肖俊華 崔友強 徐耀玲 張福成

1.燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學亞穩(wěn)材料制備技術與科學國家重點實驗室，秦皇島，066004

0 引言

機械零部件上常常含有孔洞，如螺栓孔、鉚釘孔、鍵槽和減重孔等［1-2］，在沖擊載荷和高頻率振動等復雜服役條件下，孔邊應力集中現象非常明顯，極易形成微裂紋［3-4］。在外載荷作用下，孔和裂紋相互作用，會顯著影響結構的強度性能［5］。

國內外針對孔邊裂紋問題強度性能的研究，從研究方法來看有細觀力學理論分析、試驗測試和數值模擬等,其研究成果在機械制造、航空航天結構、壓力容器和土木工程等工程結構和材料的強度設計、安全可靠性分析和缺陷評定規(guī)范中得到廣泛應用。

當孔邊裂紋的尺寸在納米尺度時，孔邊應力場分布和裂尖應力強度因子受其表面效應影響顯著。對于納米尺度裂紋問題，高克瑋等［6］基于原位拉伸觀察研究了納米級解理微裂紋的形核和擴展行為；利用分子動力學方法，MACHOVá等［7］研究了含納米尺度裂紋時體心立方鐵的韌性和脆性特征；邢永明等［8］應用納米云紋法測量單晶硅微裂紋尖端變形，得到了準解理微裂紋裂尖的納觀應變場；邵宇飛等［9］通過準連續(xù)介質方法模擬了納米多晶體Ni中裂紋的擴展過程；LE等［10］基于概率理論研究了準脆性和脆性結構的強度、靜態(tài)裂紋萌生、壽命及尺度效應；JONES等［11］提出了納米復合材料內疲勞裂紋萌生的機理模型和預測表達式；LI等［12］基于晶粒旋轉和晶界剪切耦合遷移方法探究了耦合裂紋的鈍化機理；LUO等［13］研究了考慮界面應力時偏轉納米線的應力場和裂紋成核行為；GAO等［14］利用相位晶體法研究了納米尺度裂紋擴展過程。

在表征納米尺度微結構的諸多理論中，Gurtin-Murdoch表面彈性理論［15］通過引入表面應力，將連續(xù)介質力學中的宏觀特征尺寸與納米缺陷的特征尺寸跨尺度響應進行了統(tǒng)一描述，該理論及其推廣理論被廣泛應用于納米非均勻材料力學性能研究中?；贕urtin-Murdoch模型和格林函數法，WANG等［16］討論了表面性能對各向異性雙材料界面裂紋的影響。NGUYEN等［17］利用有限元和伽遼金邊界元耦合方法研究了三維線性彈性介質中I型片狀裂紋的尺寸依賴行為。XU等［18］分析了反平面載荷作用下納米夾雜和納米裂紋應力場的相互干涉。WANG等［19］討論了具有表面彈性性能時Ⅲ型橋接裂紋的斷裂性能。WANG等［20］進一步研究了考慮表面效應時Ⅲ型速率依賴性橋接裂紋的橋接力和裂紋張開位移等問題。

本文基于Gurtin-Murdoch表面彈性理論［15］和保角映射技術，利用復變彈性理論，研究納米尺度下圓孔孔邊裂紋的反平面剪切問題，獲得了該類非均勻材料應力場的解析解，給出了裂尖Ⅲ型應力強度因子的閉合解，分析了孔邊應力場分布規(guī)律，討論了裂尖應力強度因子的尺寸依賴效應以及圓孔相對尺寸對應力強度因子的影響規(guī)律。

1 納米尺度孔邊裂紋模型和基本方程

圖1為納米尺度圓孔孔邊裂紋示意圖，遠場受均勻反平面剪切載荷。以圓心為坐標原點，圓孔半徑為R，圓孔區(qū)域用Ωc表示，邊界用S表示，基體區(qū)域用Ωm表示，基體剪切模量為Gm，裂紋CD長度為L。下標c、m分別表示圓孔和基體。

圖1 納米尺度圓孔-孔邊裂紋反平面剪切問題示意圖（z平面，z=x+iy）Fig.1 Schematic diagram of nano crack emanating from a circular hole under antiplane shear（z-plane，z=x+iy）

用w=w(x,y)表示縱向位移，基體內的平衡方程和本構方程滿足：

由復變彈性理論可知，在復平面內縱向位移w、應力分量τxz和τyz可用一個解析函數Ψ(z)(z=x+iy)來表示：

式中，τrz、τθz分別為柱坐標系中兩個切應力分量。

納米尺度圓孔邊界上的位移和應力邊界條件為［21］

式中，μ(S)為表面彈性常數；(ρ,θ)為納米尺度圓孔邊界上點的極坐標為界面應變分量。

2 問題轉換與應力場解答

將圖1所示含孔邊裂紋圓孔外部分保角變換為圖2所示半徑為R的圓外部分，變換函數［22-23］

如下：

圖2 保角映射（ζ平面）Fig.2 Conformal mapping

將解析函數Ψ(z)在ζ平面內展開成Laurent級數形式［24］

式中，a*、ak為待定常數。

由分析可知采取下述有限項級數形式就可以得到問題的解：式

中，A、B1和B-1為復常數。

利用遠場條件，由式（4）和式（12）可得

由界面條件式（6）和式（7）可得

聯立式（13）～式（15）可得

由式（4）、式（11）～式（13）、式（16）和式（17）得到基體內的應力場表達式為

3 裂紋尖端Ⅲ型應力強度因子

在圖1所示z平面內定義裂尖處應力強度因子如下：

將式（18）代入式（20），在ζ平面內，可得

注意到裂尖處ω′(R)=0，對式（21）利用洛必達法則，可得式中，L′為等效裂紋長度。

故K(D)*為裂紋尖端等效量綱一應力強度因子，

若不考慮表面效應，即μ(S)=0時，式（23）退化為

式（24）與文獻［22］中純彈性變形情形結果一致。

4 算例與討論

4.1 孔邊應力場分布

表面彈性常數μ(S)的量級為1 N/m，可以通過原子模擬得到，其數值可正可負。定義參數α=μ(S)/Gm，α的取值范圍一般在（-2～2）×10-10m之間［21］。

圖3給出了孔邊不同位置下應力集中系數的分布情況，取R=3 nm，L=R，可知，當孔邊位置角θ從0o變化到180o時，孔邊應力從零開始先增大然后減小最后再增大。當θ約為30o和90o的位置時應力分別取極大值和極小值，在θ為180°位置時應力取最大值。θ從0°變化到90°過程中，納米圓孔的表面效應（α取值對應力的影響）逐漸顯著；θ從90°變化到180°過程中，表面效應先減弱而后增強。上述結果表明：表面效應對孔邊不同位置應力的影響程度不同。

圖3 孔邊應力集中系數分布Fig.3 Distribution of the stress concentration factor at the hole

4.2 應力強度因子的尺寸依賴效應

圖4 給出了裂尖量綱一應力強度因子K(D)*隨圓孔裂紋尺寸的變化趨勢，其中L=R。

圖4 圓孔裂紋尺寸對裂尖量綱一應力強度因子的影響Fig.4 Influence of size of the hole-rack on the dimensional stress intensity factor at crack tip

由圖4可以看出，不考慮表面效應時（α=0，經典斷裂理論），應力強度因子與圓孔裂紋的尺寸無關；考慮表面效應（α≠0）且圓孔裂紋的尺寸在納米量級時，應力強度因子具有顯著的尺寸依賴效應。隨著圓孔裂紋尺寸的增大，表面效應的影響逐漸減弱，本文結果趨近于經典斷裂理論解。

4.3 圓孔相對尺寸對應力強度因子的影響

圓孔相對于裂紋尺寸比值R/L對應力強度因子的影響曲線見圖5，其中L=5 nm。圖中顯示一個有趣的現象，即：圓孔相對尺寸對應力強度因子的影響規(guī)律受表面效應α取值的制約。隨著比值R/L的增大，當不考慮表面效應時（α=0），量綱一應力強度因子從1開始先略微增大隨后減??；當α取正值時，量綱一應力強度因子先增大而后減?。划敠寥∝撝禃r，量綱一應力強度因子單調減小。

圖5還顯示，當圓孔相對尺寸較小時（R/L＜1），改變α顯著影響應力強度因子；當圓孔相對尺寸較大時（R/L＞1），不論α取值如何，應力強度因子趨于相同值。這表明，表面性能對應力強度因子的影響也取決于圓孔相對尺寸R/L，非常大的圓孔相對尺寸屏蔽了表面性能對應力強度因子的影響。

圖5 圓孔相對尺寸對應力強度因子的影響Fig.5 Influence of relative size of the hole on the dimensional stress intensity factor

5 結論

（1）當圓孔裂紋的尺寸在納米尺度時，裂尖應力強度因子具有顯著的尺寸依賴效應；隨著圓孔裂紋尺寸的增大，納米尺度圓孔的表面效應逐漸減弱，本文結果趨于經典斷裂理論解。

（2）圓孔表面彈性常數μ(S)不同時，裂尖應力強度因子隨圓孔相對裂紋尺寸R/L的變化規(guī)律迥異：隨著比值R/L的增大，不考慮表面效應時（α=0）量綱一應力強度因子從1開始先略微增大隨后減小，當α取正值時量綱一應力強度因子先增大而后減小，當α取負值時量綱一應力強度因子單調減小。同時表面性能對應力強度因子的影響也取決于圓孔相對尺寸：當圓孔相對尺寸較小時（R/L＜1），改變表面性能顯著影響應力強度因子，當圓孔相對尺寸較大時（R/L＞1），不論表面性能如何，應力強度因子趨于相同值，非常大的圓孔相對尺寸屏蔽了表面性能對應力強度因子的影響。