鄭寶劍 ，金曉宏 ，2，黃 浩 ，張明偉

（1.武漢科技大學 冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢 430081；2.武漢科技大學 機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081）

1 引言

在電液位置伺服系統(tǒng)所承受的負載中，有一類負載其彈性剛度值會出現(xiàn)負值。在2008年，文獻[1]通過三維數(shù)值仿真研究了流速處于馬赫數(shù)1附近的蝶閥特性，得到的氣動力扭矩特性曲線呈現(xiàn)出正負交變的特征；文獻[2-3]在2013年通過對蝶閥、氣流控制閥進行三維可視化模擬仿真，發(fā)現(xiàn)閥門開度偏轉至某一角度時所受的氣動合力矩最大，之后力矩隨開度增大開始單調減小。這些都充分說明在大型閥門流量控制等應用領域中，存在彈性剛度為負值的情形。

目前，針對含正值彈性剛度、變彈性剛度負載作用下的系統(tǒng)特性與控制策略等研究日趨成熟：文獻[4]在1978年提出利用結構不變性原理使電液伺服系統(tǒng)同時消除負載變化、外干擾和交叉耦合帶來的影響；文獻[5]等于2008年通過引入位移正反饋補償，改善了正值剛度大范圍變動情形的電液位置伺服系統(tǒng)響應，使系統(tǒng)精度得到提升；文獻[6]等于2015年通過對非線性系統(tǒng)理論，探討了結構參數(shù)變化引起系統(tǒng)混沌問題及對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。這些科研成果，給含負值彈性剛度負載作用下的電液位置伺服系統(tǒng)研究建立了前期的理論基礎。對于電液位置伺服系統(tǒng)的研究，絕大多數(shù)都是在含正值彈性剛度的情形下，而含負值彈性剛度負載作用下的電液位置伺服系統(tǒng)，其性狀和動態(tài)性能尚欠明了。如今對電液位置控制系統(tǒng)的需求越來越大，因此研究負值彈性剛度負載對電液控制位置系統(tǒng)的穩(wěn)定性和工作特性的影響具有重要意義。

2 系統(tǒng)的建模與分析

2.1 系統(tǒng)的數(shù)學模型

參照文獻[7]，電液位置控制系統(tǒng)（以下簡稱為位置系統(tǒng)）的工作原理示意圖，如圖1所示。在外負載力FL作用下，以電液伺服閥閥芯位移xv為輸入，液壓缸活塞桿的位移xp為輸出，可以得到如下拉氏域表達式：

式中：Kq—伺服閥閥口流量增益，（m3/s）/m；A—液壓缸活塞有效面積，m2；Xv—伺服閥閥芯輸入位移，m；Kce—總流量壓力系數(shù)，Kce=Kc+Ctp，其中，Kc—流量-壓力系數(shù)；Ctp—液壓缸總泄漏系數(shù)，（m3/s）/Pa；Vt—液壓缸總有效容積，m3；Ee—油液有效體積彈性模量，N/m2；FL—活塞上的外負載力，N；m—活塞及負載折算到活塞上的總質量，kg；Bp—活塞及負載的粘性阻尼系數(shù)，N/（m·s-1）；K—負載彈性剛度，N/m。

圖1 電液位置控制系統(tǒng)原理示意圖Fig.1 Schematic for Electro Hydraulic Position Control System

這里不討論K≥0的情形，以下僅討論K＜0的情形。先取活塞處于中位時的液壓剛度，即Kh=4EeA2/Vt，作為負值彈性剛度變化時的比較參考值。同時假定電液伺服閥為零開口閥。

2.2 運動方程因式分解

目前，位置系統(tǒng)的研究大多限于K為較小的正值情形，只需滿足條件KceBp/A＜＜1及Km/［A4（ 1+K/Kh）2］＜＜1 即可對式（1）的分母進行因式分解。參照此方法，K＜0時，并假定-Kh＜K，要實現(xiàn)對式（1）的分母進行因式分解，除滿足上述條件外，還需滿足式：

可得：PK2+GK+J=0

式（1）可因式分解為：

式中：ωr=KKce/［A2（1+K/Kh）］，為慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率，rad/s；ω0—系統(tǒng)的綜合固有頻率，其中，ωh—系統(tǒng)的液壓固有頻率，rad/s；ζ0—系統(tǒng)綜合阻尼比：

對系統(tǒng)進行分析：當K＜-Kh時，綜合固有頻率ω0中會出現(xiàn)虛部，因此式（4）在用來分析系統(tǒng)特性時并不適用于K＜-Kh的情形。當-Kh＜K＜0時，ωr為負值，系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)會在右半平面出現(xiàn)極點，相位移為-180°到-90°，為本質不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。而外負載力引起的干擾量在低頻時，由于一階微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)不起作用，可近似為Xp=-FL/K，此時由于K的絕對值較小，故系統(tǒng)的柔度大；而在中高頻段時，由于Kce＜＜1，故干擾力對系統(tǒng)的影響較大，且環(huán)節(jié)1/（s/ωr+1）會在低頻時發(fā)生轉折，這些都說明系統(tǒng)的精度很差。

3 系統(tǒng)的特性分析

輸入電壓Ug至位移反饋信號Uf的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：GPID（s）—PID 控制器傳遞函數(shù)，GPID（s）=Kq（1+1/Tis+Tds），其中，Kp—比例放大系數(shù)；Ti—積分時間常數(shù)；Td—微分時間常數(shù)；Ka—伺服放大器增益，A/V；Gsv（s）—伺服閥傳遞函數(shù)：

式中：Ksv—伺服閥增益；ζsv—伺服閥阻尼比；ωsv—伺服閥固有頻率，rad/s；Hpm（s）—位移傳感器傳遞函數(shù)，取 Hpm（s）=Kpm/（1+s/Tpm），其中，Kpm—位移傳感器增益，V/m；Tpm—移傳感器的時間參數(shù)，s。

由式（5）可以得到系統(tǒng)的開環(huán)增益Kv為：

圖2 Kv與a的關系Fig.2 Relationship of Kv and a

3.1 當0＜α＜0.2時的系統(tǒng)特性

當負值彈性剛度滿足0＜α＜＜1時，系統(tǒng)綜合阻尼比、綜合固有頻率、穿越頻率以及慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率可近似看作：ζ0=（4Ee/Vt+Bp/m）/（2ω0）、ω0=ωh、ωc=Kp/A以及ωr=K Kce/A2，且開環(huán)增益Kv接近無窮大。說明0＜α＜＜1時，負值彈性剛度對于系統(tǒng)動態(tài)特性的影響很小。若取GPID（s）=Kp，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式（7）依照Routh穩(wěn)定判據充要條件：特征方程各階系數(shù)均大于 0，按照此條件，K需滿足

另外充要條件還有Routh表中的第一列系數(shù)均大于0，依此條件，則K需滿足

Bp＜＜1，Kce＜＜1，因此當0＜α＜0.2 時，滿足式（9）所示條件；閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定若要滿足式（8）、式（10）所示條件，需要通過調整常規(guī)校正結構的參數(shù)來實現(xiàn)。

3.2 當0.2＜α＜0.8時的系統(tǒng)特性

系統(tǒng)穩(wěn)定性：由式（1）的分析可知，負值彈性剛度K在此范圍內，系統(tǒng)為本質不穩(wěn)定。系統(tǒng)精度：通過式（6）、式（7）可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

系統(tǒng)為本質不穩(wěn)定，雖然討論精度沒有意義，但可以分析一下誤差的變化趨勢：由式（11）可知，在負值彈性剛度絕對值越大，誤差越大，需要通過提高系統(tǒng)增益來使誤差減小；而轉折頻率ωr=-KKce［/A2（K/Kh）］，其分母會因為K的增大而減小，其分子小于0，因此ωr隨K的增大而減小，精度越來越低。故負值彈性剛度絕對值越大，系統(tǒng)的精度會越來越難以達到期望的標準。

系統(tǒng)的響應速度：系統(tǒng)的開環(huán)增益Kv決定了系統(tǒng)的頻寬，即決定了系統(tǒng)的快速性，而負值彈性剛度絕對值很大時系統(tǒng)的Kv很小，故系統(tǒng)的快速性較差。

3.3 當0.8＜α＜1.2時的系統(tǒng)特性

根據式（7）可知：K的絕對值很大時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性極差，穩(wěn)態(tài)誤差與響應速度將遠超期望的標準范圍。液壓固有頻率ωh=，負載頻率。若不考慮粘性阻尼系數(shù)，動態(tài)位置剛度為：

4 校正補償討論

4.1 當0＜α＜0.2時的校正結構

當負值彈性剛度絕對值在此范圍內時可通過使用常規(guī)校正方法來增加開環(huán)增益以此獲得期望的響應速度和精度。根據圖1，取 GPID（s）=Kq+Kds，其中，Kd=KpTd；Hpm（s）=Kpm；Gsv（s）=Ksv。則輸入電壓ui到輸出位移xp的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

旅行社應當展開科學的市場調研，對細分旅游群體各自需要什么的旅游產品進行調查，并根據調查結果進行旅游產品的構思和開發(fā)。一家沒有自身特色的旅行社，在日趨激勵的市場競爭中是難以生存的。旅行社應根據市場需求，不斷調整旅行產品的供給，增加旅行社對游客的吸引力。

式（13）可因式分解為：

從式（15）可以看出：當-0.2Kh＜K＜0時，此時不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 1-［sA2（1-K/Kh）］/KKce在GPI（Ds）加入微分環(huán)節(jié)后變?yōu)?/p>

此時閉環(huán)系統(tǒng)的轉折頻率為：

式（16）的分母可通過調整Kp或Ka來使其值大于零，分子可通過調整Kd使其值大于0，此時系統(tǒng)不存在不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，故不再是本質不穩(wěn)定系統(tǒng)。式（15）可以看出，要增大轉折頻率ωr，可通過調整PID的參數(shù)Kp來實現(xiàn)；轉折頻率增大后，穿越頻率也會相應的增大，因此提升了系統(tǒng)的精度。另外，微分環(huán)節(jié)有助于減少超調，加快系統(tǒng)的響應速度，并可以產生超前的校正作用。綜合來看，改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能。

4.2 當0.2＜α＜0.8時的結構補償

當K的絕對值很大時，根據式（6），需要提高增益來獲得期望的響應速度和精度，而增益過大，振蕩環(huán)節(jié)引起的峰值極易穿過0分貝線；且結合式（12），特征方程中的一次項系數(shù)可能會出現(xiàn)等于零而缺項的情況，此時不滿足Routh穩(wěn)定判據的必要條件。

綜上所述，在負值彈性剛度絕對值較大的情況下，系統(tǒng)還有可能是結構不穩(wěn)定，因此除了串聯(lián)校正之外，還需加入結構校正。液壓缸兩腔的負載壓力PL經過反饋校正裝置H轉化成電信號反饋至系統(tǒng)的輸入端，如圖3所示。

圖3 帶正反饋H的系統(tǒng)框圖Fig.3 Schematic for the System with Feedback Compensation H

可以得到如下拉氏域表達式：

式中：Y=Kce+Vts/（4Ee），Z=ms2+Bps+K。

若取 H=Y/KaKqGsv（s），式（17）可化簡為 Xp=XaXqGsv（s）Ui/（As），即Xp與外負載力FL和負載Z無關，K的變化對系統(tǒng)沒有影響。由于ωsv高于ωh，故G（svs）中的s2/項可以略去，即取H=［（1+2ζsvs/ωsv）VtS（/4Ee）］（/KaKqKsv）的二階微分環(huán)節(jié)。于是，式（17）化簡為

式（18）說明，加入校正后雖然負載Z和外負載力FL的作用還存在，但是Kce＜＜1，故對系統(tǒng)的影響很小。此反饋校正裝置理論上適用于任何彈性負載剛度下的系統(tǒng)，但是在實際中還是要配合常規(guī)校正方法，使系統(tǒng)各項性能指標達到預期。反饋校正裝置簡化為二階微分后，與原來的三階微分環(huán)節(jié)相比，更容易實現(xiàn)且品質更易于保證。在負載頻率0＜ω＜ωsv范圍內，可以有效消除或降低負載對系統(tǒng)的影響；在ω≥ωsv時，系統(tǒng)中的二階振蕩環(huán)節(jié)起主要作用，此時負載依然會對位置系統(tǒng)產生較大影響。但是絕大部分伺服閥能夠滿足ωsv≥ωh，而實際中系統(tǒng)幾乎都在ω≤ωh的頻段內工作，因此能夠滿足ω≤ωh≤ωsv，表明此二階微分反饋校正裝置對于負值彈性剛度負載作用下的系統(tǒng)補償是切合實際的，也是可行的。

4.3 當0.8＜α＜1.2時的動壓反饋補償

此時系統(tǒng)除了加入二階微分反饋校正裝置外，還需要適當增加系統(tǒng)的阻尼。為了有效增加系統(tǒng)的阻尼比，又不過多的增加系統(tǒng)的功率損耗，可采用動壓反饋裝置。一液阻、彈簧和活塞組成的、并聯(lián)聯(lián)接于液壓缸的進出口之間的無源動壓反饋裝置，如圖4所示。

圖4 動壓反饋原理Fig.4 Schematic for Dynamic Pressure Feedback

無源動壓反饋裝置的傳遞函數(shù)G0（s）為：

式中：C0—液阻的層流液導；τ0—時間常數(shù)，τ0=（/C0K0），其中，A0—活塞有效工作面積；K0—彈簧總剛度。位置系統(tǒng)的液壓阻尼比再加入動壓反饋裝置后為：

系統(tǒng)的綜合阻尼比為：

式（20）、式（21）可以看出，系統(tǒng)的阻尼比較之前有了明顯的提升，其作用是使振蕩環(huán)節(jié)在諧振頻率處的諧振峰值大幅度降低。式（19）表明，所加入的環(huán)節(jié)G0（s）在頻率極低時，其穩(wěn)態(tài)值趨近于零，因此，對于穩(wěn)態(tài)性能不會產生影響；附加的阻尼作用只會在系統(tǒng)的動態(tài)過程中，并隨著負載頻率的變化而產生。為了使環(huán)節(jié)G0（s）在諧振頻率ωh處產生所需的阻尼比。根據式（20），可知所附加的阻尼比為

其幅頻特性為：

所附加的阻尼比大小可近似為：

若系統(tǒng)參數(shù)確定，可根據式（22）、式（23）計算 K0、C0、A0。

5 數(shù)值仿真

這里選用文獻[7]所述系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示。仿真采用Matlab/Simulink，采用ode45算法，計算最大步長取值為10-5s，計算相對誤差取值為10-6。

表1 系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 System Parameters

5.1 不同K值的仿真結果與討論

（1）α＜0.2時，取活塞處于中位時的液壓剛度值，即Kh=5.6×107N/m；PID控制器取GPID（s）=Kp（1+Tds）。系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖，如圖5所示。當α=0.18時系統(tǒng)穩(wěn)定，所對應的幅值裕度為19.6dB；通過仿真，得出系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應曲線，如圖6所示；圖中，縱坐標表示活塞位移，α=0.01和α=0.18分別對應K=-5.6×105N/m和K=-1×107N/m。從圖5中可以看出，上升時間均低于0.1s，穩(wěn)態(tài)誤差分別為0.05%和0.2%，系統(tǒng)超調量均＜0.2%。仿真結果表明，運用PID控制器的微分校正可以獲得良好的校正效果。當α＜0.2時，通過Bode圖分析，所有的α均可得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結論。（2）0.2＜α＜0.8，即K=-1.12×107N/m到K=-4.48×107N/m時。系統(tǒng)采用二階微分形式的反饋校正裝置H，PID控制器取為GPID（s）=Kp。當α取值在（0.2～0.8）范圍內，根據系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖可以得出系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的結論，其中，α=0.6的系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖，如圖5所示。從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定，幅值裕度為25dB。α=0.6時的仿真曲線，如圖7所示。表明反饋校正裝置H極大地削弱了負載對系統(tǒng)的影響，其響應的上升時間小于 0.2s，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 0.5%，最大超調量＜8%。（3）0.8＜α＜1.2，即K=-4.48×107N/m到K=-6.72×107N/m時。系統(tǒng)采用二階微分形式的反饋校正裝置H并加入動壓反饋裝置；由表1及式（22）、式（23）可計算出動壓反饋中的參數(shù)為C0取1.06×10-12m3/（Pa·s），A0取1.3×10-5m2，時間常數(shù) τ0取 0.1s；PID 控制器取為 GPID（s）=Kp。當0.8＜α＜1.2時，根據系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖可以得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結論，圖5取α=1時為例，如圖5所示，系統(tǒng)穩(wěn)定且幅值裕度為32.7dB。α=1時的仿真曲線，如圖8所示?？梢钥吹剑仙龝r間為0.05s，穩(wěn)態(tài)誤差為1%左右，且最大超調量＜23.7%。

圖5 系統(tǒng)開環(huán)Bode圖Fig.5 Open Loop Bode Plot

圖6 加入PID控制器后系統(tǒng)的階躍響應Fig.6 Step Response with PID Controller

圖7 加入反饋校正裝置H后系統(tǒng)的階躍響應Fig.7 Step Response with Feedback Compensator H

圖8 帶反饋校正裝置H及動壓反饋的系統(tǒng)階躍響應Fig.8 Step Response with Feedback Compensator H and Dynamic Pressure Feedback

5.2 活塞位置變化時系統(tǒng)的仿真結果及討論

在前述的討論中，是K在負值范圍內變動，而活塞被設定處于中位，將Kh視為定值。而在實際系統(tǒng)的運動過程中，即使K值不變，液壓缸活塞位置的變動也會影響系統(tǒng)特性，因此僅討論中位的情況不能完整反映系統(tǒng)運動特性的變化?；钊畲笥行谐虨長，令K=-1.2×105N/m，其它數(shù)據，如表1所示。選取4個活塞位置：xp1=0.1L，xp2=0.25L，xp3=0.75L，xp4=0.9L 進行仿真，這 4 個位置對應的 Kh值分別為 1.56×108N/m，7.5×107N/m，7.5×107N/m，1.56×108N/m。由文獻[8]的研究結果可知：若活塞從最左端開始向右運動，Kq隨xp增大而單調減小，而流量-壓力系數(shù)Kc隨xp增大呈拋物線增大；活塞運行方向不變時，Kh先減小，在中位附近時Kh取最小值，之后隨xp的變化增大。故同一Kh值可對應兩個xp值，但同一Kh在不同的xp位置所對應的Kq和Kc值相差很大。

在 K=-1.2×105N/m、GPID（s）=1 條件下，xp分別取 xp1至 xp4這四個位置點的階躍響應的仿真曲線，如圖9所示。從圖中可以看到，位置點xp1至xp4，系統(tǒng)xp的上升時間從0.24s依次增大到0.5秒，即響應速度越來越慢；穩(wěn)態(tài)誤差從1%依次增加到2%，即精度逐漸降低。導致響應變慢和誤差降低是由于Kq隨著xp的增大而減少，致使系統(tǒng)總增益減小。在加入前述的PID控制GPID（s）=Kp（1+Tds）校正后，活塞在xp分別取xp1至xp4四個位置點時的階躍響應曲線，如圖10所示。從圖中可以看到，加入PID控制校正后，活塞在各個位置點的響應快速性提升明顯，上升時間均小于0.2s，且穩(wěn)態(tài)誤差均小于1%。取工作行程為（0.1～0.9）L，如圖11所示。加入PID控制校正后得到的階躍響應曲線。如圖所示，系統(tǒng)的xp上升時間小于0.1s，穩(wěn)態(tài)誤差小于1%。表明系統(tǒng)在加入PID控制校正后的系統(tǒng)在大范圍的工作行程中響應良好。當輸入信號為2sin（20t）（V）的正弦信號時，加入PID控制校正后系統(tǒng)的正弦響應曲線，如圖12所示?？梢钥闯觯涍^校正后的系統(tǒng)能準確復現(xiàn)指令信號，其幅值誤差為0.75%，響應滯后0.025s。

圖9 不同Kh時的xpFig.9 Variation of xp with Different Kh

圖10 加入PID控制器后不同Kh時的xpFig.10 Variation of xp with Different Kh with PID Controller

圖11 加入PID控制器后系統(tǒng)的階躍響應Fig.11 Step Response with PID Controller

圖12 加入PID控制器后系統(tǒng)的正弦響應Fig.12 Sinusoid Response with PID Controller

以上仿真結果說明：當K＜0時，活塞位置變化所帶來的影響可通過校正消除。因為有活塞處于中位時才會成立，因此動壓反饋裝置只有在α≈1才需要加入。故系統(tǒng)利用二階微分形式的反饋校正裝置配合PID校正，對于絕大部分的α、在絕大部分工作點處都有良好的校正效果。

6 結論

（1）詳細分析了電液位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型，其系統(tǒng)特性表現(xiàn)為：當其在含有負值彈性剛度負載的作用下時，為本質不穩(wěn)定；且負值彈性剛度的絕對值越大，系統(tǒng)越難以達到穩(wěn)定，震蕩越劇烈；而當負值彈性剛度的絕對值等于液壓剛度時，系統(tǒng)極易受到外干擾力的影響。（2）負值彈性剛度滿足α＜0.2時，只需調整PID控制參數(shù)就可以使系統(tǒng)性能得到有效的改善，通過數(shù)值仿真，結果表明系統(tǒng)穩(wěn)定且穩(wěn)態(tài)誤差＜0.2%，上升時間為0.1s左右；而當負值彈性剛度的絕對值0.2＜α＜1.2時，利用二階微分形式的反饋校正裝置，可使負載對系統(tǒng)的影響減小，再配合PID控制器、動壓反饋裝置可使系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差不超過1%。（3）α＜0.2時，運用前述的PID校正方法，即可以使活塞在各個位置點附近小范圍內工作時系統(tǒng)穩(wěn)定且穩(wěn)態(tài)誤差低于1%；運用二階微分形式的反饋校正裝置配合PID校正，在ω≈ωh時還需加入動壓反饋，即可使系統(tǒng)在大范圍內運動時各項性能指標達到預期的目標。