覃智廣，陳洪容，代艷霞

（宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 宜賓 644003）

1 引言

五軸加工極大的拓展了機(jī)床的加工能力和加工范圍，顯著減小重定位誤差。五軸機(jī)床因靈活的刀具姿態(tài)控制在葉輪葉片，復(fù)雜曲面，模具開發(fā)等領(lǐng)域發(fā)揮不可替代的優(yōu)勢(shì)，國(guó)內(nèi)外的研究及機(jī)床制造商對(duì)五軸機(jī)床已經(jīng)進(jìn)行了很多方面的研究[1-5]，在機(jī)床正交結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方面已經(jīng)基本完善，但在五軸機(jī)床的非線性誤差研究，還有許多方面需要完善。

文獻(xiàn)[2]研究建立了機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，重點(diǎn)關(guān)注是后處理過(guò)程的轉(zhuǎn)角和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，其開發(fā)了后處理程序，但缺少實(shí)際加工驗(yàn)證。文獻(xiàn)[3]研究?jī)蓚€(gè)旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角怎樣優(yōu)化取值，依據(jù)最短路徑通過(guò)軟件完成仿真，用刀具銑削實(shí)驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證，但還沒有考慮轉(zhuǎn)臺(tái)引起的誤差。文獻(xiàn)[4]提供了三大類型通用五軸機(jī)床的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，這種矩陣方程能夠很好的展示轉(zhuǎn)角的意義，使研究者能熟悉CAM軟件的工作機(jī)制和五軸加工的運(yùn)動(dòng)學(xué)原理。文獻(xiàn)[5]在機(jī)床的后處理過(guò)程中，研究刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡坐標(biāo)變換，對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡綜合考慮了刀具長(zhǎng)度誤差，非線性誤差補(bǔ)償和切削速度變化的誤差。文獻(xiàn)[6]分析線性插補(bǔ)，建立了一種非線性誤差的模型，方法簡(jiǎn)潔易行，但導(dǎo)致數(shù)控程序會(huì)很龐大，占據(jù)CNC內(nèi)存。

文獻(xiàn)[7]分析旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)，由角度線性插補(bǔ)而產(chǎn)生的空間中刀軸偏差角，是導(dǎo)致五軸非線性誤差的主要來(lái)源。文獻(xiàn)[8]根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸角度線性插補(bǔ)，提出在工件坐標(biāo)系對(duì)刀軸矢量所在的平面內(nèi)，完成新的插補(bǔ)點(diǎn)和插補(bǔ)矢量算法，詳細(xì)闡述了誤差分布。文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)了一種2R3T型五軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，但主要考慮誤差的隨機(jī)性和運(yùn)動(dòng)精度可靠性之間的定性關(guān)系，缺少定量比較標(biāo)準(zhǔn)。文獻(xiàn)[10]以S形試件為對(duì)象，建立了刀具雙擺動(dòng)五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)與幾何誤差模型，并進(jìn)行了加工、測(cè)量與驗(yàn)證。

通過(guò)分析五坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)矩陣變換，得到了刀軸矢量和工作臺(tái)轉(zhuǎn)角的映射關(guān)系。由于CNC的平動(dòng)軸線性插補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)軸跟隨方式，導(dǎo)致銑削過(guò)程會(huì)不可避免地產(chǎn)生非線性誤差，舍棄線性插補(bǔ)而采用刀軸矢量平面插補(bǔ)算法，通過(guò)機(jī)床的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算刀位的新插補(bǔ)點(diǎn)和新的插補(bǔ)矢量，經(jīng)CAM后處理轉(zhuǎn)換成NC數(shù)控代碼。最后給出一個(gè)實(shí)例進(jìn)行分析和MATLAB仿真對(duì)比，并進(jìn)行了上機(jī)加工。

2 五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

5軸數(shù)控機(jī)床主要的劃分依據(jù)是平動(dòng)軸X/Y/Z與旋轉(zhuǎn)軸A/B/C的不同組合，常見的有12種五軸類型。由于5軸機(jī)床增加了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，加工自由曲面能力大大增強(qiáng)而導(dǎo)致多軸運(yùn)動(dòng)關(guān)系復(fù)雜，故而不像3軸數(shù)控銑床那樣有通用的后置處理（CAM）模塊，在購(gòu)置多軸加工中心時(shí)，通常要專門定制或開發(fā)CAM系統(tǒng)。本課題所用的是一臺(tái)AC雙轉(zhuǎn)臺(tái)型5軸機(jī)床，結(jié)構(gòu)，如圖1所示。刀具和主軸固定在Z軸上做旋轉(zhuǎn)切削運(yùn)動(dòng)，A、C軸為擺動(dòng)-回轉(zhuǎn)軸，定軸為A軸繞X擺動(dòng)（第一旋轉(zhuǎn)軸），從動(dòng)軸為C軸可繞Z無(wú)限制旋轉(zhuǎn)。由MCS到WCS的運(yùn)動(dòng)學(xué)變換是為后處理程序開發(fā)、非線性誤差分析做研究基礎(chǔ)。

圖1 雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)鏈Fig.1 TA-TC 5-Axis Machine Tool Structure and its Movement Chain

由圖1易得，從工件坐標(biāo)系（CAM加工坐標(biāo)Ow-XwYwZw）到機(jī)床坐標(biāo)系（刀尖點(diǎn)中心Om-XmYmZm）要經(jīng)過(guò)2次旋轉(zhuǎn)變換和2次平移變換。具體流程是：

Step 1：工件坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到C轉(zhuǎn)軸的中心點(diǎn)，平移變換 T（doc）；

Step 2：一次平移后，繞C軸中心線旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)變換R（C）；

Step 3：一次旋轉(zhuǎn)完成后，坐標(biāo)系平移至A、C軸垂直相交的中心點(diǎn)，平移變換 T（dCA）；

Step 4：二次平移后，坐標(biāo)系再次繞A軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，旋轉(zhuǎn)變換 R（A）；

Step 5：二次旋轉(zhuǎn)后，坐標(biāo)系平移至機(jī)床坐標(biāo)系刀心點(diǎn)，平移變換 T（d）；

Step 6：矩陣方程運(yùn)算。

表1 數(shù)學(xué)字符表示及其意義Tab.1 Mathematical Character Representation and its Significance

根據(jù)上述機(jī)床的坐標(biāo)變換關(guān)系和運(yùn)動(dòng)鏈，得：

式中：T和R—坐標(biāo)變換的齊次矩陣，由式（1）得機(jī)床坐標(biāo)MCS與工件坐標(biāo)WCS的矩陣變換關(guān)系，可以用式（2）表達(dá)：

刀軸矢量與機(jī)床兩個(gè)轉(zhuǎn)臺(tái)A、C的轉(zhuǎn)角數(shù)學(xué)映射關(guān)系，可以用式（3）、式（4）表述如下：

3 非線性誤差與插補(bǔ)方式

五軸數(shù)控加工使用CAM軟件生成刀具路徑，同時(shí)產(chǎn)生刀位文件（前置處理），CAM默認(rèn)對(duì)刀軸矢量以線性插補(bǔ)。在實(shí)際加工過(guò)程中，由于C軸中心線與Z軸平行，會(huì)導(dǎo)致刀軸矢量在某些區(qū)域的奇異性[7]，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突變對(duì)機(jī)床形成沖擊。目前西門子、發(fā)那科、海德漢等在內(nèi)的主流數(shù)控系統(tǒng)，仍是采取對(duì)A-C旋轉(zhuǎn)角的線性插補(bǔ)方式驅(qū)動(dòng)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，控制刀具姿態(tài)完成銑削路徑。這樣導(dǎo)致了刀具的包絡(luò)運(yùn)動(dòng)和理論要求出現(xiàn)了偏差，是為系統(tǒng)非線性誤差[5-8]。

3.1 非線性誤差分析

兩個(gè)點(diǎn) P1、P2為銑削路徑中的相鄰兩個(gè)刀位點(diǎn)，n→1、n→2為相對(duì)應(yīng)的刀軸矢量，兩矢量夾具設(shè)為 θ，n→3與n→1、n→2在同一平面內(nèi)，是由n→1旋轉(zhuǎn)90°得來(lái)，如圖2所示。刀具由P1點(diǎn)到P2點(diǎn)的銑削運(yùn)動(dòng)中，機(jī)床的運(yùn)動(dòng)方式—三個(gè)平動(dòng)軸是線性插補(bǔ)使刀具沿兩點(diǎn)之間的直線段運(yùn)動(dòng)（G1指令），而旋轉(zhuǎn)軸按照其要轉(zhuǎn)過(guò)的角度在兩個(gè)刀位點(diǎn)之間完成線性插補(bǔ)計(jì)算。

圖2 刀具在2個(gè)刀位點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)Fig.2 Movement of the Tool Between Two Cutter Points

當(dāng)?shù)毒咴趦蓚€(gè)刀位點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)整個(gè)過(guò)程耗時(shí)為單位時(shí)間1，由（3）式某一時(shí)刻t（0＜t＜1）對(duì)應(yīng)的刀軸矢量：

式中：△θ、△ψ—相鄰兩點(diǎn)之間的線性插補(bǔ)角度；i—當(dāng)前插值點(diǎn)序號(hào)，i=0，1，…，n。

商用CAM系統(tǒng)在刀路規(guī)劃計(jì)算或銑削仿真時(shí)，假設(shè)線性插補(bǔ)的刀軸以均勻的角速度ω由旋轉(zhuǎn)到。則刀軸矢量計(jì)算如下：設(shè)某時(shí)刻t的單位刀軸矢量為（t）：

由式（7）知，當(dāng)所有刀軸的起始點(diǎn)相同時(shí)，刀軸矢量經(jīng)線性插補(bǔ)的所有末端點(diǎn)的軌跡為所確定的一條圓弧軌跡（球面上的一條平面圓弧）。將式（6）代入式（5），并和式（7）比較，可知二者的誤差表達(dá)不是等同的。

3.2 刀軸插補(bǔ)方式

非線性誤差ε與加工方式（側(cè)銑或端銑），加工深度，刀位點(diǎn)間的最大偏差角有關(guān)，加工方式和加工深度屬于工藝范疇，一旦確定后即為已知的參數(shù)，可以考慮從減小刀位點(diǎn)之間的偏差角方向來(lái)控制非線性誤差的大小。刀軸的插補(bǔ)是其中重要的一環(huán)，刀軸矢量和機(jī)床轉(zhuǎn)角存在數(shù)學(xué)關(guān)系式（3）。刀軸插補(bǔ)方式有平面插補(bǔ)，線性插補(bǔ)和平滑插補(bǔ)等，這里選擇文獻(xiàn)[8]的刀軸平面插補(bǔ)算法，其算法原理簡(jiǎn)易可行，易編程實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)計(jì)算，根據(jù)已有的刀觸點(diǎn)插補(bǔ)出新刀位點(diǎn)，新刀位點(diǎn)和原來(lái)的刀觸點(diǎn)在同一平面內(nèi)，刀軸矢量改變故而轉(zhuǎn)臺(tái)角度跟隨改變，銑削精度相比之前明顯提高。

4 實(shí)例分析

在模具復(fù)雜體內(nèi)壁面的五軸數(shù)控加工模型中，選取起始點(diǎn)S0，終止點(diǎn)E0分別給出其坐標(biāo)和刀具矢量S0（0.4082，-0.8660，0.2887）T，E0（0.5774，0.5774，0.5774）T。按照文獻(xiàn)[8]的算法，在MATLAB上編程計(jì)算，完成插補(bǔ)點(diǎn)計(jì)算和誤差分析。

旋轉(zhuǎn)軸線性插補(bǔ)的運(yùn)動(dòng)路徑會(huì)有誤差，而平面矢量插補(bǔ)算法在這一段路徑內(nèi)沒有誤差產(chǎn)生。兩種插補(bǔ)方式C的轉(zhuǎn)角相差無(wú)幾，A擺角有一定范圍變化，在插值的中間點(diǎn)處差異較大（于垂直刀軸的平面內(nèi)誤差在路徑中點(diǎn)時(shí)達(dá)到極值），如表2、圖3所示。已有研究驗(yàn)證，刀尖點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至加工刀路的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)非線性誤差取得極值。若要繼續(xù)減小此誤差，可以在兩刀位點(diǎn)的中間點(diǎn)繼續(xù)插補(bǔ)新的點(diǎn)，直至誤差滿足控制要求，但一味增加刀位插值點(diǎn)會(huì)使程序代碼量顯著增大，占用CNC的資源，效率會(huì)有所降低。經(jīng)CAM后處理對(duì)一個(gè)五軸樣件完成了實(shí)際加工，驗(yàn)證了所述方法和推論的正確。在雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床上加工S樣件、樣件表面沒有欠切、過(guò)切現(xiàn)象示意圖，如圖4所示。

表2 刀軸矢量平面插補(bǔ)的10個(gè)插值點(diǎn)Tab.2 10 Points of Tool Axis Vector Plane Interpolation

續(xù)表2

圖3 兩種插補(bǔ)方式的MATLAB仿真對(duì)比Fig.3 Comparison Between Two Interpolations with MATLAB Simulation

圖4 在雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床上加工S樣件、樣件表面沒有欠切、過(guò)切現(xiàn)象示意圖Fig.4 1 Machining the S-shaped Part on the 5-axis Machine，Surface Part Without Undercuts and Overcuts

5 結(jié)論

（1）詳述建立A-C雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床MCS與WCS之間的矩陣轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)關(guān)系，導(dǎo)出刀軸矢量和兩個(gè)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角的映射方程。指出了CNC的線性插補(bǔ)原理不同于CAM的線性插補(bǔ)算法，是非線性誤差產(chǎn)生的根本原因。

（2）采用文獻(xiàn)[8]的刀軸矢量平面插補(bǔ)的算法，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法計(jì)算刀位點(diǎn)之間的新插補(bǔ)點(diǎn)和插補(bǔ)矢量，經(jīng)CAM系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成NC數(shù)控程序。以文獻(xiàn)[8]的實(shí)例進(jìn)行分析和MATLAB仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的實(shí)用性。

（3）由實(shí)例中的數(shù)據(jù)表2，刀軸矢量平面插補(bǔ)雖然可以較有效地減小非線性誤差，但其可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)臺(tái)的角度波動(dòng)較大，A軸比較明顯，在某種情形A軸角加速度不平滑會(huì)造成一定影響，這是后續(xù)工作需要注意之處。