周思柱，李旭東，呂志鵬，崔 灝

（長(zhǎng)江大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)研究所，湖北 荊州 434023）

1 引言

鉆井振動(dòng)篩是石油鉆井工程中的初級(jí)固控設(shè)備，其作用是有效清除鉆井液中有害固相顆粒，以及高效率的回收鉆井液。鉆井振動(dòng)篩自20世紀(jì)30年代從礦業(yè)引入以來(lái)，已經(jīng)對(duì)不同振型的振動(dòng)篩進(jìn)行了深入的研究[1]。文獻(xiàn)[2]從理論上對(duì)非對(duì)稱單軸橢圓型振動(dòng)篩進(jìn)行了探討、文獻(xiàn)[3]用萊沙爾系來(lái)建立并解出了圓形振動(dòng)篩振動(dòng)體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程、文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了ZS6B直線振動(dòng)篩，討論了振幅與其它振動(dòng)參數(shù)之間的相互關(guān)系、文獻(xiàn)[5]通過(guò)平動(dòng)橢圓振動(dòng)篩研究，提出了雙軸慣性振動(dòng)篩力心的概念?；诤Y箱振動(dòng)篩分時(shí)鉆井液在篩網(wǎng)面上分散鋪開(kāi)，加載垂直向下負(fù)壓壓差力于鉆井液液面可加快鉆井液透篩，提出引入負(fù)壓過(guò)濾機(jī)理的鉆井振動(dòng)篩[6-7]。為了防止引入負(fù)壓后篩網(wǎng)上出現(xiàn)嚴(yán)重的“篩糊”現(xiàn)象，可改變壓差力作用方向，加載方向垂直向上正壓壓差力于篩面鉆井液。

2 篩箱動(dòng)力學(xué)方程及合成振幅

一般情況下，直線振動(dòng)篩做平面運(yùn)動(dòng)，x方向、y方向的共兩個(gè)平動(dòng)和一個(gè)篩箱繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，使振動(dòng)篩具有三個(gè)自由度的三自由度系統(tǒng)[8]。當(dāng)兩個(gè)偏心質(zhì)量旋轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的激振力合力的作用線通過(guò)篩箱質(zhì)心時(shí)，篩箱將無(wú)繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，按二自由度系統(tǒng)對(duì)篩箱進(jìn)行受力分析，建立力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 負(fù)壓振動(dòng)篩的動(dòng)力學(xué)分析簡(jiǎn)圖Fig.1 Dynamic Analysis Brief Diagram of Negative-Pressure Shale Shaker

慣性激振器為兩臺(tái)振動(dòng)電機(jī)，每臺(tái)振動(dòng)電機(jī)總偏心塊的質(zhì)量均為m0，偏心距均為r，激振電機(jī)的角速度均為w，并且兩振動(dòng)電機(jī)是穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的，沒(méi)有相位差。δ0為合成簡(jiǎn)諧激振力與水平面的夾角。篩箱計(jì)算質(zhì)量為M（篩箱質(zhì)量與參振鉆井液質(zhì)量之和），則簡(jiǎn)諧激振力F=2m0rw2sin wt。

圖2 負(fù)壓壓差變化圖Fig.2 Negative-Pressure Variation Diagram

篩面上下的壓差（即大氣壓與負(fù)壓腔負(fù)壓之差，以下簡(jiǎn)稱為負(fù)壓壓差。）變化為一非簡(jiǎn)諧周期函數(shù)，可以用圖2來(lái)表示。負(fù)壓壓差 P（t）與負(fù)壓壓差力 F（t）的關(guān)系為 F（t）=P（t）·S。式中：S—API推薦油田常用篩網(wǎng)的面積與篩網(wǎng)開(kāi)孔面積之差。則負(fù)壓壓差力在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式為：

由于任意非簡(jiǎn)諧周期函數(shù)均可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成一系列簡(jiǎn)諧函數(shù)的和。因此，負(fù)壓壓差力F（t）運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：

式中：w0—基頻，且w0=2π/T。由于基頻的諧波分量占主要成分，其幅值最大，以及傅里葉級(jí)數(shù)中第一項(xiàng)a0/2是常數(shù)，為靜載荷分量，它只影響系統(tǒng)的靜平衡位置，本系統(tǒng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)選擇靜平衡位置，方程中可略去此項(xiàng)。因此，取：

系統(tǒng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)選擇靜平衡位置，如圖2所示。由達(dá)朗貝爾原理可以列出該參振系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程如下：

式中：Kx、Ky—彈簧在 x、y 方向的剛度系數(shù)；Cx、Cy—彈簧在 x、y方向的阻尼系數(shù)篩箱在激振力和壓差力下 x 方向的位移、速度、加速度—篩箱在在激振力和壓差力下y方向的位移、速度、加速度。

由高階線性微分方程解的迭加原理可將方程右側(cè)的激勵(lì)力和壓差力分別求解，再將兩者的解相加即得到原方程的解。并且由機(jī)械振動(dòng)學(xué)知強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的解為瞬態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解之和。直線鉆井振動(dòng)篩系統(tǒng)是在強(qiáng)迫高頻振動(dòng)條件下工作，在分析弱阻尼情況時(shí)，瞬態(tài)自由振動(dòng)逐漸衰減為零，在一段時(shí)間后，系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。因此，只分析振動(dòng)篩強(qiáng)迫振動(dòng)中段持續(xù)等幅振動(dòng)部分，對(duì)于自由振動(dòng)部分可以忽略不計(jì)。設(shè)激振力作用下振動(dòng)微分方程的穩(wěn)態(tài)解為：

設(shè)在負(fù)壓壓差力作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為：

因此，通過(guò)式（5）、式（6）得到該負(fù)壓鉆井振動(dòng)篩參振系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的穩(wěn)態(tài)解為：

x方向與y方向的合成振幅即為沿振動(dòng)方向的振幅。由于x方向、y方向位移關(guān)系式不滿足三角函數(shù)輔助公式（w≠w0），因此，不能運(yùn)用三角函數(shù)輔助公式化簡(jiǎn)求出合成振幅。但是，通過(guò)分別取x方向、y方向的激振力穩(wěn)態(tài)解振幅的極值和負(fù)壓壓差力穩(wěn)態(tài)解振幅的極值之和，可以近似計(jì)算出振動(dòng)篩在極限情況下的合成振幅A與實(shí)際振動(dòng)角δ。在正常工作情況，鉆井振動(dòng)篩是在遠(yuǎn)離共振頻率下工作，則有 Kx＜＜（M+2m0）·w2、Ky＜＜（M+2m0）·w2。通常 αx、αy、αy0在（170～180）°，cos ax≈cos ay≈cos ay0≈1，則：

并且，在實(shí)際情況下正、負(fù)壓切換需要時(shí)間，因此，鉆井振動(dòng)篩負(fù)壓壓差力變化的周期要遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于篩面振動(dòng)周期，有Ky＞＞（M+2m0）·w2

0，則合成振幅A與實(shí)際振動(dòng)角δ為：

3 加載負(fù)壓后顆粒在非淹沒(méi)狀態(tài)的拋擲運(yùn)動(dòng)

記未加載負(fù)壓，干固相顆粒的拋擲指數(shù)為D0（或稱未加載負(fù)壓名義拋擲指數(shù)）；未加載負(fù)壓，顆粒在非淹沒(méi)狀態(tài)下的拋擲指數(shù)為D′（或稱未加載負(fù)壓實(shí)際拋擲指數(shù)）；加載負(fù)壓后，干固相顆粒的拋擲指數(shù)為D（或稱加載負(fù)壓后名義拋擲指數(shù)）；加載負(fù)壓后，顆粒在非淹沒(méi)狀態(tài)的拋擲指數(shù)為D″（或稱加載負(fù)壓后實(shí)際拋擲指數(shù)）。

式（10）說(shuō)明D的大小不僅與單振幅λ、激振頻率w、振動(dòng)方向角δ、篩面傾角α0、顆粒密度ρs、負(fù)壓壓差P的取值有關(guān)，而且與顆粒直徑 d 的取值也有關(guān)。這表明在 λ、w、δ、α0、ρs、P 一定的情況下，不同直徑的顆粒加載相同負(fù)壓后顆粒的名義拋擲指數(shù)D是不等的。

在非淹沒(méi)條件下，浮力為零。顆粒主要承受重力G、顆粒承受負(fù)壓壓差力Fp、慣性力F、黏結(jié)阻力R′和顆粒與篩面間的正壓力N的作用。當(dāng)顆粒出現(xiàn)拋擲運(yùn)動(dòng)時(shí)，顆粒和篩面的加速度必須相等，即相對(duì)加速度△y¨=0，此時(shí)，顆粒對(duì)篩面的正壓力N=0。加載負(fù)壓后，非淹沒(méi)條件下顆粒受力示意圖，如圖3所示。

圖3 負(fù)壓、非淹沒(méi)條件下顆粒受力示意圖Fig.3 Particle Force Diagram Under the Negative-Pressure and the Non-Submerged

y方向的受力平衡方程為：

4 負(fù)壓壓差大小的確定

4.1 加載負(fù)壓后，名義拋擲指數(shù)D

表1 不同直徑與不同負(fù)壓壓差下的干固相顆粒的名義拋擲指數(shù)DTab.1 Throw Index D of Particles Under the Different Negative-Pressure and the Non-Submerged

表中：篩面傾角 α0=0°，固相顆粒密度 ρs=2.6g/cm3。

傳統(tǒng)理論方法計(jì)算結(jié)果，如表1所示。負(fù)壓鉆井振動(dòng)篩振動(dòng)參數(shù)參考直線鉆井振動(dòng)篩[9]：?jiǎn)握穹?3.4mm，激振頻率w=157rad/s，振動(dòng)方向角 δ=45°。

根據(jù)鉆井振動(dòng)篩基本振動(dòng)參數(shù)的取值范圍：加載負(fù)壓后的干固相顆粒的拋擲指數(shù)3.3≤D≤7，激振頻率83.73rad/s≤w≤157rad/s，固相顆粒密度 2.04g/cm3≤ρs≤2.6g/cm3，顆粒直徑0.5mm≤d≤10mm。為求鉆井振動(dòng)篩在上述振動(dòng)參數(shù)取值范圍內(nèi)使得負(fù)壓壓差P取最大值，可通過(guò)調(diào)用MATLAB中功能函數(shù)fmincon優(yōu)化得到[10]。則有負(fù)壓壓差P優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型表達(dá)式：

將 D=4、d=1mm、w=157rad/s、ρs=2.04g/cm3這樣一組參數(shù)作為優(yōu)化初始值。則優(yōu)化結(jié)果為d=10mm的顆粒的拋擲指數(shù)D為3.3、最大負(fù)壓壓差為141.4Pa。且直徑10mm的顆粒的MATLAB優(yōu)化結(jié)果和傳統(tǒng)理論方法計(jì)算結(jié)果一致，即優(yōu)化結(jié)果正確。由于鉆井振動(dòng)篩篩分含固相鉆井液，D=3.3是不能達(dá)到要求的，因此加載負(fù)壓后10mm顆粒拋擲運(yùn)動(dòng)起跳條件為D＞3.3。則最大可以加載在10mm顆粒上的負(fù)壓壓差＜141.4Pa，可取P=141Pa使得D＞3.3。

實(shí)際情況中固相顆粒是在非淹沒(méi)狀態(tài)起跳，因此，分析了加載負(fù)壓后顆粒在非淹沒(méi)狀態(tài)的拋擲指數(shù)D″的大小。

4.2 加載負(fù)壓后，實(shí)際拋擲指數(shù)D″

在上述的振動(dòng)參數(shù)以及篩面傾角α0=0°，固相顆粒密度ρs=2.6g/cm3下通過(guò)式（10）、式（11）計(jì)算出顆粒在加載不同負(fù)壓壓差后在非淹沒(méi)狀態(tài)的拋擲指數(shù)D″的大小，如表2所示。

表2 不同負(fù)壓壓差，非淹沒(méi)狀態(tài)下顆粒的實(shí)際拋擲指數(shù)D″和K2Tab.2 Actual Throw Index D″of Particles and K2 Under the Different Negative-Pressure and the Non-Submerged

表中：鉆井液的動(dòng)切應(yīng)力τ0=150×10-5N/cm2，鉆井液的表面張力αm=86×10-5N/cm。

分析加載負(fù)壓后顆粒非淹沒(méi)狀態(tài)的拋擲指數(shù)D″的大小，以加載負(fù)壓后不同大小顆粒在非淹沒(méi)狀態(tài)的拋擲指數(shù)滿足D″＞1的情況為確定負(fù)壓壓差大小的必要條件。分析表2，P=141Pa時(shí)，對(duì)于10mm、5mm的大顆粒D″＞1，但d≤3mm的顆粒是D″＜1。為達(dá)到同規(guī)格直線鉆井振動(dòng)篩的篩分效果（d=3mm的顆粒也滿足D″＞1），因此，得到可以加載在篩面的最大負(fù)壓壓差為126 Pa。

在負(fù)壓壓差為126Pa下，如果使用35目較粗篩網(wǎng)攔截的最小顆粒是直徑d=0.5mm的顆粒，D″=0.06＜1，它也是不可能在D=0.38的鉆井振動(dòng)篩篩面上起跳。對(duì)于攔截的5mm大顆粒在D=2.44時(shí)，D″=1.74＞1，它也可獲得較滿意的拋擲運(yùn)動(dòng)。直徑達(dá)到d=（10～20）mm 的顆?；蝾w粒團(tuán)在 D=（3.47～4.41），D″≥3 不僅滿足了起跳條件，而且達(dá)到3以上，從而使大顆粒在篩面實(shí)現(xiàn)理想的拋擲運(yùn)動(dòng)。

4.3 顆粒運(yùn)移仿真

通過(guò)建立DEM仿真模型，并利用Hertz-Mindlin with JKR Cohesion接觸模型對(duì)固相顆粒流在篩面的運(yùn)移過(guò)程中進(jìn)行仿真，得到顆粒的運(yùn)動(dòng)情況，如圖4、圖5所示。

圖4 負(fù)壓壓差126Pa時(shí)篩面顆粒x方向速度分布云圖（t=1s）Fig.4 Particle Velocity Distribution in x Direction of Sieve Surface When the Negative-Pressure Difference is 126Pa（t=1s）

圖5 固相顆粒流的運(yùn)移速度變化曲線Fig.5 Conveying Velocity Curve of Particles

通過(guò)結(jié)合圖4、圖5可以看出：（1）初始時(shí)，顆粒在緩沖箱的傾斜面上運(yùn)動(dòng)，顆粒（-x）方向的速度有一極大值，并且此運(yùn)動(dòng)時(shí)段內(nèi)的顆粒速度變化與圖4云圖中顆粒的速度分布相一致。（2）顆粒從緩沖箱垂直落到篩面上后，顆粒沿（-x）方向速度接近0，其后在篩箱激振力作用下，顆粒向篩面出口方向（-x方向）拋擲運(yùn)動(dòng)，并具有向前運(yùn)移速度。隨著振動(dòng)篩的工作狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定，可以得到固相顆粒流的運(yùn)移速度趨于-0.29m/s左右。由此可知，加載負(fù)壓壓差126Pa后振動(dòng)篩篩面上的固相顆?？梢詫?shí)現(xiàn)較好的拋擲運(yùn)動(dòng)，并且大多數(shù)固相顆粒都能在篩面激振作用下運(yùn)輸出去。

5 結(jié)論

（1）根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)將負(fù)壓波形展開(kāi)成一系列簡(jiǎn)諧函數(shù)的和，代入到振動(dòng)微分方程組，得到負(fù)壓下的篩箱的運(yùn)動(dòng)軌跡以及其合成振幅大小。

（2）通過(guò)建立負(fù)壓、非淹沒(méi)條件下顆粒受力模型，分別計(jì)算出振動(dòng)篩篩網(wǎng)上巖屑顆粒在負(fù)壓、非淹沒(méi)條件下拋擲運(yùn)動(dòng)的名義拋擲指數(shù)D和實(shí)際拋擲指數(shù)D″，并以負(fù)壓、非淹沒(méi)條件下篩網(wǎng)上顆粒滿足拋擲運(yùn)動(dòng)起跳條件D″＞1和MATLAB優(yōu)化結(jié)果共同確定負(fù)壓鉆井振動(dòng)篩的負(fù)壓壓差。上述振動(dòng)參數(shù)下負(fù)壓壓差取126Pa。