楊思慧 ，陳建魁 ，2，尹周平

（1.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074；2.東莞華中科技大學(xué) 制造工程研究院，廣東 東莞 523000）

1 引言

機(jī)架是自動(dòng)化裝備主要構(gòu)成部件之一，起著支撐承載和基礎(chǔ)連接的作用，其結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、剛度、質(zhì)量等等性能指標(biāo)直接影響著整套系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。若機(jī)架動(dòng)剛度達(dá)不到要求，則容易導(dǎo)致了魯棒性降低、共振、噪聲等一系列問題，影響產(chǎn)品性能[1]。因此，如何保證機(jī)架類大結(jié)構(gòu)件的動(dòng)態(tài)性能成了一個(gè)關(guān)鍵研究點(diǎn)。

機(jī)架的動(dòng)態(tài)性能主要是指其振動(dòng)特性[2]，考慮的指標(biāo)一般有振幅、頻率、相位等參數(shù)。動(dòng)態(tài)性能（即響應(yīng)）的影響因素包括激勵(lì)與結(jié)構(gòu)。激勵(lì)主要指的是外部載荷，它決定了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的振幅；結(jié)構(gòu)則決定了固有頻率。為了優(yōu)化振動(dòng)特性，在不改變外界激勵(lì)的情況下，控制結(jié)構(gòu)的固有頻率使其避開激勵(lì)能量集中的主要頻帶成了主要的手段。通過對(duì)機(jī)架的模態(tài)分析，獲取固有頻率，并對(duì)該指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，從而提高機(jī)架的動(dòng)剛度，使其避開外部激勵(lì)的主要頻帶，進(jìn)而達(dá)到避免共振、改善振動(dòng)特性、降低噪聲的目的。

2 結(jié)構(gòu)外部載荷的頻譜分析

以圖1所示的機(jī)架結(jié)構(gòu)為參考分析案例，該機(jī)架用于柔性RFID標(biāo)簽倒裝鍵合工藝系統(tǒng)。RFID標(biāo)簽芯片封裝中高精、高效的生產(chǎn)工藝對(duì)支撐機(jī)架的動(dòng)剛度提出了較高要求。機(jī)械結(jié)構(gòu)主要由底腳、機(jī)架、執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成。機(jī)架則由立柱、橫梁、連接板焊接而成，材料為Q235，質(zhì)量約825kg，如圖1所示。

圖1 機(jī)架案例圖Fig.1 An Example of Machine Frame

對(duì)機(jī)架外部載荷的分析采用頻域分析的方法，通過傅里葉變換將多種頻率成分的非簡諧周期信號(hào)轉(zhuǎn)化到頻域中，得到幅頻曲線關(guān)系圖[3]。為方便分析，討論將系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)外部為單一激勵(lì)，或者不同方向、振幅的激勵(lì)具有相同的頻率相位，能夠相互合成成單一激勵(lì)的情況，或者系統(tǒng)某一自由度方向代表系統(tǒng)主要振動(dòng)變形的方向，則該系統(tǒng)能簡化成單自由度系統(tǒng)[4]。機(jī)架在實(shí)際工作過程中受到的外部激勵(lì)主要來自于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)帶來的加速度負(fù)載，為X、Y方向的周期力，Z方向上運(yùn)動(dòng)負(fù)載體積小、質(zhì)量輕，隨時(shí)間變化的力與固定不變的重力相比可以忽略不計(jì)。對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，X、Y同步運(yùn)動(dòng)，具有相同地加速時(shí)間、減速時(shí)間和運(yùn)動(dòng)周期等，協(xié)調(diào)完成間歇周期性平面運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)過程中，X方向負(fù)載為40kg，加速度為1g；Y向負(fù)載為2kg，加速度5g。因此將機(jī)架受到的外部負(fù)載力合成成單一方向的力。將外部負(fù)載力隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線進(jìn)行傅立葉變換，得到幅頻曲線，如圖2所示。

圖2 外部負(fù)載力的幅頻曲線Fig.2 The Amplitude-Frequency Curve of External Load

由該幅頻曲線可以看出，主要波峰的頻率成分為（0～50）Hz的頻率帶，（100～130）Hz之間也有一個(gè)波峰，其幅值相對(duì)較小，其它頻率成分的波峰幅值則更小，均可忽略不計(jì)。是以，考慮機(jī)架結(jié)構(gòu)剛度時(shí)，應(yīng)盡量使其固有頻率避開外部激勵(lì)振幅最大的主要頻帶（0～50）Hz。

3 頻率優(yōu)化設(shè)計(jì)邊界條件

為了避開外界激勵(lì)的主頻帶，達(dá)到避免共振的目的，要求提高機(jī)架的第一階固有頻率。文獻(xiàn)[5]指出支撐結(jié)構(gòu)的固有頻率一般要大于外界載荷頻率的（3～5）倍，文獻(xiàn)[6]則提到夾具的一階固有頻率大于試件的（3～4）倍。

將研究對(duì)象機(jī)架的振動(dòng)特性分析視為單自由度系統(tǒng)在周期力作用下的響應(yīng)問題。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為[7]：

式中：ω—外頻率；k—?jiǎng)偠?；m—質(zhì)量；j—傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)；a0、aj、bj—傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)；固有頻率；頻率比 r=ω/ωn。

當(dāng)jω=ωn，即r=1/j時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的振幅就較大。隨著j的增大，振幅也會(huì)逐漸減小。是以，僅取前數(shù)項(xiàng)即可滿足結(jié)果的準(zhǔn)確度要求。

給定質(zhì)量m的設(shè)計(jì)域［800 2000］kg，頻率比r的設(shè)計(jì)域［0.2 1］，依照關(guān)系式給出剛度k的設(shè)計(jì)域，可得xp幅值隨m、k變化的關(guān)系圖，如圖3所示?？芍?，當(dāng)jω=ωn時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅出現(xiàn)波峰，其峰值隨著j的增大逐漸減小。因此，在確定頻率設(shè)計(jì)的邊界條件時(shí)，要避免jω=ωn的設(shè)計(jì)情況。確定設(shè)計(jì)域?yàn)楸荛_波峰的區(qū)域。再結(jié)合上述文獻(xiàn)[5-6]，確定頻率設(shè)計(jì)原則：取頻率比r≤0.3，即要求機(jī)架固有頻率比外界負(fù)載頻率大3.33倍，即要求機(jī)架第一階固有頻率＞167Hz。

圖3 最大振幅與剛度、質(zhì)量的關(guān)系Fig.3 The Relationship Between the Maximum Amplitude，Stiffness and Mass

4 機(jī)架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了確定機(jī)架的固有頻率參數(shù)，需要對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析。模態(tài)分析[8]是指以振動(dòng)理論為基礎(chǔ)、模態(tài)參數(shù)為目標(biāo)的分析方法，它是動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，能確定振動(dòng)特性的固有頻率和主要振型。模態(tài)分析，一般不考慮外界載荷的作用，機(jī)架整體為不銹鋼焊接而成，滿足材料的線彈性，該模型可以認(rèn)為不包含阻尼，其運(yùn)動(dòng)方程如下[9]。

式中：［M］—總體質(zhì)量矩陣；［K］—總體剛度矩陣；x（t）—節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

求解特征方程：

式中：n—結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)；ωj—結(jié)構(gòu)第j階固有頻率；｛φ｝j—第j階固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型。

將機(jī)架導(dǎo)入ANSYSWorkbench軟件中獲取前6階模態(tài)的固有頻率與振型，結(jié)果第1階固有頻率為65.38Hz，第2階固有頻率為66.28Hz，與外界激勵(lì)的主要頻帶比較靠近，不滿足頻率優(yōu)化設(shè)計(jì)的原則。前兩階振型主要是機(jī)架結(jié)構(gòu)的彎曲變形，主要原因是立柱剛度較為薄弱，導(dǎo)致了上面連接板的變形位移較大。

為了提高機(jī)架的固有頻率，最有效手段是提高立柱的結(jié)構(gòu)剛度，通過采用增加配重板的方式，其結(jié)構(gòu)簡單，便于實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際生產(chǎn)制造中應(yīng)用廣泛。如圖1所示，在的機(jī)架的側(cè)邊、底部、后部增加3種配重板，分別為：側(cè)板、底板、后板，選取配重板的板厚為設(shè)計(jì)變量尺寸，分別為側(cè)板板厚p1=ds_side、底板板厚p2=ds_bottom、后板板厚p3=ds_back。通過靈敏度分析評(píng)價(jià)三個(gè)變量的改變對(duì)固有頻率的影響，為優(yōu)化設(shè)計(jì)指明方向。靈敏度系數(shù)由（4）式求導(dǎo)可得：

靈敏度的求解可以采用差分法或半解析法，也可通過ANSYSWorkbench響應(yīng)曲面分析，以此獲得設(shè)計(jì)變量的設(shè)計(jì)范圍。對(duì)于 p1、p3，選?。?～40）mm 的設(shè)計(jì)范圍；對(duì)于 p2，選取設(shè)計(jì)目標(biāo)（1～30）mm。最終頻率約束下使機(jī)架重量達(dá)到最小的優(yōu)化函數(shù)數(shù)學(xué)模型如下：

min W（px）px=［px1，px2，px3］T

s.t.ωi≥167 i=1，2，Kn.

2mm≤px1≤40mm

2mm≤px2≤40mm

1mm≤px3≤30mm

最終優(yōu)化結(jié)果為p1=4.9605mm，p2=1.0151mm，p3=10.586mm，總質(zhì)量946.31kg，第一階固有頻率167.12Hz。將設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行工程圓整，側(cè)板厚度p1=5mm，底板厚度p2=1mm，后板厚度p3=11mm，總質(zhì)量948.46kg，第一階固有頻率167.92Hz。

5 機(jī)架諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是用于確定一個(gè)線性結(jié)構(gòu)在已知頻率載荷下受迫振動(dòng)的分析方法，能驗(yàn)證該結(jié)構(gòu)能否克服共振等有害手段。將機(jī)架原結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)導(dǎo)入ANSYSWorkbench中，進(jìn)行諧響應(yīng)分析，分析后的結(jié)果對(duì)比，如圖4、圖5所示。

參見圖 4，機(jī)架x向負(fù)載 392N，給定分析頻率（0～300）Hz，機(jī)架原結(jié)構(gòu)與優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)比較，共振振幅由0.88mm降低至0.004mm，共振頻率由65Hz增大到255Hz；同樣對(duì)比圖5中機(jī)架原結(jié)構(gòu)與優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在y向負(fù)載98N下的諧響應(yīng)分析曲線，共振振幅減小了63倍，共振頻率也增大到170Hz?？梢妰?yōu)化后的結(jié)構(gòu)增大了固有頻率，避開了原結(jié)構(gòu)的共振頻率65Hz，較大程度上克服了原結(jié)構(gòu)共振的有害影響，優(yōu)化了機(jī)架在外力持續(xù)作用下的振動(dòng)特性。

圖4 機(jī)架x向受負(fù)載392N下的諧響應(yīng)分析Fig.4 The Frame’s Harmonic Analysis with x Load 392N

圖5 機(jī)架y向受負(fù)載98N下的諧響應(yīng)分析Fig.5 The Frame’s Harmonic Analysis with y Load 98N

綜上所述，為優(yōu)化機(jī)架的動(dòng)力學(xué)特性，采用配重板的方式來提高機(jī)架結(jié)構(gòu)的固有頻率，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，在原來機(jī)架基礎(chǔ)上增加了5mm厚側(cè)板，11mm厚后板和1mm厚底板。機(jī)架原結(jié)構(gòu)與優(yōu)化后的結(jié)果對(duì)比，如表1所示。

表1 機(jī)架原結(jié)構(gòu)與優(yōu)化后結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)比Tab.1 The Parameters’Comparisons Between the Primary Frame and the Optimized

6 總結(jié)

通過上述研究分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)外界激勵(lì)主要頻帶較低時(shí)，影響機(jī)架振動(dòng)特性的一般為較低的前幾階頻率。因此，在對(duì)機(jī)架進(jìn)行設(shè)計(jì)與優(yōu)化時(shí)，應(yīng)盡量提高其低階固有頻率；（2）根據(jù)原結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，考慮主要模態(tài)振型的振蕩形式，為提高機(jī)架薄弱處的剛度指明優(yōu)化方向；（3）采取增加配重板的方式，通過調(diào)整配重板的板厚尺寸來提高固有頻率，最終結(jié)果滿足了設(shè)計(jì)要求。說明通過優(yōu)化設(shè)計(jì)能按照一定的設(shè)計(jì)要求提高結(jié)構(gòu)的固有頻率，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

以大型裝備機(jī)架為研究對(duì)象，通過模態(tài)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)化固有頻率，得到機(jī)架結(jié)構(gòu)的最優(yōu)配重形式，利用諧響應(yīng)分析方法驗(yàn)證優(yōu)化后的結(jié)果較原結(jié)構(gòu)提高了機(jī)架動(dòng)力學(xué)性能。采用增加配重方式較拓?fù)鋬?yōu)化方式得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)簡單，降低了實(shí)際加工制造以及工藝方面的成本，在實(shí)際生產(chǎn)制造中應(yīng)用廣泛。整個(gè)研究方法具有普適性，可為其它支撐類零件優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。