王志剛, 董長(zhǎng)城， 侯 凱， 高鵬飛

(1. 南瑞集團(tuán)(國(guó)網(wǎng)電力科學(xué)研究院)有限公司， 江蘇省南京市 211106；

2. 國(guó)電南瑞科技股份有限公司， 江蘇省南京市 211106； 3. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院， 江蘇省南京市 211100)

0 引言

由于LLC諧振電路能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)隔離變壓器原邊和副邊的功率器件的軟開(kāi)關(guān)效果，具有高效率和高功率密度的優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于DC/DC變換器場(chǎng)合[1-2]。傳統(tǒng)的LLC電路分析方法為頻域分析方法，基于基波近似法(FHA)簡(jiǎn)化模型雖然可以非常方便地繪制增益曲線和進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)設(shè)計(jì)，但是這種分析方法卻忽略了高頻分量對(duì)電路設(shè)計(jì)過(guò)程中的影響，而且不能反映電壓和電流在某一個(gè)點(diǎn)上的時(shí)域狀態(tài)。

文獻(xiàn)[3-4]基于時(shí)域分析方法分析電路，給出每個(gè)階段的時(shí)域方程，但是僅關(guān)注開(kāi)關(guān)頻率小于諧振頻率的升壓部分，也未根據(jù)這些時(shí)域方程的相互關(guān)系，推導(dǎo)出包含電路全部信息的方程組。文獻(xiàn)[5]在進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)對(duì)諧振電流進(jìn)行了簡(jiǎn)化，導(dǎo)致在遠(yuǎn)離諧振點(diǎn)處會(huì)造成較大偏差。文獻(xiàn)[6]在FHA頻域分析模型的基礎(chǔ)上引入時(shí)域分析方法，重新定義增益公式中相關(guān)部分為諧振因數(shù)和負(fù)載因數(shù)進(jìn)行分析，但是這種定義沒(méi)有明確的依據(jù)，且缺乏現(xiàn)實(shí)的物理意義。文獻(xiàn)[7-9]只是針對(duì)LLC電路的移相控制部分進(jìn)行了時(shí)域分析，而未對(duì)占LLC電路絕大多數(shù)的工作狀態(tài)的變頻工作部分進(jìn)行時(shí)域分析。

因此本文根據(jù)全橋LLC電路的時(shí)域電壓、電流波形，分段推導(dǎo)出包含電路工作時(shí)全部信息的時(shí)域方程組。在方程組的基礎(chǔ)上，根據(jù)邊界條件，求解出其數(shù)值解，包括增益、瞬時(shí)電壓和電流等，并且與FHA作了對(duì)比分析。

1 LLC電路拓?fù)浜凸ぷ鲄^(qū)域

全橋LLC電路的拓?fù)涫疽鈭D如附錄A圖A1所示。其中:S1至S4為4個(gè)具有反并聯(lián)二極管的開(kāi)關(guān)管；D1至D4為輸出整流二極管；Co為輸出濾波電容；RLd為負(fù)載；n為原副邊匝比；諧振元件包括電感Lr(包括變壓器的原邊漏感)、Lm和電容Cr，其中Lr和Cr分別為諧振電感和諧振電容，而Lm與變壓器并聯(lián)，可以由變壓器的勵(lì)磁電感來(lái)實(shí)現(xiàn)；由于諧振電容Cr串聯(lián)在原邊回路中，它同時(shí)起到隔直作用。

根據(jù)電壓增益和電路頻率將全橋LLC電路工作區(qū)域分類，如附錄A圖A2所示。其中區(qū)域3為容性工作區(qū)域，此時(shí)開(kāi)關(guān)管無(wú)法實(shí)現(xiàn)零電壓開(kāi)關(guān)(ZVS)開(kāi)通，損耗大且頻率太低，不利于變壓器設(shè)計(jì)，一般LLC電路不工作在此區(qū)域。因此本文只討論區(qū)域1和區(qū)域2全橋LLC電路工作狀態(tài)。

2 LLC電路全時(shí)域方程

2.1 區(qū)域1全時(shí)域方程

區(qū)域1：在工作頻率fs>fr(Lr和Cr的諧振頻率)時(shí)，電壓增益小于1.0，處于降壓模式[10]，變換器呈感性，開(kāi)關(guān)管工作在ZVS開(kāi)通狀態(tài)。區(qū)域1的工作波形如圖1(a)所示，根據(jù)電壓、電流實(shí)際工作波形對(duì)電路進(jìn)行分析，可建立全時(shí)域方程組。其中vgs1，2，3，4為S1至S4的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，vAB為開(kāi)關(guān)管H橋中點(diǎn)輸出電壓，iLr為諧振腔電流，vLr為諧振電感上的電壓，iLm為勵(lì)磁電流，vCr為諧振腔電容電壓，iCr為流經(jīng)諧振電容的電流，iD1為流經(jīng)二極管D1的電流，iD3為流經(jīng)二極管D3的電流,Vi為L(zhǎng)LC輸入端直流電壓，Vo為L(zhǎng)LC輸出端直流電壓。

圖1 區(qū)域1工作波形及半周期等效電路圖Fig.1 Working waveform of area 1 and equivalent circuit in half cycle

死區(qū)時(shí)間對(duì)LLC電路實(shí)現(xiàn)ZVS開(kāi)通有一定影響，在電路特性分析中視情況區(qū)分對(duì)待。對(duì)于區(qū)域1，因諧振電流不能突變，如圖1(a)中t1～t2死區(qū)時(shí)間內(nèi)諧振電流逐步下降至勵(lì)磁電流，因此死區(qū)時(shí)間不能直接忽略。而為了方便分析，認(rèn)為在t1時(shí)間點(diǎn)，vAB電壓直接反向。那么在區(qū)域1內(nèi)，諧振等效電路如圖1(b)和圖1(c)所示。在t0～t1時(shí)間段內(nèi)，vAB等于Vi，電流方向如圖1(b)所示。在t1～t2時(shí)間段內(nèi)，vAB等于-Vi，電流方向保持原有方向，如圖1(c)所示。

記t0時(shí)間為開(kāi)始時(shí)刻，根據(jù)圖1(b)和圖1(c)等效電路，可列寫(xiě)微分方程組如式(1)所示。

iLr(t)=Csin(w1t+φ)=Ccosφsin(w1t)+

Csinφcos(w1t)

(1)

式中：iLr(t)為iLr瞬時(shí)值，其他帶有后綴(t)的變量同樣表示此變量的瞬時(shí)值；C和φ為常量；w1為諧振電流的角頻率。

記將初始條件式(2)代入式(1)中可以得到：

(2)

(3)

式中：Im為t=t2時(shí)的諧振電流值。

由穩(wěn)態(tài)時(shí)波形的對(duì)稱性可知,t=t0時(shí)的諧振電流值為-Im。對(duì)應(yīng)于圖2(a),Im為t=t3時(shí)的諧振電流值。vCr(0)為t=t0時(shí)的諧振電容上的電壓，記為其初值。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律對(duì)等效電路進(jìn)行分析可得：

vCr(t)= (Vi-nVo)-[(Vi-nVo-

vCr(0))cos(w1t)+w1LrImsin(w1t)]

(4)

在上述分析的半周期內(nèi)，勵(lì)磁電流iLm為線性變化，結(jié)合得到的電流iLr和電壓vCr表達(dá)式可得：

(5)

為便于對(duì)LLC電路變量分析，將相關(guān)參量進(jìn)行歸一化處理[9,11-12]，設(shè)置基準(zhǔn)電壓VB、基準(zhǔn)電流IB、基準(zhǔn)阻抗ZB和基準(zhǔn)角頻率wB如式(6)所示。

(6)

1)0≤θ≤θ1

(7)

2)θ1≤θ≤θ2

(8)

2.2 區(qū)域2全時(shí)域方程

區(qū)域2：在fs

圖2 工作區(qū)域2半周期等效電路圖Fig.2 Half Equivalent circuit of area 2 in half cycle

類似區(qū)域1分析過(guò)程，對(duì)區(qū)域2的等效電路進(jìn)行分析得到時(shí)間段t0～t1和t1～t2的勵(lì)磁電流iLm、電流iLr和電壓vCr，然后將時(shí)間段轉(zhuǎn)化成角度段0～θ1和θ1～θ2并且將電壓電流量標(biāo)幺化得到式(9)和式(10)，即

1)0≤θ≤θ1

(9)

2)θ1≤θ≤θ2

(10)

2.3 邊界條件及非線性方程組

2.1節(jié)和2.2節(jié)根據(jù)LLC電路工作區(qū)域1和2的電壓電流波形列寫(xiě)了其時(shí)域方程。時(shí)域方程反映了各部分電壓電流的瞬時(shí)值，但是方程中有一些參數(shù)需要通過(guò)一些邊界條件進(jìn)行限定[13-14]。

對(duì)于區(qū)域1，邊界條件為：

(11)

同時(shí)根據(jù)勵(lì)磁電流iLm從t0積分到t2為零，根據(jù)文獻(xiàn)[8]可得：

(12)

式中：品質(zhì)因數(shù)Q=Zr/[(8n2/π2)RLd],其中RLd為輸出端等效負(fù)載電阻，Zr為特征阻抗。

基坑與斜拱樁基承臺(tái)邊緣凈距不同時(shí)，斜拱樁基產(chǎn)生的水平推力對(duì)深基坑的影響是不同的。分析邊緣凈距L對(duì)鄰近深基坑圍護(hù)樁的影響時(shí)，斜拱樁基先于深基坑施工，即基坑開(kāi)挖前斜拱已經(jīng)對(duì)承臺(tái)施加荷載。邊緣凈距L分別取為5 m、10 m、15 m、20 m、25 m、30 m。圖6和圖7分別為不同邊緣凈距下圍護(hù)樁樁身最大水平位移分布圖和圍護(hù)樁最大水平位移變化曲線圖。

綜上所述，聯(lián)立所有邊界條件和約束條件可得：

(13)

對(duì)于區(qū)域2，邊界條件為:

(14)

區(qū)域2的不同之處的是勵(lì)磁電流從t0到t2并不是一條直線且其積分不為零。由t0到t2的積分與輸出電流的Io的關(guān)系可以推出：

(15)

因此類似區(qū)域1情況，聯(lián)立所有邊界條件和約束條件可得方程組如式(16)所示。

(16)

3 分析與實(shí)驗(yàn)

3.1非線性方程求解

上文給出了包含LLC電路完整時(shí)域信息的隱式方程組，為進(jìn)一步進(jìn)行分析，并驗(yàn)證時(shí)域分析的有效性，本章使用數(shù)學(xué)工具M(jìn)ATLAB軟件，通過(guò)fsolve(·)函數(shù)計(jì)算出方程的數(shù)值解。fsolve(·)解決的方程形式為F(X)=0，用法為：

x=fsolve(f(x),x0)

(17)

式中：f(x)為方程組；x0為初值，需要提前設(shè)定。

求解過(guò)程中最重要的是確定迭代算法和初值，迭代算法使用“信賴域狗腿法(trust-region-dogleg)”，這種最優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)是可靠性高，有效性和收斂性強(qiáng)。首次初值的設(shè)定，根據(jù)LLC電路實(shí)際工況和參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，因諧振點(diǎn)處的工作狀態(tài)最為簡(jiǎn)單，并且參數(shù)估算最為容易，所以選取諧振點(diǎn)處的電氣參數(shù)為首次計(jì)算的初值，然后通過(guò)fsolve(·)函數(shù)求解諧振點(diǎn)處的各個(gè)變量的真實(shí)值，此為一次完整的求解過(guò)程。

以此類推，進(jìn)行其他工作頻率點(diǎn)的方程的求解。

3.2 軟開(kāi)關(guān)分析

圖3 時(shí)域與頻域增益曲線比較Fig.3 Comparison of gain curves in time domain and frequency domain

對(duì)于FHA增益曲線，許多論文提及增益最高點(diǎn)是感性和容性工作區(qū)域的分界點(diǎn)，但是根據(jù)圖3(b)可知，此分界點(diǎn)位于B點(diǎn)，要略小于增益最高點(diǎn)A點(diǎn)。這是因?yàn)镕HA實(shí)際上是有損分析，丟失了一些高頻分量的影響。所以基于FHA的電路設(shè)計(jì)中，要保證電路實(shí)現(xiàn)ZVS開(kāi)通的效果，增益一般要取0.9～0.95的裕度。

3.3 實(shí)驗(yàn)

為對(duì)所建立的時(shí)域模型進(jìn)行驗(yàn)證，在20 kW電動(dòng)汽車(chē)充電模塊[7]上對(duì)增益特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)電路為雙路輸入串聯(lián)輸出并聯(lián)(ISOP)型LLC電路，下面的實(shí)驗(yàn)分析只針對(duì)單路，實(shí)驗(yàn)工作波形如附錄A圖A3所示。

針對(duì)特定的Q，施加一定的電阻負(fù)載，同時(shí)測(cè)量單路LLC電路的輸入電壓和輸出電壓，然后計(jì)算輸出電壓與輸入電壓的比值，獲得真實(shí)增益。并將通過(guò)頻域分析方法(FHA)、時(shí)域分析方法和實(shí)驗(yàn)方法獲得的增益曲線繪制在一起，如附錄B表B1和圖4所示。同理可繪制出Q=0.35和Q=0.45時(shí)的增益曲線和效率曲線，如圖5和圖6所示。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，相對(duì)于FHA，時(shí)域分析方法獲得增益更加貼近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，尤其是工作頻率小于諧振頻率時(shí)。工作頻率大于諧振頻率時(shí)，隨著Q變小，即負(fù)載變輕時(shí)，高頻段的實(shí)測(cè)增益有上翹趨勢(shì)，時(shí)域分析方法的增益曲線較實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差變大。另外從效率曲線可以看出，高頻段LLC的效率下降較快，理論上會(huì)對(duì)增益造成一定的損失，但是由于高頻段曲線上翹，并不十分明顯。有關(guān)高頻段增益上翹的現(xiàn)象將在后續(xù)研究中進(jìn)行分析。

圖4 Q=0.25時(shí)增益及效率Fig.4 Gain and efficiency when Q=0.25

圖5 Q=0.35時(shí)增益及效率Fig.5 Gain and efficiency when Q=0.35

圖6 Q=0.45時(shí)增益及效率Fig.6 Gain and efficiency when Q=0.45

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了完整的全橋LLC時(shí)域分析模型，建立了其時(shí)域非線性方程組，給出了其求解方法，并針對(duì)軟開(kāi)關(guān)范圍和增益進(jìn)行了詳細(xì)的分析。增益實(shí)驗(yàn)證明，本文所提時(shí)域模型及分析方法能夠更為準(zhǔn)確地表述LLC電路的特性，尤其遠(yuǎn)離諧振點(diǎn)時(shí)的電路特性。時(shí)域分析方法設(shè)計(jì)非線性方程組，較FHA方法更為復(fù)雜，如何將其工程實(shí)用化是以后研究工作的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

附錄見(jiàn)本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。