宗 濤，袁佳健

（湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

1 引言

制造行業(yè)中，形位誤差通過最基本的幾何元素（點、線、面）影響零件各方面的性能，進而通過誤差傳遞，對部件乃至整個設(shè)備產(chǎn)生影響，其重要性不言而喻。細(xì)長軸與深孔零件的應(yīng)用廣泛，如液壓缸的活塞桿、車輛傳動軸、槍管等，在高精密制造行業(yè)應(yīng)用尤甚。圓柱面在形位元素中較為復(fù)雜，主要是其柱面參數(shù)方程復(fù)雜，如若在空間任意位置評定圓柱度誤差，將會有七個（方向向量歸一化后為六個）未知參數(shù)，屬于多變量非線性問題，很難用純數(shù)學(xué)理論求解各個系數(shù)。隨著一些新的優(yōu)化算法的出現(xiàn)，圓柱度誤差的評定方法更加多樣化?，F(xiàn)行智能算法，如遺傳算法（GA）[1-2]、粒子群算法（PSO）[3-4]、蒙特卡羅算法[5]等能用于圓柱度誤差的評定，但由于其固有的不穩(wěn)定性，很難用于工業(yè)生產(chǎn)中的批量化檢測。利用網(wǎng)格逐次逼近算法[6-7]最關(guān)鍵的步驟是基線的選取，它直接決定了與理想軸線的偏離程度，后續(xù)算法若想找到或最大化接近最優(yōu)解，所需的網(wǎng)格細(xì)分程度不盡相同，計算效率也不可估量。以往初始基線為最小二乘軸線，若測點集波動較大，則以最小二乘軸線作為基線將導(dǎo)致偏離理想軸線較大，導(dǎo)致細(xì)長桿或深孔評定有較大的偏差。倘若圓柱中間某一方向出現(xiàn)內(nèi)陷、外凸或彎曲現(xiàn)象，則基線中部將會嚴(yán)重偏離到某一側(cè)面甚至在幾何模型之外；同時單方向網(wǎng)格拓展邊界尺寸不當(dāng)，耗時不可預(yù)知，還有可能丟失最優(yōu)解；因此，過單一點（算術(shù)平均中心）或兩端點（兩端面數(shù)據(jù)點算術(shù)平均中心）的網(wǎng)格尋優(yōu)算法缺陷凸顯。利用最小二乘法[8]進行評定計算簡單，但其基于差值平方和最小原則，在對精密零件進行檢測時，不能得到精確的圓柱度誤差值。上述方法在穩(wěn)定性、評測精度、適應(yīng)性等方面還存在不足，對于細(xì)長軸或深孔的圓柱度誤差評定，有必要進行深入研究與完善。

利用三坐標(biāo)測量機（Coordinate measuringmachine，）測得圓柱度誤差測點集，以最小區(qū)域法為基礎(chǔ)，將內(nèi)外圓心擬合與網(wǎng)格劃分相結(jié)合，在幾何建模的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)幾何算法，通過編寫程序驗證其算法的有效性，并與最小二乘軸線為基線的網(wǎng)格逼近算法進行比較。

2 圓柱度誤差評定模型

在高精度軸類零件誤差評定中，數(shù)據(jù)點采樣應(yīng)嚴(yán)格按照產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（GPS）取點規(guī)則，這樣才能最大限度體現(xiàn)圓柱的輪廓特征。在圓度誤差評定中，（Maximuminscribed circle）與MCC（Minimumcircumscribed circle）能最大化的反應(yīng)測點集的分布，多層圓的MID與MCC相當(dāng)于整個圓柱測點集的圓形內(nèi)外凸殼，其圓心的位置擬合線可近似作為內(nèi)外凸殼的軸線。同時，選取合適的臨界半徑，在不損失尋優(yōu)效率的基礎(chǔ)上，最大限度的包含理想軸線。并以此作為初始搜索半徑進行端面網(wǎng)格劃分，交叉搜索尋優(yōu)，求解細(xì)長軸或深孔圓柱度誤差。

按照空間任意位置放置的圓柱模型，其最小區(qū)域的圓柱度差值用公差帶e表示，如圖1所示。

細(xì)長軸工件在測量坐標(biāo)系OXYZ（原始坐標(biāo)系）中的采樣點坐標(biāo)為：

2.1 采樣點分層共面化與雙圓心坐標(biāo)計算

為得到各層MIC與MCC圓心坐標(biāo)，首先根據(jù)鳥籠提取方案對工件進行分層，若設(shè)每層數(shù)據(jù)點為k，則提取層數(shù)為（n/k）。各測點層根據(jù)最小二乘法投影到自身的最小二乘平面，如圖2所示，平面通過點為最小二乘中心。在文獻[9]中，為方便計算，選用每層幾何中心作為最小二乘中心。計算MIC與MCC圓心，共得到個坐標(biāo)。

圖2 數(shù)據(jù)點投影Fig.2 Data Point Projection

其中，MIC與MCC的計算方法比較成熟。

MIC計算方法：參考文獻[10-11]以及現(xiàn)有求解MIC的理論算法、平面點集的凸殼理論等，運用三點定圓法和兩點直徑定圓法找到MIC，進而求出圓心坐標(biāo)。雙圓心擬合求解模型，如圖3所示。

MCC的計算方法與MIC類似，此處不再贅述。

假設(shè)，經(jīng)計算后所得兩組圓心坐標(biāo)為：

圖3 雙圓心擬合求解模型Fig.3 Double Circle Fitting Model

2.2 雙圓心擬合及臨界包容柱面生成

MIC與MCC所得到的兩組圓心根據(jù)最小二乘原理，擬合出網(wǎng)格劃分所需的基線，設(shè)基線L的方程為：

式中：O（xo，yo，zo）—基線一通過點；（lo，mo，no）—方向向量。

采樣點中，各點到基線 L 的距離為 rj，j=1，2，…，2n/k，找出rjmax與rjmin的差值，此差值是當(dāng)前基線為理想軸線所得包容測點的圓柱度差值，但不應(yīng)該單純以此作為網(wǎng)格逼近的搜索半徑，因為它將擴大搜索范圍，想要得到理想精度的差值，將大大增加基點的數(shù)量，隨之而來的計算時間也將難以預(yù)測。因此，用差值與最大半徑數(shù)值的比值作為臨界尋優(yōu)范圍。即：

以L為軸，生成網(wǎng)格劃分的臨界包容圓柱。

2.3 雙基點坐標(biāo)計算

設(shè)端面兩層的投影面方程為：

式中：（ll，ml，nl）和（xl，yl，zl）—底層投影面的方向向量和最小二乘中心；（lh，mh，nh）和（xh，yh，zh）—頂層投影面的方向向量和最小二乘中心。求解式（1）、式（3）便得到雙基點坐標(biāo)。

2.4 起始方向選取及局部坐標(biāo)系建立

在局部坐標(biāo)系的創(chuàng)建中，選取過基點，且平行于平面與過同一基點且方向向量為的平面的交線方向作為網(wǎng)格劃分的起始方向，同時也是局部坐標(biāo)系中軸正方向。即方程組（4）的解向量。

平行于XOY平面的方向向量設(shè)為（0，0，1）。求得X軸方向為：

為提高空間網(wǎng)格搜索的便利性，選取基線（即（lo，mo，no）方向）作為局部坐標(biāo)系Z軸正方向。

根據(jù)笛卡爾坐標(biāo)系，確定Y軸的方向。

以上三個方向向量構(gòu)成數(shù)據(jù)點的局部坐標(biāo)系，記為OXvYvZv。

2.5 中間坐標(biāo)系建立及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程

設(shè)OXvYvZv為原點通過基點（xi，yi，zi），三個方向分別與測點坐標(biāo)系OXYZ正向平行的坐標(biāo)系。如圖4所示。

圖4 三種坐標(biāo)系Fig.4 Three Coordinate Systems

oxv軸與oxc，oyc，ozc軸的正向夾角分別成 α1，β1，γ1角；

oyv軸與oxc，oyc，ozc軸的正向夾角分別成 α2，β2，γ2角；

ozv軸與 oxc，oyc，ozc軸的正向夾角分別成 α3，β3，γ3角；

M 點在坐標(biāo)系 OXYZ 和 OXvYvZv下的坐標(biāo)分別為：（x，y，z）和（xv，yv，zv），求解方程組如下：

2.6 構(gòu)造網(wǎng)格點及交叉尋優(yōu)

圖5 端部網(wǎng)格劃分Fig.5 End Face Mesh Division

在局部坐標(biāo)系中，以原點為基準(zhǔn)點，根據(jù)實際要求精度，輸入所要劃分的同心圓數(shù)i與內(nèi)層初始角度數(shù)j，聯(lián)立式（9）～式（11），求解交叉點局部坐標(biāo)，進行測點坐標(biāo)換算。如圖5所示。

柱面方程：

其中，k1=1，2，…，i，i+1，i+2

角度方程：

其中，k2=1，2，…，k1j

平面方程：

為了保證搜索網(wǎng)格基點在空間的均勻分布，在原有網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，根據(jù)等弧長原則，進行網(wǎng)格細(xì)分。如圖6所示，即每層圓面上的基點數(shù)為：

式中：n1—最內(nèi)層圓面上的網(wǎng)格點數(shù)。

圖6 端部網(wǎng)格細(xì)分Fig.6 End Face Mesh Subdivision

內(nèi)部擴展的基點能最大化的提高運算時間與運算精度。外部擴展的網(wǎng)格點是為了提高搜索范圍，包含柱面變形等意外情況下的圓柱度誤差評定，層數(shù)不宜過多，可根據(jù)需要，適當(dāng)選取。

其中，當(dāng)k1≤i時，網(wǎng)格劃分為內(nèi)層擴展；當(dāng)k1＞i時，為外層擴展。

以上所求解坐標(biāo)集是其一端面（或者稱底層）的交叉點，另一端面點集坐標(biāo)只需在現(xiàn)有點集Z坐標(biāo)方向加上兩基點之間的距離d即可，d公式如下：

根據(jù)式（14），將得到的兩組局部坐標(biāo)點換算到測點坐標(biāo)系，分別記為Dci（xci，yci，zci）和Dcj（xcj，ycj，zcj）。

2.7 網(wǎng)格點交叉與圓柱度誤差計算

從Dci（xci，yci，zci）和Dcj（xcj，ycj，zcj）坐標(biāo)集合中各取一點，組成一條基線，其方程如下：

根據(jù)最小區(qū)域原則，圓柱度誤差的評測方程為：

其中，

遍歷所有交叉組合，求解比較誤差值e，得到最小值emin。

圖7 網(wǎng)格交叉Fig.7 Grid Intersection

3 算法分析

3.1 實驗驗證及分析

在TESAMicro-Hite3DRecorder型三坐標(biāo)測量機上測得圓柱面輪廓點集（限于篇幅，測點數(shù)據(jù)較多，不便給出），所測圓柱形工件為Φ（18.5×260）mm。對測點數(shù)據(jù)分別采用最小外接圓柱法，最大內(nèi)接圓柱法，最小區(qū)域法和最小二乘法進行比較，選取六位精度，點接觸情況，如圖8所示。圓柱度誤差結(jié)果，如表1所示。

圖8 點接觸情況分析Fig.8 Point Contact Analysis

表1 各算法結(jié)果對比 單位：mmTab.1 Comparison of Various Algorithms Unit：mm

3.2 文獻比較

為說明本算法的有效性，以及它能計算出更精確解的能力，利用參考文獻中的數(shù)據(jù)及算法進行比較結(jié)果，如表2所示。通過以上數(shù)據(jù)比較，可以看出，所用算法在對細(xì)長軸類零件圓柱度誤差評估方面具有可行性及精確性。相比傳統(tǒng)的網(wǎng)格逼近算法，所提出的雙圓心擬合對不同精度的圓柱度擬合有更強的適應(yīng)性。

表2 空間圓柱度對比結(jié)果 單位：mmTab.2 The Results of Spacial Cylindricity Unit：mm

4 總結(jié)

在這里雙圓心擬合、雙向?qū)?yōu)算法是一種新的易于編程的高精度擬合算法，可對空間任意放置的圓柱零件進行誤差評定。研究表明，在基于分層采樣（圓周線提取方案或鳥籠提取方案）的條件下，該算法會有很優(yōu)異的表現(xiàn)，既能防止細(xì)長軸擬合軸線的過大偏離，又能使精度等級提高。