山東省聊城市第六中學(xué) (郵編：252000)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

如圖1所示，亞里士多德說(shuō)：有兩個(gè)大小不等的同心圓，半徑分別為R和r(R>r).大⊙O從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線L1滾動(dòng)一周到A1，線段AA1的長(zhǎng)度應(yīng)等于大⊙O的周長(zhǎng)2πR.大⊙O和小⊙O是固定在一起的同心圓，大⊙O滾動(dòng)一周，小⊙O也滾動(dòng)一周，這樣就應(yīng)該有BB1=2πr.因?yàn)锳A1=BB1，所以2πR=2πr，得R=r.它表明大⊙O和小⊙O大小相等.這當(dāng)然不可能！可問(wèn)題出在哪兒呢？

上述問(wèn)題被稱為亞里士多德輪子悖論(見(jiàn)文[1]).再次激起筆者對(duì)該問(wèn)題的思考，有兩個(gè)原因：

(1)文[1]雖提到該悖論問(wèn)題，但未做深入剖析，故進(jìn)一步探究可彌補(bǔ)文[1]中此項(xiàng)教學(xué)資源之不足，從而更好地滿足各種教學(xué)需求.

圖2

基于以上原因，筆者也談一點(diǎn)粗淺認(rèn)識(shí)，供同行參考.

2 分析探究

圖3

如果把大⊙O在直線L1上的滾動(dòng)分解為該圓隨圓心O的平動(dòng)(這里的平動(dòng)指圓內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變)和繞圓心O的轉(zhuǎn)動(dòng)，那么大⊙O的平動(dòng)如圖1所示，大⊙O的轉(zhuǎn)動(dòng)如圖3所示(注：圓轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓與直線的不同切點(diǎn)間依次變動(dòng)的方向與圓本身轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相反).

顯然，小⊙O與大⊙O作為固定在一起的同心圓，也要進(jìn)行相應(yīng)地平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng).但問(wèn)題是這兩個(gè)圓的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否完全相同呢？輪子悖論的癥結(jié)何在？

對(duì)此，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析：

2.1 通過(guò)速度合成考察兩圓的滾動(dòng)

圖4

2.2 通過(guò)圖形疊加考察兩圓滾動(dòng)的路程

因?yàn)檩喿釉跐L動(dòng)過(guò)程中，其滾動(dòng)可分解為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)，而這兩種分運(yùn)動(dòng)都會(huì)對(duì)圓的運(yùn)動(dòng)位置產(chǎn)生影響，所以為探尋兩種運(yùn)動(dòng)互相作用的結(jié)果，不妨以輪子轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)點(diǎn)A為參照點(diǎn)，把同一時(shí)間段內(nèi)大⊙O與小⊙O所對(duì)應(yīng)的平動(dòng)圖疊加到轉(zhuǎn)動(dòng)圖上，如圖5中的實(shí)線部分所示.這樣，若從轉(zhuǎn)動(dòng)的角度看平動(dòng)，易知：大⊙O與小⊙O的平動(dòng)過(guò)程對(duì)應(yīng)著兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，即當(dāng)圖5中右下角的大⊙O與小⊙O均以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角度θ時(shí)，圖5左上角的大⊙O與小⊙O則相應(yīng)地均以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛞矐?yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ，而且后者使小⊙O沿小⊙A按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng).再根據(jù)前面的分析結(jié)論，既然小⊙O在直線L2上有滑動(dòng)現(xiàn)象，則由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性知，在同一段時(shí)間t內(nèi)，小⊙O在小⊙A上滑動(dòng)的弧BB之長(zhǎng)就等于小⊙O在直線L2上滑動(dòng)的距離.因此，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，考察動(dòng)點(diǎn)A(或B)分別到點(diǎn)A1(或B1)的移動(dòng)路徑，會(huì)發(fā)現(xiàn)：

圖5

對(duì)于同一段時(shí)間t來(lái)說(shuō)，圖1中動(dòng)點(diǎn)A在時(shí)間t內(nèi)平動(dòng)的路程AA1=圖5中點(diǎn)A沿大⊙O在時(shí)間t內(nèi)順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的弧AA1的長(zhǎng)；圖1中動(dòng)點(diǎn)B在時(shí)間t內(nèi)平動(dòng)的路程BB1=圖5中小⊙O沿⊙A在時(shí)間t內(nèi)逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)的弧BB的長(zhǎng)+圖5中點(diǎn)B沿小⊙O在時(shí)間t內(nèi)順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的弧BB1的長(zhǎng).根據(jù)前面的分析結(jié)論，因?yàn)榇蟆袿在直線L1上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，所以前者是顯然的，而后者可通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證：線段BB1的長(zhǎng)=線段AA1的長(zhǎng)=弧AA1的長(zhǎng)=Rθ=(R-r)θ+rθ=弧BB的長(zhǎng)+弧BB1的長(zhǎng).特別地，當(dāng)θ=2π時(shí)，該式仍成立.由此表明，輪子悖論的癥結(jié)在于忽視了小⊙O在滾動(dòng)過(guò)程中所發(fā)生的滑動(dòng).

2.3 小⊙O的滑動(dòng)為什么看不見(jiàn)？

因?yàn)樵谟^察大⊙O與小⊙O的滾動(dòng)狀態(tài)時(shí)，一般將其分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而且這兩個(gè)圓又是固定在一起的同心圓，所以在這兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，它們的平動(dòng)速度相同，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也相同.因此，如果將這兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)割裂開(kāi)來(lái)，只是單純地從平動(dòng)速度v0或轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω上來(lái)考察兩個(gè)圓的滾動(dòng)情況，當(dāng)然是看不出差別的.這樣一來(lái)，根據(jù)大⊙O做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，就容易誤認(rèn)為小⊙O也是做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng).可見(jiàn)，看不出小⊙O的滑動(dòng)現(xiàn)象，是因?yàn)橛^察的角度太片面，且缺乏深入分析所造成的.

3 拓展延伸

前面對(duì)輪子悖論的分析表明，隨著時(shí)間t的延續(xù)，小⊙O在滾動(dòng)過(guò)程中自始至終都有滑動(dòng)現(xiàn)象.不僅如此，如果把小⊙O的半徑r視為變量(0

動(dòng)點(diǎn)B在時(shí)間t內(nèi)平動(dòng)的路程=該點(diǎn)B在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的路程與其滑動(dòng)的路程之和.(*)

筆者指出，結(jié)論(*)不僅當(dāng)大⊙O在直線軌道上滾動(dòng)時(shí)成立，而且當(dāng)大⊙O在圓弧形曲線軌道上滾動(dòng)時(shí)也成立.現(xiàn)分析如下：

3.1 當(dāng)大⊙O在圓弧形軌道(令其半徑為d)上滾動(dòng)時(shí)

為方便起見(jiàn)，不妨設(shè)大⊙O沿圓弧形軌道恰好滾動(dòng)了一周(所謂圓滾動(dòng)一周是指，圓上的每一點(diǎn)(起始點(diǎn)除外)有且僅有一次作為圓與軌道的公切點(diǎn))，且把圓的滾動(dòng)分解為沿圓弧形軌道的平動(dòng)和繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)形式，并分成下列兩種情況進(jìn)行討論：

圖6

圖7

3.2 當(dāng)大⊙O繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)

不妨設(shè)大⊙O繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，并把該旋轉(zhuǎn)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖8所示.那么，若以轉(zhuǎn)動(dòng)的觀點(diǎn)看平動(dòng)，由圖8可見(jiàn)：大⊙O和小⊙O隨其圓心分別平動(dòng)到大⊙O1和小⊙O1的位置，相當(dāng)于除了兩個(gè)圓繞點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)外，還伴隨著發(fā)生了兩個(gè)圓繞點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)的角度均為θ).因此，類比前面的結(jié)論，可進(jìn)一步得到：從點(diǎn)A到A1，點(diǎn)A只有轉(zhuǎn)動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)，且點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)的弧AA1的長(zhǎng)=Rθ，但從點(diǎn)B到B1，點(diǎn)B既有轉(zhuǎn)動(dòng)又有滑動(dòng)，且該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)與滑動(dòng)的路程之和=rθ+(R-r)θ=Rθ；另外，還易知點(diǎn)A、B分別平動(dòng)到點(diǎn)A1、B1時(shí)，其平動(dòng)的路程相等，即弧AmA1的長(zhǎng)=弧BmB1的長(zhǎng)=弧OmO1的長(zhǎng)=Rθ，故當(dāng)大⊙O繞一點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，結(jié)論(*)仍成立.

圖8

3.3 當(dāng)大⊙O與軌道上不同的點(diǎn)同時(shí)接觸時(shí)

圖9

如圖9所示，當(dāng)大⊙O與軌道上不同的點(diǎn)A、B、C同時(shí)接觸時(shí)，因?yàn)檫@一時(shí)刻所持續(xù)的時(shí)間t=0，所以大⊙O(包括小⊙O)在這段軌道(從點(diǎn)A到點(diǎn)C)上不可能發(fā)生任何形式的運(yùn)動(dòng).因此，(*)式兩端的各部分路程均可視為0，故結(jié)論(*)仍成立.但是需要指出，當(dāng)大⊙O進(jìn)入或離開(kāi)這段軌道時(shí)，它在該軌道兩端點(diǎn)A(或C)上有可能發(fā)生旋轉(zhuǎn)，而由上述分析知，這種旋轉(zhuǎn)發(fā)生與否，結(jié)論(*)均成立.

顯然，對(duì)于平面上的曲線軌道而言，如果它是由圓弧形的軌道和直線形的軌道連接而成的，那么當(dāng)大⊙O(包含小⊙O)在這樣的軌道上滾動(dòng)時(shí)，除上述已討論過(guò)的幾種情況外，不可能再有其它情況.因此，綜合上述各個(gè)結(jié)論知，當(dāng)大⊙O在由圓弧和直線(或線段)連接而成的平面曲線軌道上滾動(dòng)時(shí)，結(jié)論(*)都成立.這表明結(jié)論(*)深刻反映了輪子滾動(dòng)問(wèn)題的本質(zhì)，從而它也透徹地揭示了輪子悖論背后所隱藏的秘密.