方桂飛，王時英

（太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院及精密加工山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024）

1 引言

工程陶瓷等硬脆材料具有耐磨耐高溫、硬度大、密度小、抗酸堿腐蝕能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域和汽車、體育用品等民用領(lǐng)域。但是由于這些材料具有極高的硬度和較大的脆性，其加工十分困難，特別是孔的加工尤為困難，故嚴(yán)重阻礙了工程陶瓷的推廣[1-3]。近年來，復(fù)頻超聲加工方法以其效率高、成本低的優(yōu)點(diǎn)吸引了國內(nèi)外大量學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[4-5]分析了自由質(zhì)量塊的運(yùn)動形式，并發(fā)現(xiàn)超聲波/聲波鉆頭/取心器裝置（USDC）在鉆探過程中，能耗較低，溫升小。文獻(xiàn)[6]對復(fù)頻超聲裝置進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，并通過高速攝像機(jī)對自由質(zhì)量塊的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行了研究。目前，國內(nèi)外文獻(xiàn)主要集中在復(fù)頻超聲原理驗(yàn)證，對自由質(zhì)量塊的運(yùn)動規(guī)律及功能研究較少。主要介紹了復(fù)頻超聲振動系統(tǒng)的組成及工作原理，建立了復(fù)頻超聲振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，開展了陶瓷材料的加工試驗(yàn)，并根據(jù)材料去除率的變化來研究了自由質(zhì)量塊對復(fù)頻超聲加工過程的影響，驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。

2 材料去除機(jī)理及振動系統(tǒng)模型建立

2.1 材料去除機(jī)理的研究

復(fù)頻超聲加工是在超聲加工的基礎(chǔ)上，通過自由質(zhì)量塊引入一低頻振動，高、低頻振動共同完成切削的加工方式。復(fù)頻超聲振動系統(tǒng)將變幅桿和換能器固定在機(jī)床導(dǎo)軌上，并且引入了自由質(zhì)量塊，如圖1所示。它的支架通過壓板固定在機(jī)床X向?qū)к壣希兎鶙U與支架在其節(jié)點(diǎn)處過盈連接；鉆頭與變幅桿輸出端連接并通過螺紋固定；自由質(zhì)量塊安裝在變幅桿與鉆頭之間，并留有一定間隙；被加工陶瓷安裝在工作臺上，并通過壓板固定；工作臺安裝在機(jī)床Z向?qū)к壣稀?/p>

圖1 復(fù)頻超聲振動系統(tǒng)Fig.1 Multi-Frequency Ultrasonic Machining Principle Diagram

研究表明[7]，陶瓷材料主要以脆性斷裂的形式去除的。加工過程中，自由質(zhì)量塊主要通過碰撞來完成積蓄/傳遞能量的過程，在碰撞的同時，自由質(zhì)量塊生成的應(yīng)力波，經(jīng)過鉆頭傳遞到陶瓷材料加工表面，沖擊動應(yīng)力得以增大。鉆頭不斷沖擊陶瓷，當(dāng)損傷累積到一定程度時，工件內(nèi)部開始出現(xiàn)裂紋，裂紋經(jīng)過不斷擴(kuò)展，到達(dá)材料表面時，材料開始脫落，從而達(dá)到去除材料的目的，經(jīng)過一定時間后，完成整個加工過程。因此，復(fù)頻超聲加工硬脆材料的去除機(jī)理可以認(rèn)為是鉆頭以高、低頻同時沖擊工件，而工件遵循裂紋產(chǎn)生、裂紋擴(kuò)展和材料去除的規(guī)律。在本研究中，主要通過分析加工時間與材料去除率的關(guān)系，驗(yàn)證了陶瓷材料的去除機(jī)理。

2.2 復(fù)頻超聲振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖2 鉆頭的縱向振動Fig.2 Longitudinal Vibration of Drill Bit

鉆頭左端通過螺紋與變幅桿連接，并且自由質(zhì)量塊不斷撞擊鉆頭的左端面，因此忽略鉆頭的螺紋部分，將螺紋右側(cè)視為一個整體進(jìn)行研究。在加工過程中，鉆頭的位移主要由兩部分組成，一部分由變幅桿輸出端振動而產(chǎn)生，即u1（x，t）；另一部分由自由質(zhì)量塊的沖擊振動而產(chǎn)生，即u2（t）。此處，采用疊加法求解位移函數(shù)。首先考慮超聲振動引起的位移u1（x，t），取微分單元d x為研究對象，d x段的位移為u1（x，t）可得微分運(yùn)動方程為[9]：

式中：ρ—鉆頭的質(zhì)量密度；S（x）—鉆頭的橫截面積，鉆頭由3部分組成，每段橫截面積均為常數(shù)，故取S（x）—常數(shù)。

整理（1）式可得到鉆頭的振動方程：

式中：c—聲波在鉆頭中的傳播速度；

l—鉆頭的長度。

由于位移函數(shù)u1（x，t）是關(guān)于x和t函數(shù)，因此采用分離變量法求解，即

將（3）式帶入振動方程（2）式，可得：

式中：ωn—鉆頭的固有頻率；A1、B1、A2和 B2—待定系數(shù)，由振動的邊界條件和初始條件確定。

根據(jù)歐拉公式，式（3）可改寫為：

接著研究自由質(zhì)量塊沖擊振動引起的位移u2（t），根據(jù)牛頓定律，鉆頭的瞬態(tài)過程可用下式表示：

式中：m—鉆頭的質(zhì)量；

c0—系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；

k0—系統(tǒng)的剛性系數(shù)；

F（t）—自由質(zhì)量塊與鉆頭的作用力。

由于自由質(zhì)量塊的運(yùn)動是周期性的，并且碰撞時間極短，忽略碰撞過程中的能量損失，F(xiàn)（t）近似認(rèn)為周期性的矩形函數(shù)，可表示為：

式中：h（t）—系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。自由質(zhì)量塊做周期性的碰撞運(yùn)動，并且周期較短，因此忽略不計系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，可得系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù) h（t）[9]為：

取一個周期進(jìn)行研究，聯(lián)立式（8）～式（10）可以得到：

上式對x求導(dǎo)可得速度函數(shù)，即：

由于自由質(zhì)量塊與變幅桿碰撞時間極短，且變幅桿質(zhì)量遠(yuǎn)大于自由塊質(zhì)量，可近似認(rèn)為其為完全彈性碰撞，所以可得：

式中：v1和v2—自由質(zhì)量塊與變幅桿碰撞前和碰撞后的速度；v0—變幅桿的速度。若自由塊與鉆頭同樣近似為完全彈性碰撞，碰撞過程沒有能量損失，則自由質(zhì)量塊與鉆頭碰撞后至再次與變幅桿碰撞時速度不變。同樣可得：

式中：v3和v4—自由質(zhì)量塊與鉆頭碰撞前和碰撞后的速度，即：

由動量定理可得：

式中：m0—自由質(zhì)量塊的質(zhì)量。

聯(lián)立式（13）～式（16），F(xiàn)0可用下式表示：

鉆頭的振動位移函數(shù)為：

鉆頭的動應(yīng)力函數(shù)為：

由式（19）可知，在復(fù)頻超聲加工過程中，自由質(zhì)量塊的質(zhì)量，振動周期，鉆頭的剛性系數(shù)及固有頻率和變幅桿輸出端的振動速度對加工沖擊動應(yīng)力影響較大。在保證變幅桿及鉆頭參數(shù)變的條件下，研究自由質(zhì)量塊對加工應(yīng)力的影響，由于自由質(zhì)量塊質(zhì)量較小，且變化程度不大，因此其振動周期T對加工應(yīng)力的影響較大。加工應(yīng)力隨著振動周期T的減小而減小。

進(jìn)一步，在上述自由質(zhì)量塊與鉆頭、變幅桿近似為完全彈性碰撞假設(shè)條件下，自由質(zhì)量塊的振幅可用下式表示：

在加工過程中，自由質(zhì)量塊的運(yùn)動范圍不變，通過改變其厚度，可以使振動幅度變化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)改變振動周期的目的。

式中：H—變幅桿與鉆頭之間的間隙，保持不變；b—自由質(zhì)量塊的厚度。

由式（21）可得，增大自由質(zhì)量塊的厚度，最終反映到加工應(yīng)力上，會使得加工應(yīng)力增大。由上述材料去除機(jī)理分析可知，沖擊力對材料去除率影響較大。因此，在接下來的試驗(yàn)中，主要比較不同厚度的自由質(zhì)量塊對材料去除率的影響。上述分析中忽略了碰撞過程中的能量損失，并將碰撞過程視為完全彈性碰撞。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

試驗(yàn)加工裝置安裝在三坐標(biāo)工作臺上，由步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動工作臺移動。試驗(yàn)中鉆頭采用45鋼，加工部分尺寸為（3×20）mm，并且通過細(xì)牙螺紋與變幅桿連接。工件材料為陶瓷材料，厚度為10mm。在加工之前，分析測定加工所需的共振頻率，故選用超聲加工頻率為20kHz，加工功率為700W。試驗(yàn)采用不同厚度的自由質(zhì)量塊進(jìn)行加工，并分別測量陶瓷材料加工前后的質(zhì)量，得出每一個自由質(zhì)量塊對應(yīng)的材料去除率。試驗(yàn)中，所采用的自由質(zhì)量塊厚度分別為3 mm、3.5mm、4 mm和4.5 mm，分別編號1、2、3和4。陶瓷材料的質(zhì)量由美國奧豪斯公司生產(chǎn)的EX324電子天平測量所得，如圖4所示。在現(xiàn)有試驗(yàn)條件下，超聲變幅桿的輸出端的速度[9]為 1.5m/s，由上述式（13）和式（20）可得到不同自由質(zhì)量塊對應(yīng)的振動頻率，如圖3所示。試驗(yàn)中每個自由質(zhì)量塊分別做兩次試驗(yàn)，并取其試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值，加工過程中的各參數(shù)，如表1所示。

圖3 各自由質(zhì)量塊的振動頻率Fig.3 Vibration Frequency of Free Mass Block

圖4 EX324電子天平Fig.4 EX324 Electronic Balance

表1 加工參數(shù)Tab.1 Processing Parameters

試驗(yàn)加工圖，如圖5所示。材料去除率與加工時間以及自由質(zhì)量塊厚度的關(guān)系，如圖6所示。

圖5 試驗(yàn)加工圖Fig.5 Experiment and Processing Chart

圖6 加工時間對材料去除率的影響Fig.6 Effect of Processing Time on the Material Removal Rate

由圖6可知，材料去除率隨加工時間的增大而提高。分析比較各曲線的斜率及材料去除率的變化可知，在（0～30）s之間，各自由質(zhì)量塊對應(yīng)的材料去除率變化基本一致，增長較為緩慢；在30s之后，材料去除率顯著提高，變化較為明顯，其增長率能夠提高兩倍左右。呈現(xiàn)這種變化的原因主要由材料的去除機(jī)理導(dǎo)致。如2.1節(jié)所述，超聲加工裝置驅(qū)動鉆頭不斷沖擊陶瓷材料，隨著沖擊次數(shù)的累計，材料內(nèi)部開始出現(xiàn)裂紋，在該過程中，材料尚未脫離，因此材料去除率變化不明顯；沖擊繼續(xù)，裂紋開始擴(kuò)展，當(dāng)裂紋到達(dá)陶瓷表面時，材料得以脫落，材料去除率開始有顯著的提高。

材料去除率隨著自由質(zhì)量塊厚度的增大而增大，且當(dāng)厚度逐漸增大時，材料去除率增大的幅度變大，如圖7所示。加工時間為60s時，4號自由質(zhì)量塊對應(yīng)的材料去除率為1號自由質(zhì)量塊的5倍。加工過程中，自由質(zhì)量塊在鉆頭與變幅桿之間做往復(fù)運(yùn)動，通過與變幅桿和鉆頭的兩次碰撞，完成積蓄與傳遞能量的過程。由圖5可知，自由質(zhì)量塊振動頻率對其厚度的變化較為敏感。隨著厚度的增加，振動頻率相應(yīng)的提高，即振動次數(shù)增加，因此單位時間內(nèi)自由質(zhì)量塊完成的積蓄與傳遞能量過程的次數(shù)隨之增加，并且自由質(zhì)量塊與鉆頭的接觸時間減小，故鉆頭的沖擊動力增大，傳遞到材料表面的振動能量增大，材料去除率顯著提高。綜上，試驗(yàn)結(jié)果與式（19）所得規(guī)律基本一致，因此試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。

圖7 自由質(zhì)量塊厚度對材料去除率的影響Fig.7 Effect of Free Mass Thickness on Material Removal Rate

4 結(jié)語

根據(jù)復(fù)頻超聲加工系統(tǒng)的振動形式和運(yùn)動特點(diǎn)，建立了加工系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，由此得出自由質(zhì)量塊厚度對加工效果有著重要影響；進(jìn)一步分析了復(fù)頻超聲加工方法的工作原理，得到了加工過程中硬脆材料的去除機(jī)理。

在理論分析的基礎(chǔ)上，開展了陶瓷材料的加工試驗(yàn)，結(jié)果表明材料去除率隨加工時間和自由質(zhì)量塊厚度的增大而增大，并且陶瓷材料的去除機(jī)理遵循裂紋產(chǎn)生、裂紋擴(kuò)展和材料去除的規(guī)律。結(jié)論能夠?yàn)閺?fù)頻超聲加工提供一定的理論指導(dǎo)作用，為該方法的推廣應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。