǔn)確的收費(fèi)站個(gè)數(shù)，利用公式估計(jì)計(jì)算出等待車輛數(shù)，找到其中最大的等待車輛數(shù)，進(jìn)而預(yù)留出一個(gè)較長?？諘r(shí)間序列要留給等待車輛足夠的位置如下公式確定

由此，我們可以確定出整個(gè)收費(fèi)廣場的橫向以及縱向尺寸。

由于收費(fèi)站的個(gè)數(shù)在理論上本沒有限制，考慮到實(shí)際情況，修建的費(fèi)用為極大的決策因素，以收費(fèi)站的保養(yǎng)與人工為價(jià)值參考估量，對收費(fèi)站數(shù)目與擁堵比例進(jìn)行擬合，得到線性關(guān)系，及擁堵情況（P）與收費(fèi)站數(shù)目（B）的關(guān)系。

根據(jù)收費(fèi)站所需費(fèi)用（C），進(jìn)行有效推導(dǎo)得到以下費(fèi)用跟擁堵概率的公式

進(jìn)而根據(jù)反函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的思想，進(jìn)一步對費(fèi)用跟擁堵概率的公式進(jìn)行研究，使用求導(dǎo)的手段找到導(dǎo)數(shù)的平滑區(qū)域，該區(qū)域表示當(dāng)費(fèi)用增加時(shí)，擁堵概率隨費(fèi)用增加而逐漸減小，我們在考慮到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的置信區(qū)間在0.95以內(nèi)。

3 確定電子收費(fèi)站比例

在問題中提到的各種服務(wù)臺，其中心作用即為減少服務(wù)時(shí)間，提高服務(wù)率μ，在我們的假設(shè)之中服務(wù)率為10s/輛，大量數(shù)據(jù)表明，再安裝如國內(nèi)的ETC通行裝置或是其他的尖端收費(fèi)臺之后，其通行速度大約為5s/輛，此轉(zhuǎn)換僅需要將模型中的服務(wù)率做出相應(yīng)改變即可，模型如下：

在未經(jīng)改變的收費(fèi)臺綜合服務(wù)能力為μ

我們假設(shè)插入了比例為a的電子收費(fèi)站，即原來的收費(fèi)站比例為（1-a），有如下式子：

再對之前建立好的模型中的μ進(jìn)行更改使之達(dá)到之前的不會擁堵概率，即得到了μnew有上式變形得到：

最終精準(zhǔn)求得電子收費(fèi)站所占比例為

4 模型的優(yōu)點(diǎn)

該模型運(yùn)用了交通工程的專業(yè)知識排隊(duì)論，該模型和排隊(duì)論緊密連接使得該模型不但可以很好的解決新澤西州高速公路收費(fèi)問題，而且全世界任何地方的道路收費(fèi)站問題都可以很好的解決.

因?yàn)樵诖四Ｐ椭兄饕鶕?jù)車流量來考慮收費(fèi)站修建個(gè)數(shù)的，從而靈活的調(diào)整普通高數(shù)收費(fèi)和自動收費(fèi)站的比例，讓高速路收費(fèi)站的工作人員可以靈活的進(jìn)行工作安排，同時(shí)也可以讓在高速公路上行駛的車輛能高效的通過收費(fèi)站。