袁 恩，劉 鵬，陳隆亮，張文宇，常 青

(陸軍工程大學(xué)，江蘇 南京 210007)

0 引言

雙音信號(hào)在多頻連續(xù)波測(cè)距雷達(dá)[1]、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位[2-3]、無線電信號(hào)導(dǎo)航[4]等方面具有廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]針對(duì)當(dāng)前衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)易受干擾的問題，提出一種應(yīng)用于航空導(dǎo)航的抗干擾測(cè)距導(dǎo)航方法。該方法在高速跳頻信號(hào)的每一跳發(fā)送不同的雙音信號(hào)，構(gòu)建時(shí)頻矩陣用于解算地面站與飛機(jī)之間的偽距。在上述應(yīng)用中，都需要估計(jì)雙音信號(hào)的頻率，但是，文獻(xiàn)[4]對(duì)雙音信號(hào)頻率估計(jì)方法提出了新的挑戰(zhàn)：(1)高速跳頻信號(hào)駐留時(shí)間短，使得信號(hào)采樣時(shí)間較短；(2)為了提高偽距解算的性能，需要提高解算帶寬，那么就需要時(shí)頻矩陣中第一行的雙音頻率的間隔盡可能小。此外，在基于雙音信號(hào)的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位中，為了定位需要多個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)發(fā)送雙音信號(hào)，不同節(jié)點(diǎn)發(fā)送的雙音信號(hào)要保持一定間隔以防止相互影響。當(dāng)頻譜資源緊張時(shí)，雙音信號(hào)頻率間隔可能會(huì)比較小。

雙音信號(hào)的頻率估計(jì)問題是一個(gè)經(jīng)典的問題，具有廣泛的研究[5-9]。文獻(xiàn)[5]給出了多音信號(hào)參數(shù)的近似的最大似然估計(jì)量，并利用基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)的方法解算。但是，當(dāng)音數(shù)大于1時(shí)，基于DFT的方法會(huì)使估計(jì)值存在偏差。雖然加窗可以降低這種偏差，但是卻會(huì)降低頻率的分辨率?；谛D(zhuǎn)因子不變法(Estimating Signal Parameters Viarotational Invariance Techniques,ESPRIT)、多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)的頻率估計(jì)方法[7-8]具有高分辨率的特性，但是當(dāng)采樣樣本較少時(shí)，協(xié)方差的估計(jì)誤差會(huì)比較大；另外，在多音情況下ESPRIT等方法對(duì)頻率估計(jì)的均方誤差(Mean-Square Error,MSE)也無法達(dá)到克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)[7]。文獻(xiàn)[7]提出NS-ESPRIT雖然能夠使頻率估計(jì)的MSE達(dá)到CRLB，但是，頻率子帶范圍的選取對(duì)結(jié)果影響很大，而文獻(xiàn)[7]并沒有給出頻率子帶范圍的有效選取方法。

文獻(xiàn)[9]提出了一種高效的迭代算法，它利用期望最大化(Expectation Maximization,EM)算法結(jié)合IEEE 1057標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)對(duì)多音實(shí)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。該方法首先基于DFT的方法得到多音信號(hào)參數(shù)的初估計(jì)；然后將多音信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)分解為多個(gè)單音采樣數(shù)據(jù)；最后利用IEEE 1057標(biāo)準(zhǔn)采用最小二乘擬合的方法迭代計(jì)算各個(gè)單音的參數(shù)。上述過程中，多音信號(hào)采樣數(shù)據(jù)的分解和各個(gè)單音參數(shù)的估計(jì)迭代進(jìn)行，得到最終的估計(jì)值。當(dāng)雙音信號(hào)頻率間隔足夠大、采樣次數(shù)足夠多時(shí)，該方法頻率估計(jì)的MSE可以達(dá)到CRLB。但是，文獻(xiàn)[9]并沒有考慮雙音間隔較小、采樣數(shù)據(jù)較短的情況，同時(shí)文獻(xiàn)[9]中的方法是針對(duì)實(shí)信號(hào)的。

針對(duì)雙音信號(hào)頻率間隔小、采樣數(shù)據(jù)少情況下估計(jì)雙音信號(hào)頻率面臨的問題，本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上提出基于EM算法的雙音頻率估計(jì)算法，主要改進(jìn)在于以下幾點(diǎn)：(1)EM算法中初值對(duì)結(jié)果有重要影響，針對(duì)雙音間隔小的情況，選擇具有高分辨率特性的MUSIC算法作為雙音頻率初值的獲取方法；(2)針對(duì)樣本數(shù)據(jù)少的問題，在MUSIC算法中采用修正的前向-后向線性預(yù)測(cè)(Modified Forward-Backward Linear Prediction,MFBLP)方法估計(jì)協(xié)方差[10]；(3)對(duì)于單音頻率的估計(jì)，采用高效的二分搜索方法[11]。

本文提出的算法在EM算法的初估計(jì)時(shí)采用MUSIC算法，因此，在文中簡(jiǎn)稱MEM算法。

1 信號(hào)模型

復(fù)雙音信號(hào)可表示為：

(1)

其中，ai為雙音信號(hào)的幅度，fi為雙音信號(hào)頻率，θi為雙音信號(hào)相位。那么，雙音信號(hào)的未知參數(shù)為：

(2)

雙音信號(hào)經(jīng)過采樣頻率為fs的模數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣后，得到信號(hào)樣本為：

0≤n≤N-1

(3)

s=[s(0)s(1)…s(N-1)]T

(4)

其中，w(n)為方差為σ2的高斯白噪聲，Ts=1/fs為信號(hào)的采樣間隔，N為樣本數(shù)，NTs為總采樣時(shí)間。文獻(xiàn)[4]中，高速跳頻信號(hào)單跳駐留時(shí)間短，令駐留時(shí)間為Tr，那么總采樣時(shí)間NTs≤Tr，這使得在采樣頻率一定的條件下，樣本數(shù)N較小。s為得到的樣本向量。

雙音信號(hào)可以表示成兩個(gè)單音信號(hào)的和，則公式(3)可以表示為：

(5)

xi(n)=aiexp(j(2πfiTsn+θi))+wi(n)

(6)

xi=[xi(0)xi(1)…xi(N-1)]T

(7)

其中，xi表示單音信號(hào)的樣本序列，wi(n)是噪聲w(n)的分量，可表示為：

wi(n)=βiw(n)

(8)

文獻(xiàn)[9]指出βi可以是任意值，但是必須滿足β1+β2=1。此外，各個(gè)單音信號(hào)的未知參數(shù)可表示為Ai=[aifiθi]T。

2 MEM雙音頻率估計(jì)算法

2.1 算法描述

MEM雙音頻率估計(jì)算法大致可以分為3個(gè)步驟：

(1)估計(jì)未知參數(shù)A的初值；

第(2)步和第(3)步是一個(gè)迭代過程，即第(3)步的估計(jì)結(jié)果用于下一次迭代時(shí)第(2)步的估計(jì)。這種迭代算法稱為EM算法[9]。

初值的估計(jì)對(duì)最終的結(jié)果具有重要的影響，文獻(xiàn)[9]提出可用DFT計(jì)算初值，但是要求雙音信號(hào)滿足一定的條件，即雙音頻率的間隔Δf≥3/T，其中T表示信號(hào)采樣時(shí)間。文獻(xiàn)[9]并沒有考慮雙音頻率間隔較小的情況，而文獻(xiàn)[4]面臨雙音頻率間隔較小的情況，因此需要選擇合適的初值估計(jì)方法。本文在2.2節(jié)中對(duì)初值估計(jì)方法進(jìn)行詳細(xì)描述。

由于雙音信號(hào)采樣時(shí)引入了噪聲，在式(3)中，高斯白噪聲w(n)是未知的。在雙音未知參數(shù)A的初估計(jì)后，令A(yù)的初估計(jì)為A(0)= [a1(0)f1(0)θ1(0)a2(0)f2(0)θ2(0)]T，那么，在第(2)步對(duì)于第j次迭代，可以得到噪聲的估計(jì)為：

(9)

那么，此時(shí)單音信號(hào)的樣本的估計(jì)值可表示為：

(10)

(11)

此時(shí)，得到兩個(gè)單音信號(hào)的樣本的估計(jì)值為：

(12)

通過上述方法將雙音信號(hào)的樣本值分解成兩個(gè)單音信號(hào)的樣本值，那么，在第(3)步可以采用單音信號(hào)的估計(jì)方法估計(jì)單音信號(hào)的參數(shù)。采用二分搜索的方法[11]估計(jì)單音信號(hào)的頻率，單音信號(hào)相位和幅度可利用文獻(xiàn)[12]給出的估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)。

將第(3)步得到的兩個(gè)單音信號(hào)的參數(shù)的估計(jì)值作為下一次迭代時(shí)的輸入，在迭代時(shí)設(shè)置門限Δf，當(dāng)滿足下列條件時(shí)，迭代結(jié)束：

(13)

2.2 初值估計(jì)方法

算法第(1)步中的初估計(jì)值對(duì)算法的最終結(jié)果有重要的影響，特別是當(dāng)雙音信號(hào)的頻率間隔比較小時(shí)體現(xiàn)得更為明顯。文獻(xiàn)[9]提出采用DFT的方法進(jìn)行初值估計(jì)。文獻(xiàn)[11]提出的二分搜索方法是在DFT的基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代計(jì)算，其針對(duì)單音信號(hào)能夠獲得較高的估計(jì)精度，可以作為一種EM算法中估計(jì)初值的方法。但是，基于DFT的方法會(huì)使估計(jì)值存在偏移，特別是當(dāng)雙音頻率間隔較小時(shí)，這種偏移會(huì)增大。

MUSIC算法具有高分辨率的特性。令雙音信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)s的協(xié)方差為R，對(duì)R進(jìn)行特征分解，特征值較小的N-2個(gè)特征向量構(gòu)成的矩陣為UN，那么雙音信號(hào)的頻率估計(jì)值為下列函數(shù)的兩個(gè)最大的峰值：

(14)

(15)

其中，[]H表示共軛轉(zhuǎn)置。通常協(xié)方差R可通過計(jì)算樣本的自相關(guān)矩陣進(jìn)行估計(jì)，但是，當(dāng)采樣數(shù)據(jù)較少時(shí)協(xié)方差矩陣的估計(jì)會(huì)存在較大的誤差。借助MFBLP方法對(duì)協(xié)方差的估計(jì)進(jìn)行修正，可提高頻率估計(jì)的精度。此時(shí)，協(xié)方差R的估計(jì)值為：

(16)

(17)

其中，m為MFBLP方法的階數(shù)，[]*表示共軛。

2.3 雙音頻率估計(jì)的CRLB

將CRLB作為衡量估計(jì)方法性能的標(biāo)準(zhǔn)。單音信號(hào)頻率估計(jì)的CRLB由文獻(xiàn)[12]給出。如果不考慮雙音間的影響，可以將雙音信號(hào)看成兩個(gè)獨(dú)立的單音信號(hào)的疊加，那么，雙音信號(hào)頻率估計(jì)的CRLB為：

(18)

3 仿真分析

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中仿真的高速跳頻信號(hào)的單跳駐留時(shí)間，在仿真中信號(hào)采樣時(shí)間T為50 μs，基于此，文獻(xiàn)[9]要求雙音間的間隔大于3/T=60 kHz，而本文提出的MEM算法則不受這個(gè)限制。在仿真中，采樣頻率fs為250 kHz，那么樣本數(shù)N為12，雙音信號(hào)的幅度a1=a2=1，雙音信號(hào)的初相θ1和θ2隨機(jī)生成，雙音信號(hào)頻率f1=10 kHz，f2則選擇不同的頻率。迭代時(shí)的門限值Δf設(shè)置為1 Hz。

在仿真中，為了分析MEM算法的性能，對(duì)比三種不同方法的雙音頻率估計(jì)性能。第一種方法是本文提出的MEM算法。文獻(xiàn)[10]指出當(dāng)MFBLP方法中階數(shù)m為3N/4時(shí)性能最佳，因此取m=9。第二種方法初值采用基于二分搜索的DFT方法進(jìn)行估計(jì)[11]，其他步驟與第一種方法相同，稱這種方法為初值采用二分搜索的EM算法。第三種方法采用MUSIC算法直接估計(jì)雙音頻率。

門特卡羅仿真次數(shù)為104次，結(jié)果如圖1所示。在圖1中，在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)下，仿真三種頻率估計(jì)算法的均方根誤差(Root-Mean-Square Error,RMSE)，而將CRLB的平方根CRLB1/2作為衡量估計(jì)性能的標(biāo)準(zhǔn)。圖1(a)中f2為30 kHz，雙音的頻率間隔為20 kHz。頻率估計(jì)的RMSE存在門限效應(yīng)，初值采用二分搜索的EM算法在這種情況下已經(jīng)失效，其頻率估計(jì)的RMSE都處于無信息區(qū)。二分搜索方法是基于DFT的，當(dāng)雙音頻率間隔較小時(shí)，DFT方法可能會(huì)無法分辨雙音信號(hào)。MUSIC算法具有高分辨特性，在上述情況下，它雖然有效并且門限效應(yīng)的門限與MEM算法相當(dāng)，但是，此時(shí)頻率估計(jì)的RMSE與CRLB1/2相差較大。MEM算法頻率估計(jì)的RMSE在高信噪比下明顯優(yōu)于MUSIC算法，并且與CRLB1/2非常接近。MEM算法頻率估計(jì)的RMSE沒有達(dá)到CRLB1/2的一個(gè)重要原因是當(dāng)雙音非常接近時(shí)，公式(18)不能準(zhǔn)確表達(dá)CRLB，由于雙音間的相互影響，實(shí)際的CRLB值比公式(18)的計(jì)算結(jié)果大。

圖1 雙音頻率估計(jì)的均方根誤差

圖1(b) 中f2為40 kHz，雙音的頻率間隔為30 kHz。在這種情況下，初值采用二分搜索的EM算法頻率估計(jì)的RMSE的門限明顯高于其他兩種方法。MUSIC算法與MEM算法相比，頻率估計(jì)的RMSE略高于后者。MEM算法頻率估計(jì)的RMSE與CRLB1/2更加接近。圖1(c)進(jìn)一步提高了f2的值將其調(diào)整為50 kHz，此時(shí)雙音的頻率間隔為40 kHz。這時(shí)，初值采用二分搜索的EM算法和MEM算法頻率估計(jì)的RMSE幾乎相當(dāng)，而MUSIC算法頻率估計(jì)的RMSE比前兩者略高。MEM算法頻率估計(jì)的RMSE已經(jīng)達(dá)到CRLB1/2?？梢?，隨著雙音頻率間隔的提高，三種算法的估計(jì)性能逐漸接近，但是在雙音間隔較小的情況下，MEM算法在三者中的估計(jì)性能最好。

4 結(jié)論

本文針對(duì)雙音信號(hào)間隔小、采樣時(shí)間短時(shí)估計(jì)雙音頻率時(shí)面臨的問題，提出基于EM算法的雙音頻率估計(jì)方法，稱該方法為MEM算法。MEM算法在頻率初估計(jì)階段采用MUSIC算法，并且針對(duì)采樣時(shí)間短的情況采用MFBLP方法估計(jì)協(xié)方差以提高M(jìn)USIC算法估計(jì)性能。通過仿真分析了MEM算法的性能，并與初值采用二分搜索的EM算法、MUSIC算法進(jìn)行了比較，主要結(jié)果有以下幾點(diǎn)：(1)當(dāng)頻率間隔為1/T時(shí)，即頻率間隔較小時(shí)，MEM算法具有較好的頻率估計(jì)性能，MUSIC算法頻率估計(jì)的RMSE與MEM算法有較大差距，而初值采用二分搜索的EM算法完全失效；(2)隨著雙音頻率間隔的增大，三者頻率估計(jì)的RMSE逐漸接近?？梢?，在雙音頻率間隔較小的情況下，采用MEM可有效估計(jì)雙音信號(hào)頻率。