陳建國(guó)，方 輝

（1.成都農(nóng)業(yè)科技職業(yè)學(xué)院 機(jī)電技術(shù)分院，四川 成都 611130；2.四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065）

1 引言

農(nóng)機(jī)生產(chǎn)中熱誤差是影響數(shù)控機(jī)床加工精度的一個(gè)主要誤差源[1]，熱誤差主要由內(nèi)、外部熱源引起，內(nèi)部熱源主要有機(jī)床加工與切削，例如主軸電機(jī)、軸承摩擦等[2]；外部熱源則是周?chē)h(huán)境，例如：相鄰機(jī)械熱量、環(huán)境溫度變化等[3]。眾多的研究表明[4]，數(shù)控機(jī)床的所有定位誤差中熱誤差高達(dá)75%，而主軸熱變形是熱誤差的最主要因素。

針對(duì)熱誤差的解決方案主要有：熱穩(wěn)定性材料[5]與熱誤差補(bǔ)償方案[6]。熱穩(wěn)定材料使用纖維強(qiáng)化的材料來(lái)降低數(shù)控機(jī)床的熱變形，具有較好的效果，但其經(jīng)濟(jì)成本極高，且容易導(dǎo)致機(jī)床震動(dòng)加劇與加速度降低等問(wèn)題。熱誤差補(bǔ)償方案則通過(guò)數(shù)值補(bǔ)償來(lái)降低熱誤差，熱誤差補(bǔ)償?shù)慕?jīng)濟(jì)成本較低，并且可兼容不同的熱誤差源，具有較好的適應(yīng)能力。

現(xiàn)有的熱誤差補(bǔ)償模型主要有統(tǒng)計(jì)回歸建模[7]與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模兩種方式[8]，統(tǒng)計(jì)回歸建模具有成本低，但其精度不足。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能以任意精度逼近任意非線性映射，可獲得較高的精度，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要采集大量的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行模型訓(xùn)練，建模成本較高且需要安裝較多的傳感器，所以實(shí)際應(yīng)用的建模成本較高。國(guó)內(nèi)外的研究人員針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的優(yōu)缺點(diǎn)提出了眾多的改進(jìn)策略：文獻(xiàn)[9]提出一種基于粒子群算法的溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)選方法和基于極限學(xué)習(xí)機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型，該補(bǔ)償模型具有計(jì)算簡(jiǎn)便、預(yù)測(cè)精度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[10]提出了將主成分分析與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的主軸熱漂移誤差的建模和預(yù)測(cè)方法。目前改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法主要通過(guò)排序或聚類算法減少測(cè)點(diǎn)的數(shù)量，從而降低建模成本，但同時(shí)也導(dǎo)致了預(yù)測(cè)精度的降低。

針對(duì)上述問(wèn)題，設(shè)計(jì)了改進(jìn)的神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)建模方案，采用灰色理論過(guò)濾不利的輸入變量，有效地提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效率與精度。機(jī)械實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，熱誤差補(bǔ)償模型的預(yù)測(cè)精度高于其他模型，并具備較好的魯棒性。

2 自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)

自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（ANFIS）具有直接通過(guò)模糊推理實(shí)現(xiàn)輸入層與輸出層之間非線性映射的能力，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信息存儲(chǔ)和學(xué)習(xí)能力。模糊推理系統(tǒng)中一般通過(guò)試錯(cuò)法調(diào)節(jié)隸屬函數(shù)，而FIS則探索如何獲得模型的目標(biāo)。另外通過(guò)ANN技術(shù)從一個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集學(xué)習(xí)并建立模糊模型的參數(shù)，并映射為模糊模型的解（可使用“IF-THEN”規(guī)則）。

2.1 ANFIS架構(gòu)

ANFIS的模型架構(gòu)，共包含5層。每層的節(jié)點(diǎn)通過(guò)節(jié)點(diǎn)函數(shù)描述，方形表示自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)，其參數(shù)集為可調(diào)節(jié)，圓形表示固定節(jié)點(diǎn)，其參數(shù)集為固定值，如圖1所示。為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)ANFIS具有兩個(gè)輸入變量（T1，T2）與一個(gè)輸出（F：熱漂移）。

圖1 ANFIS的模型架構(gòu)Fig.1 The Model Structure of ANFIS

第一層（模糊層）：通過(guò)隸屬函數(shù)將輸入轉(zhuǎn)化為一個(gè)模糊集，包含自適應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)函數(shù)為：

式中：T1與 T2—輸入節(jié)點(diǎn) i；A 與 B—節(jié)點(diǎn)的標(biāo)記；μ（T1）與 μ（T2）—隸屬度函數(shù)。采用最大、最小值分別為1與0的高斯型函數(shù)作為隸屬函數(shù)。

第二層：第二層的節(jié)點(diǎn)為固定節(jié)點(diǎn)，表示為圓形，標(biāo)記為∏，將輸入信號(hào)乘以節(jié)點(diǎn)函數(shù)獲得輸出信號(hào)：

式中：O2，i—第二層的輸出，輸出信號(hào)wi表示規(guī)則的啟動(dòng)強(qiáng)度。

第三層：第三層的節(jié)點(diǎn)為固定節(jié)點(diǎn)，表示為圓形，標(biāo)記為N，節(jié)點(diǎn)函數(shù)將啟動(dòng)強(qiáng)度歸一化處理，計(jì)算第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的啟動(dòng)強(qiáng)度與所有啟動(dòng)強(qiáng)度的比例。

式中：O3，i—第三層的輸出；w—?dú)w一化的啟動(dòng)強(qiáng)度。

第四層：第四層的節(jié)點(diǎn)為可調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)，表示為方形，節(jié)點(diǎn)函數(shù)定義為：

式中：f1與f2—模糊規(guī)則，分別定義如下：

式中：pi，qi，ri—參數(shù)集合。

第五層：第五層的節(jié)點(diǎn)為固定節(jié)點(diǎn)，表示為圓形，標(biāo)記為Σ，節(jié)點(diǎn)函數(shù)定義為：

最簡(jiǎn)單的ANFIS學(xué)習(xí)規(guī)則是“后向傳播”，遞歸地從輸出層計(jì)算誤差信號(hào)。

2.2 初始化模糊模型的提取

首先推導(dǎo)初始化的模糊模型，初始化模型需要選擇輸入變量、輸入空間分類、隸屬度函數(shù)的數(shù)量與類型，并創(chuàng)建模糊規(guī)則。一個(gè)給定的數(shù)據(jù)集使用不同的識(shí)別方法可能產(chǎn)生不同的ANFIS模型，例如：網(wǎng)格分區(qū)與模糊c-means聚類算法。

為了減少模糊規(guī)則數(shù)量，使用ANFIS與FCM聚類算法結(jié)合的模糊規(guī)則生成方案，F(xiàn)CM用來(lái)識(shí)別ANFIS模型系統(tǒng)的模糊MF與模糊規(guī)則。

2.3 模糊c-means（FCM）聚類

FCM為軟聚類方法，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)根據(jù)隸屬度值屬于一個(gè)類簇，F(xiàn)CM的優(yōu)點(diǎn)是允許同一個(gè)數(shù)據(jù)不單獨(dú)地屬于一個(gè)分類，而是可以出現(xiàn)在中間。

假設(shè)將長(zhǎng)度 n 的向量 xi（i=1，2，...，n）進(jìn)行模糊分組，i=1，2，...，c是被選擇的n個(gè)點(diǎn)。FCM的處理步驟主要為：

第一步，從 n 個(gè)數(shù)據(jù)模式｛x1，x2，x3，…，xn｝中隨機(jī)地選擇每個(gè)類簇ci的中心；

式中：μij—類簇i中對(duì)象j的隸屬度；M—范圍［1，∞］序號(hào)的模糊指數(shù)；dij=||ci-xj||—ci與 xj的歐式距離。

第四步：c模糊類簇的新中心 ci（i=1，2，…，c）計(jì)算為：ci=

采用FCM算法將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分為幾個(gè)子集，然后使用ANFIS訓(xùn)練各子集，此外，通過(guò)FCM算法搜索熱誤差補(bǔ)償模型的最優(yōu)溫度數(shù)據(jù)分簇。

3 輸入變量的選擇

過(guò)多的熱傳感器可能對(duì)熱預(yù)測(cè)模型的精度與魯棒性產(chǎn)生負(fù)面的影響，為溫度傳感器選擇合適的位置是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，采用灰色理論為熱誤差模型選擇合適的傳感器位置。灰色理論最重要的優(yōu)點(diǎn)是僅需要少量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即可獲得精確的預(yù)測(cè)，使用一階灰色模型GM（1，N）。

一階灰色模型GM（1，N）是多變量灰色模型。GM（1，N）表示一個(gè)有N個(gè)變量的灰色模型，其中包含一個(gè)因變量與N-1個(gè)自變量。假設(shè)共有N個(gè)變量，xi（i=1，2，...，N），每個(gè)變量有n個(gè)初始化序列：

首先，為了降低序列的隨機(jī)性、增加序列的平滑度，使用累加運(yùn)算將序列轉(zhuǎn)化為單調(diào)增序列。為了簡(jiǎn)化分析，定義的一階k=1，2，…，n。

然后，將GM（1，N）模型表示為以下的灰色差分方程：

式中：系數(shù)a與bj—系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)參數(shù)與推導(dǎo)參數(shù)。

從（10）式可獲得下式：

可將（5）式改寫(xiě)為以下的矩陣形式：

使用最小二乘估計(jì)法計(jì)算模型的系數(shù)：

因此，通過(guò)比較模型的（b2～bN）值可獲得從自變量到因變量的影響度。

為了增強(qiáng)模型的魯棒性，使用FCM將所有熱傳感器的影響度權(quán)重進(jìn)行分組；然后，從每個(gè)類簇選擇一個(gè)傳感器來(lái)代表該類溫度傳感器來(lái)預(yù)測(cè)熱漂移。因此，僅通過(guò)5個(gè)傳感器盡可建立一個(gè)簡(jiǎn)單的ANFIS模型來(lái)預(yù)測(cè)熱漂移。

系統(tǒng)的框圖，如圖2所示。圖中：變量（T1～TN）—溫度傳感器采集的數(shù)據(jù)。

圖2 系統(tǒng)模型的框圖Fig.2 The Diagram of the Proposed System Model

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 測(cè)量系統(tǒng)的建立

三軸頂點(diǎn)立式鐵床機(jī)床的框圖，如圖3所示。主軸電機(jī)通過(guò)每個(gè)端點(diǎn)的軸承直接與機(jī)床滾珠絲杠耦合。主軸托架的頂部為一個(gè)DC電動(dòng)機(jī)，控制主軸的旋轉(zhuǎn)，主軸速度范圍為（60～8000）r/min。為了獲得機(jī)床的溫度數(shù)據(jù)，共設(shè)置了76個(gè)熱傳感器。

機(jī)床的環(huán)境與操作不斷變化，極少保持穩(wěn)定狀態(tài)，設(shè)置了5個(gè)非接觸式位移傳感器測(cè)量精密測(cè)試棒的位移（XYZ軸）。實(shí)驗(yàn)設(shè)置為兩個(gè)小時(shí)，第一個(gè)小時(shí)為加熱，后一個(gè)小時(shí)為冷卻，主軸轉(zhuǎn)速為8000r/min。主軸在三個(gè)方向的漂移位移變化，X軸的最大位移為3μm，Y軸為79μm，Z軸為22μm，如圖4所示。因?yàn)闄C(jī)械的對(duì)稱性，所以X軸的熱偏移小于Y軸與Z軸，所以僅Y軸與Z軸的誤差。

圖3 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景Fig.3 The Experimental Scenario

圖4 主軸在三個(gè)方向的漂移位移變化Fig.4 The Displacement Variety of Drift in Three Directions for Principal Axis

4.2 不同關(guān)鍵點(diǎn)傳感器的影響權(quán)重

溫度變量的選擇是熱誤差模型精度的一個(gè)關(guān)鍵因素，如果輸入的變量數(shù)較多，則校準(zhǔn)、訓(xùn)練時(shí)間與相應(yīng)的系統(tǒng)成本將增加，所以在建模之前應(yīng)當(dāng)決定合適的溫度傳感器位置。使用灰色模型GM（1，N）對(duì)上述測(cè)試?yán)M(jìn)行分析：

假設(shè) T1～T76代表自變量（輸入），主軸傳感器的Y軸測(cè)量值是目標(biāo)變量（輸出）。影響度權(quán)重越大，則對(duì)熱誤差的影響越大。使用FCM聚類將影響度權(quán)重分為5類結(jié)果，如表1所示。從每個(gè)類簇根據(jù)其影響度權(quán)重選擇一個(gè)傳感器來(lái)表示同一類的溫度傳感器，選擇 T18、T55、T63、T68與 T71。

表1 使用FCM對(duì)影響度權(quán)重的分類結(jié)果Tab.1 The Results of Impact Weights Classified by FCM

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

使用ANFIS模型推導(dǎo)熱誤差補(bǔ)償系統(tǒng)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)為：實(shí)驗(yàn)設(shè)置為兩個(gè)小時(shí)，第一個(gè)小時(shí)為加熱，后一個(gè)小時(shí)為冷卻，主軸轉(zhuǎn)速為4000rpm；測(cè)試數(shù)據(jù)集為上文的數(shù)據(jù)。使用三個(gè)性能指標(biāo)計(jì)算模型的性能，分別為根均方誤差與相關(guān)系數(shù)。

4.3.1 相同主軸轉(zhuǎn)速的預(yù)測(cè)效果

使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集建立預(yù)測(cè)模型，測(cè)試數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)為5h，前3h為加熱，后2h為冷卻，主軸轉(zhuǎn)速為4000r/min。使用預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)上述測(cè)試數(shù)據(jù)集的熱誤差。最終根均方誤差為0.99，相關(guān)系數(shù)為1.06。預(yù)測(cè)模型與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的熱偏移曲線，結(jié)果顯示本預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)量，精度較高，如圖5所示。

圖5 預(yù)測(cè)模型與實(shí)際的熱偏移的曲線Fig.5 The Curves of the Proposed Prediction Model and the Practical Thermal Migration

4.3.2 不同主軸轉(zhuǎn)速的預(yù)測(cè)效果

使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集作為訓(xùn)練集，第一組實(shí)驗(yàn)的8000r/min轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)集作為測(cè)試集。最終根均方誤差為0.99，相關(guān)系數(shù)為2.78。預(yù)測(cè)模型與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的熱偏移曲線，結(jié)果顯示本預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)量，精度較高，如圖6所示。

圖6 預(yù)測(cè)模型與實(shí)際的熱偏移的曲線Fig.6 The Curves of the Proposed Prediction Model and the Practical Thermal Migration

5 結(jié)論

農(nóng)機(jī)生產(chǎn)中熱誤差是影響數(shù)控機(jī)床加工精度的一個(gè)主要誤差源，基于神經(jīng)模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)了農(nóng)用機(jī)械數(shù)控機(jī)床的熱誤差補(bǔ)償模型。設(shè)計(jì)了改進(jìn)的神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)建模方案，采用灰色理論過(guò)濾不利的輸入變量，有效地提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效率與精度。機(jī)械實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，熱誤差補(bǔ)償模型的預(yù)測(cè)精度較高，并具備較好的魯棒性。